n-esfera

Esfera generalizada de dimensión n (matemáticas)

Estructura alámbrica de 2 esferas como proyección ortogonal

Así como una proyección estereográfica puede proyectar la superficie de una esfera a un plano, también puede proyectar 3 esferas en 3 espacios. Esta imagen muestra tres direcciones de coordenadas proyectadas en el espacio tridimensional: paralelos (rojo), meridianos (azul) e hipermeridianos (verde). Debido a la propiedad conforme de la proyección estereográfica, las curvas se cruzan ortogonalmente (en los puntos amarillos) como en 4D. Todas las curvas son círculos: las curvas que se cruzan con ⟨0,0,0,1⟩ tienen un radio infinito (= línea recta).

En matemáticas , una n -esfera o hiperesfera es una generalización n - dimensional del círculo unidimensional y la esfera bidimensional a cualquier número entero no negativo n . La n -esfera es el escenario de la geometría esférica de n -dimensionalidad .

Considerada extrínsecamente, como una hipersuperficie incrustada en un espacio euclidiano de ( n  + 1) dimensiones , una n -esfera es el lugar geométrico de puntos a igual distancia (el radio ) de un punto central dado . Su interior , formado por todos los puntos más cercanos al centro que el radio, es una bola de ( n  + 1) dimensiones . En particular:

• La 0 -esfera es el par de puntos en los extremos de un segmento de línea ( 1 -bola).
• La 1 -esfera es un círculo , la circunferencia de un disco ( 2 -bola) en el plano bidimensional .
• La 2 esferas, a menudo llamada simplemente esfera, es el límite de una 3 bolas en el espacio tridimensional .
• La 3 esferas es el límite de una 4 bolas en un espacio de cuatro dimensiones .
• La ( n  – 1) -esfera es el límite de una n -bola.

Dado un sistema de coordenadas cartesiano , la unidad n -esfera de radio 1 se puede definir como:

${\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=1\right\}.}$

Considerada intrínsecamente, cuando n ≥ 1 , la n -esfera es una variedad de Riemann de curvatura constante positiva y es orientable . Las geodésicas de la n -esfera se llaman círculos máximos .

La proyección estereográfica mapea la n -esfera en el n -espacio con un único punto contiguo en el infinito ; bajo la métrica así definida, es un modelo para la n -esfera. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}$

En el marco más general de la topología , cualquier espacio topológico que sea homeomorfo a la unidad n -esfera se llama n - esfera . Bajo proyección estereográfica inversa, la n -esfera es la compactación de un punto del n -espacio. Las n -esferas admiten varias otras descripciones topológicas: por ejemplo, pueden construirse pegando dos n -espacios dimensionales, identificando el límite de un n -cubo con un punto, o (inductivamente) formando la suspensión de un ( norte  − 1) -esfera. Cuando n ≥ 2 es simplemente conexo ; la 1 -esfera (círculo) no está simplemente conectada; la esfera 0 ni siquiera está conectada y consta de dos puntos discretos.

Descripción

Para cualquier número natural n , una n -esfera de radio r se define como el conjunto de puntos en el espacio euclidiano ( n + 1) -dimensional que están a una distancia r de algún punto fijo c , donde r puede ser cualquier número real positivo y donde c puede ser cualquier punto en ( n + 1) espacio dimensional. En particular:

• una esfera 0 es un par de puntos { c − r , c + r } y es el límite de un segmento de línea (1 bola).
• una 1 esfera es un círculo de radio r centrado en c y es el límite de un disco (2 bolas).
• una 2 esferas es una esfera bidimensional ordinaria en un espacio euclidiano tridimensional y es el límite de una bola ordinaria (3 bolas).
• una 3 esferas es una esfera tridimensional en un espacio euclidiano de 4 dimensiones.

Coordenadas cartesianas

El conjunto de puntos en el espacio ( n + 1) , ( x ₁ , x ₂ , ..., x _{n +1} ) , que definen una n -esfera, S ⁿ ( r ) , está representado por la ecuación:

${\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},}$

donde c = ( c ₁ , c ₂ , ..., c _{n +1} ) es un punto central y r es el radio.

La n -esfera anterior existe en un espacio euclidiano ( n + 1) -dimensional y es un ejemplo de una variedad n . La forma de volumen ω de una n -esfera de radio r está dada por

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}={\star }dr}$

¿ Dónde está el operador estrella de Hodge ? véase Flanders (1989, §6.1) para una discusión y prueba de esta fórmula en el caso r = 1 . Como resultado, ${\displaystyle {\star }}$

${\displaystyle dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.}$

n -bola

El espacio encerrado por una n -esfera se llama bola ( n + 1) . Una bola ( n + 1) está cerrada si incluye la n -esfera y está abierta si no incluye la n -esfera.

Específicamente:

• Una 1- bola , un segmento de línea , es el interior de una 0-esfera.
• Una 2 bolas , un disco , es el interior de un círculo (1 esfera).
• Una bola de 3 , una bola ordinaria , es el interior de una esfera (2-esfera).
• Una de 4 bolas es el interior de una de 3 esferas , etc.

Descripción topológica

Topológicamente , una n -esfera se puede construir como una compactación de un punto del espacio euclidiano de n dimensiones. Brevemente, la n -esfera se puede describir como S ⁿ = ℝ ⁿ ∪ {∞} , que es un espacio euclidiano de n dimensiones más un único punto que representa el infinito en todas las direcciones. En particular, si se elimina un solo punto de una n -esfera, se vuelve homeomorfo a ℝ ⁿ . Esto constituye la base de la proyección estereográfica . ^[1]

Volumen y área

Sea S _{n −1} el área de superficie de la unidad ( n  − 1 ) -esfera de radio 1 incrustada en un espacio euclidiano de n dimensiones, y sea V _n el volumen de su interior, la unidad n -bola. El área de superficie de una esfera arbitraria ( n  − 1 ) es proporcional a la ( n  − 1 ) st potencia del radio, y el volumen de una n -bola arbitraria es proporcional a la n ésima potencia del radio.

Gráficas de volúmenes ( V _n ) y áreas de superficie ( S _{n −1} ) de n -bolas de radio 1.

La bola 0 a veces se define como un punto único. La medida de Hausdorff de dimensión 0 es el número de puntos en un conjunto. Entonces

${\displaystyle V_{0}=1.}$

Una unidad de bola 1 es un segmento de línea cuyos puntos tienen una sola coordenada en el intervalo [−1, 1] de longitud 2, y la esfera 0 consta de sus dos puntos finales, con coordenadas {−1, 1} .

${\displaystyle S_{0}=2,\quad V_{1}=2.}$

Una unidad de 1 esfera es el círculo unitario en el plano euclidiano y su interior es el disco unitario (2 bolas).

${\displaystyle S_{1}=2\pi ,\quad V_{2}=\pi .}$

El interior de una 2 esferas en el espacio tridimensional es la unidad 3-bola.

${\displaystyle S_{2}=4\pi ,\quad V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi .}$

En general, S _{n −1} y V _n están dados en forma cerrada por las expresiones

${\displaystyle S_{n-1}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}},\quad V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}+1{\bigr )}}}}$

donde Γ es la función gamma .

Como n tiende al infinito, el volumen de la unidad n -bola (relación entre el volumen de una n -bola de radio 1 y un n -cubo de longitud de lado 1 ) tiende a cero. ^[2]

Recurrencias

El área de superficie , o propiamente el volumen n -dimensional, de la n -esfera en el límite de la ( n + 1) -bola de radio R está relacionada con el volumen de la bola mediante la ecuación diferencial

${\displaystyle S_{n}R^{n}={\frac {dV_{n+1}R^{n+1}}{dR}}={(n+1)V_{n+1}R^{n}}.}$

De manera equivalente, representar la unidad n -bola como una unión de conchas concéntricas ( n - 1 ) -esferas ,

${\displaystyle V_{n+1}=\int _{0}^{1}S_{n}r^{n}\,dr={\frac {1}{n+1}}S_{n}.}$

También podemos representar la unidad ( n + 2) -esfera como una unión de productos de un círculo (1-esfera) con una n -esfera. Entonces, dado que S ₁ = 2π V ₀ , la ecuación ${\displaystyle S_{n+2}=2\pi V_{n+1}.}$

${\displaystyle S_{n+1}=2\pi V_{n}}$

es válido para todos n . Junto con los casos base anteriores, estas recurrencias se pueden usar para calcular el área de superficie de cualquier esfera o el volumen de cualquier bola. ${\displaystyle S_{0}=2,}$ ${\displaystyle V_{1}=2}$

Coordenadas esféricas

Podemos definir un sistema de coordenadas en un espacio euclidiano de n dimensiones que es análogo al sistema de coordenadas esféricas definido para el espacio euclidiano tridimensional, en el que las coordenadas consisten en una coordenada radial r y n − 1 coordenadas angulares φ ₁ , φ ₂ ,..., φ _{n −1} , donde los ángulos φ ₁ , φ ₂ , ..., φ _{n −2} oscilan sobre [0, π] radianes (o más de [0, 180] grados) y φ _{n − 1} oscila sobre [0, 2π) radianes (o sobre [0, 360) grados). Si x _i son las coordenadas cartesianas, entonces podemos calcular x ₁ , ..., x _n a partir de r , φ ₁ , ..., φ _{n −1} con: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\varphi _{1}),\\[5mu]x_{2}&=r\sin(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2}),\\[5mu]x_{3}&=r\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\cos(\varphi _{3}),\\&\qquad \vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1}),\\[5mu]x_{n}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1}).\end{aligned}}}$

Excepto en los casos especiales que se describen a continuación, la transformación inversa es única:

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}+{x_{1}}^{2}}}},\\[5mu]\varphi _{1}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}},x_{1}\right),\\[5mu]\varphi _{2}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{3}}^{2}}}},x_{2}\right),\\&\qquad \vdots \\\varphi _{n-2}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}},x_{n-2}\right),\\[5mu]\varphi _{n-1}&=\operatorname {atan2} \left(x_{n},x_{n-1}\right).\end{aligned}}}$

donde atan2 es la función arcotangente de dos argumentos.

Hay algunos casos especiales en los que la transformada inversa no es única; φ _k para cualquier k será ambiguo siempre que todos los x _k , x _{k +1} , ... x _n sean cero; en este caso se puede elegir que φ _k sea cero. (Por ejemplo, para las 2 esferas, cuando el ángulo polar es 0 o π , entonces el punto es uno de los polos, cenit o nadir, y la elección del ángulo azimutal es arbitraria).

Elementos esféricos de volumen y área.

Para expresar el elemento de volumen del espacio euclidiano de n dimensiones en términos de coordenadas esféricas, sea y para ser conciso, observe que la matriz jacobiana de la transformación es: ${\displaystyle s_{k}=\sin \varphi _{k}}$ ${\displaystyle c_{k}=\cos \varphi _{k}}$

${\displaystyle J_{n}={\begin{pmatrix}c_{1}&-rs_{1}&0&0&\cdots &0\\s_{1}c_{2}&rc_{1}c_{2}&-rs_{1}s_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\&&&&&0\\s_{1}\cdots s_{n-2}c_{n-1}&\cdots &\cdots &&&-rs_{1}\cdots s_{n-2}s_{n-1}\\s_{1}\cdots s_{n-2}s_{n-1}&rc_{1}\cdots s_{n-1}&\cdots &&&{\phantom {-}}rs_{1}\cdots s_{n-2}c_{n-1}\end{pmatrix}}.}$

El determinante de esta matriz se puede calcular por inducción. Cuando n = 2 , un cálculo sencillo muestra que el determinante es r . Para n mayor , observe que J _n se puede construir a partir de J _{n −1} de la siguiente manera. Excepto en la columna n , las filas n − 1 y n de J _n son iguales que la fila n − 1 de J _{n −1} , pero multiplicadas por un factor adicional de cos φ _{n −1} en la fila n − 1 y un factor adicional de pecado φ _{n −1} en la fila n . En la columna n , las filas n − 1 y n de J _n son las mismas que la columna n − 1 de la fila n − 1 de J _{n −1} , pero multiplicadas por factores adicionales de sin φ _{n −1} en la fila n − 1 y cos φ _{n −1} en la fila n , respectivamente. El determinante de J _n se puede calcular mediante la expansión de Laplace en la última columna. Según la descripción recursiva de J _n , la submatriz formada al eliminar la entrada en ( n − 1, n ) y su fila y columna casi es igual a J _{n −1} , excepto que su última fila se multiplica por sin φ _{n −1} . De manera similar, la submatriz formada al eliminar la entrada en ( n , n ) y su fila y columna casi es igual a J _{n −1} , excepto que su última fila se multiplica por cos φ _{n −1} . Por tanto el determinante de J _n es

${\displaystyle {\begin{aligned}|J_{n}|&=(-1)^{(n-1)+n}(-rs_{1}\dotsm s_{n-2}s_{n-1})(s_{n-1}|J_{n-1}|)\\&\qquad {}+(-1)^{n+n}(rs_{1}\dotsm s_{n-2}c_{n-1})(c_{n-1}|J_{n-1}|)\\&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2}|J_{n-1}|(s_{n-1}^{2}+c_{n-1}^{2})\\&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2})|J_{n-1}|.\end{aligned}}}$

Luego, la inducción proporciona una expresión de forma cerrada para el elemento de volumen en coordenadas esféricas.

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{n}V&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial \left(r,\varphi _{j}\right)}}\right|dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}\\&=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.\end{aligned}}}$

A partir de aquí se puede derivar la fórmula para el volumen de la n -bola mediante integración.

De manera similar, el elemento de área de superficie de la ( n − 1 ) -esfera de radio R , que generaliza el elemento de área de la 2-esfera, está dado por

${\displaystyle d_{S^{n-1}}V=R^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.}$

La elección natural de una base ortogonal sobre las coordenadas angulares es un producto de polinomios ultraesféricos ,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int _{0}^{\pi }\sin ^{n-j-1}\left(\varphi _{j}\right)C_{s}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)C_{s'}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)\,d\varphi _{j}\\[6pt]&={\frac {2^{3-n+j}\pi \Gamma (s+n-j-1)}{s!(2s+n-j-1)\Gamma ^{2}\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}}\delta _{s,s'}\end{aligned}}}$

para j = 1, 2, ..., n − 2 , y la e ^{es φ _j} para el ángulo j = n − 1 en concordancia con los armónicos esféricos .

Coordenadas poliesféricas

El sistema de coordenadas esféricas estándar surge de escribir ℝ ⁿ como el producto ℝ × ℝ ^{n −1} . Estos dos factores pueden estar relacionados mediante coordenadas polares. Para cada punto x de ℝ ⁿ , las coordenadas cartesianas estándar

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},z_{1},\dots ,z_{n-1})=(y_{1},\mathbf {z} )}$

se puede transformar en un sistema de coordenadas mixto polar-cartesiano:

${\displaystyle \mathbf {x} =(r\sin \theta ,(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).}$

Esto dice que los puntos en ℝ ⁿ se pueden expresar tomando el rayo que comienza en el origen y pasa por , rotándolo hacia by y recorriendo una distancia a lo largo del rayo. La repetición de esta descomposición eventualmente conduce al sistema de coordenadas esféricas estándar. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}=\mathbf {z} /\lVert \mathbf {z} \rVert \in S^{n-2}}$ ${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$ ${\displaystyle \theta =\arcsin y_{1}/r}$ ${\displaystyle r=\lVert \mathbf {x} \rVert }$

Los sistemas de coordenadas poliesféricas surgen de una generalización de esta construcción. ^[4] El espacio ℝ ⁿ se divide como el producto de dos espacios euclidianos de menor dimensión, pero no se requiere que ninguno de los espacios sea una línea. Específicamente, supongamos que p y q son números enteros positivos tales que n = p + q . Entonces ℝ ⁿ = ℝ ^p × ℝ ^q . Usando esta descomposición, un punto x ∈ ℝ ⁿ puede escribirse como

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},\dots ,y_{p},z_{1},\dots ,z_{q})=(\mathbf {y} ,\mathbf {z} ).}$

Esto se puede transformar en un sistema de coordenadas mixto polar-cartesiano escribiendo:

${\displaystyle \mathbf {x} =((r\sin \theta ){\hat {\mathbf {y} }},(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).}$

Aquí y están los vectores unitarios asociados a y y z . Esto expresa x en términos de , , r ≥ 0 y un ángulo θ . Se puede demostrar que el dominio de θ es [0, 2π) si p = q = 1 , [0, π] si exactamente uno de pyq es 1, y [0, π/2] si ni p ni q son 1. La transformación inversa es ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}\in S^{p-1}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}\in S^{q-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=\lVert \mathbf {x} \rVert ,\\\theta &=\arcsin {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\arccos {\frac {\lVert \mathbf {z} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\arctan {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {z} \rVert }}.\end{aligned}}}$

Estas divisiones pueden repetirse siempre que uno de los factores involucrados tenga dimensión dos o mayor. Un sistema de coordenadas poliesférico es el resultado de repetir estas divisiones hasta que no queden coordenadas cartesianas. Las divisiones después de la primera no requieren una coordenada radial porque los dominios de y son esferas, por lo que las coordenadas de un sistema de coordenadas poliesféricas son un radio no negativo y n − 1 ángulos. Los posibles sistemas de coordenadas poliesféricas corresponden a árboles binarios de n hojas. Cada nodo que no es una hoja en el árbol corresponde a una división y determina una coordenada angular. Por ejemplo, la raíz del árbol representa ℝ ⁿ y sus hijos inmediatos representan la primera división en ℝ ^p y ℝ ^q . Los nodos de hoja corresponden a coordenadas cartesianas para S ^{n −1} . Las fórmulas para convertir de coordenadas poliesféricas a coordenadas cartesianas se pueden determinar encontrando las rutas desde la raíz hasta los nodos de hoja. Estas fórmulas son productos con un factor para cada rama que toma el camino. Para un nodo cuya coordenada angular correspondiente es θ _i , tomar la rama izquierda introduce un factor de pecado θ _i y tomar la rama derecha introduce un factor de cos θ _i . La transformación inversa, de coordenadas poliesféricas a coordenadas cartesianas, se determina agrupando nodos. Cada par de nodos que tienen un padre común se puede convertir de un sistema de coordenadas polar-cartesiano mixto a un sistema de coordenadas cartesiano utilizando las fórmulas anteriores para una división. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$

Las coordenadas poliesféricas también tienen una interpretación en términos del grupo ortogonal especial . Una división ℝ ⁿ = ℝ ^p × ℝ ^q determina un subgrupo

${\displaystyle \operatorname {SO} _{p}(\mathbb {R} )\times \operatorname {SO} _{q}(\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {SO} _{n}(\mathbb {R} ).}$

Este es el subgrupo que deja fijo cada uno de los dos factores. Elegir un conjunto de representantes de la clase lateral para el cociente es lo mismo que elegir ángulos representativos para este paso de la descomposición de coordenadas poliesféricas. ${\displaystyle S^{p-1}\times S^{q-1}\subseteq S^{n-1}}$

En coordenadas poliesféricas, la medida de volumen en ℝ ⁿ y la medida de área en S ^{n −1} son productos. Hay un factor para cada ángulo y la medida de volumen en ℝ ⁿ también tiene un factor para la coordenada radial. La medida de área tiene la forma:

${\displaystyle dA_{n-1}=\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i},}$

donde los factores F _i están determinados por el árbol. De manera similar, la medida del volumen es

${\displaystyle dV_{n}=r^{n-1}\,dr\,\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i}.}$

Supongamos que tenemos un nodo del árbol que corresponde a la descomposición ℝ ^{n ₁ + n ₂} = ℝ ^{n ₁} × ℝ ^{n ₂} y que tiene coordenada angular θ . El factor F correspondiente depende de los valores de n ₁ y n ₂ . Cuando la medida del área se normaliza de modo que el área de la esfera sea 1, estos factores son los siguientes. Si norte ₁ = norte ₂ = 1 , entonces

${\displaystyle F(\theta )={\frac {d\theta }{2\pi }}.}$

Si n ₁ > 1 y n ₂ = 1 , y si B denota la función beta , entonces

${\displaystyle F(\theta )={\frac {\sin ^{n_{1}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {1}{2}})}}\,d\theta .}$

Si n ₁ = 1 y n ₂ > 1 , entonces

${\displaystyle F(\theta )={\frac {\cos ^{n_{2}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}$

Finalmente, si tanto n ₁ como n ₂ son mayores que uno, entonces

${\displaystyle F(\theta )={\frac {(\sin ^{n_{1}-1}\theta )(\cos ^{n_{2}-1}\theta )}{{\frac {1}{2}}\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}$

Proyección estereográfica

Así como una esfera bidimensional incrustada en tres dimensiones se puede mapear en un plano bidimensional mediante una proyección estereográfica , una n -esfera se puede mapear en un hiperplano n -dimensional mediante la versión n -dimensional de la proyección estereográfica. Por ejemplo, el punto [ x , y , z ] en una esfera bidimensional de radio 1 se asigna al punto [X/1- z,y/1- z] en el plano xy . En otras palabras,

${\displaystyle [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].}$

Del mismo modo, la proyección estereográfica de una n -esfera S ⁿ de radio 1 se asignará al hiperplano ( n − 1) -dimensional ℝ ^{n −1} perpendicular al eje x _n como

${\displaystyle [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].}$

Distribuciones de probabilidad

Uniformemente al azar en la ( n − 1 ) -esfera

Un conjunto de puntos extraídos de una distribución uniforme en la superficie de una unidad de 2 esferas, generado utilizando el algoritmo de Marsaglia.

Para generar puntos aleatorios distribuidos uniformemente en la unidad ( n − 1 ) -esfera (es decir, la superficie de la unidad n -bola), Marsaglia (1972) proporciona el siguiente algoritmo.

Genere un vector n -dimensional de desviaciones normales (basta con usar N(0, 1) , aunque en realidad la elección de la varianza es arbitraria), x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) . Ahora calcula el "radio" de este punto:

${\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

el vector1/rx se distribuye uniformemente sobre la superficie de la unidad n -bola.

Una alternativa dada por Marsaglia es seleccionar aleatoriamente de manera uniforme un punto x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) en la unidad n -cubo muestreando cada x _i independientemente de la distribución uniforme sobre (–1, 1 ) , calculando r como arriba, y rechazando el punto y volviendo a muestrear si r ≥ 1 (es decir, si el punto no está en la n -bola), y cuando se obtiene un punto en la bola, lo escalamos hasta la superficie esférica por el factor1/r; luego otra vez1/rx se distribuye uniformemente sobre la superficie de la unidad n -bola. Este método se vuelve muy ineficaz para dimensiones superiores, ya que la esfera contiene una fracción extremadamente pequeña del cubo unitario. En diez dimensiones, la esfera llena menos del 2% del cubo, por lo que normalmente serán necesarios más de 50 intentos. En setenta dimensiones, se llena menos queel cubo, lo que significa que normalmente se necesitarán un billón de billones de pruebas, mucho más de lo que una computadora podría realizar. ${\displaystyle 10^{-24}}$

Uniformemente al azar dentro de la n -ball

Con un punto seleccionado uniformemente al azar de la superficie de la unidad ( n − 1 ) -esfera (por ejemplo, utilizando el algoritmo de Marsaglia), sólo se necesita un radio para obtener un punto uniformemente al azar desde dentro de la unidad n -bola. Si u es un número generado uniformemente al azar a partir del intervalo [0, 1] y x es un punto seleccionado uniformemente al azar de la unidad ( n − 1) -esfera, entonces u ^{1/ n} x está uniformemente distribuido dentro de la unidad n -pelota.

Alternativamente, los puntos se pueden muestrear uniformemente desde dentro de la unidad n -bola mediante una reducción de la unidad ( n + 1) -esfera. En particular, si ( x ₁ , x ₂ , ..., x _{n +2} ) es un punto seleccionado uniformemente de la unidad ( n + 1 ) -esfera, entonces ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) se distribuye uniformemente dentro de la unidad n -bola (es decir, simplemente descartando dos coordenadas). ^[5]

Si n es suficientemente grande, la mayor parte del volumen de la n -bola estará contenida en la región muy cercana a su superficie, por lo que un punto seleccionado de ese volumen probablemente también estará cerca de la superficie. Este es uno de los fenómenos que conducen a la llamada maldición de la dimensionalidad que surge en algunas aplicaciones numéricas y de otro tipo.

Distribución de la primera coordenada.

Sea el cuadrado de la primera coordenada de un punto muestreado uniformemente al azar de la esfera (n-1), entonces su función de densidad de probabilidad, para , es ${\displaystyle y=x_{1}^{2}}$ ${\displaystyle y\in [0,1]}$

$${\displaystyle \rho (y)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}{{\sqrt {\pi }}\;\Gamma {\bigl (}{\frac {n-1}{2}}{\bigr )}}}(1-y)^{(n-3)/2}y^{-1/2}.}$$

Sea la versión escalada apropiadamente, luego, en el límite, la función de densidad de probabilidad de converge a . A esto a veces se le llama distribución de Porter-Thomas. ^[6] ${\displaystyle z=y/N}$ ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle (2\pi ze^{z})^{-1/2}}$

Esferas específicas

0-esfera

El par de puntos {± R } con la topología discreta para algún R > 0 . La única esfera que no está conectada por un camino . Paralelizable .

1 esfera

Comúnmente llamado círculo . Tiene un grupo fundamental no trivial. Estructura del grupo de Lie abeliano U(1) ; el grupo del círculo . Homeomórfico a la recta proyectiva real .

2 esferas

Comúnmente se le llama simplemente esfera . Para su compleja estructura, véase esfera de Riemann . Homeomórfico a la línea proyectiva compleja

3 esferas

Paralelizable, paquete U(1) principal sobre la estructura de grupo de Lie de 2 esferas Sp(1) .

4 esferas

^{Homeomórfico} a la línea proyectiva cuaterniónica , HP 1 . ASI QUE(5)/ASI QUE(4) .

5 esferas

Paquete principal U(1) sobre C P ² . ASI QUE(6) / ASI(5) = SU(3) / SU(2) . Es indecidible si una variedad n -dimensional dada es homeomorfa a S ⁿ para n ≥ 5 . ^[7]

6 esferas

Posee una estructura casi compleja proveniente del conjunto de octoniones unitarios puros . ASI QUE(7)/ASI QUE(6) = _G2 / SU(3) . La cuestión de si tiene una estructura compleja se conoce como problema de Hopf, en honor a Heinz Hopf . ^[8]

7 esferas

"Estructura topológica de cuasigrupo como conjunto de octoniones unitarios ". Paquete principal Sp(1) sobre S ⁴ . Paralelizable. SO(8) / SO(7) = SU(4) / SU(3) = Sp(2) / Sp(1) = Spin(7) / G ₂ = Spin(6) / SU(3) . Las 7 esferas son de particular interés ya que fue en esta dimensión donde se descubrieron las primeras esferas exóticas .

8 esferas

Homeomórfico a la línea proyectiva octoniónica O P ¹ .

23 esferas

Es posible un empaquetado de esferas muy denso en un espacio de 24 dimensiones, lo que está relacionado con las cualidades únicas de la red Leech .

Esfera octaédrica

La n -esfera octaédrica se define de manera similar a la n -esfera pero usando la norma 1

${\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|_{1}=1\right\}}$

Por lo general, toma la forma de un politopo cruzado .

La 1 esfera octaédrica es un cuadrado (sin su interior). La 2 esfera octaédrica es un octaedro regular ; de ahí el nombre. La n -esfera octaédrica es la unión topológica de n + 1 pares de puntos aislados. ^[9] Intuitivamente, la unión topológica de dos pares se genera dibujando un segmento entre cada punto de un par y cada punto del otro par; esto produce un cuadrado. Para unir esto con un tercer par, dibuja un segmento entre cada punto del cuadrado y cada punto del tercer par; esto da un octaedro.

Ver también

• Geometría conforme  : estudio de transformaciones que preservan los ángulos de un espacio geométrico.
• Esfera exótica  : variedad suave que es homeomorfa pero no difeomorfa con respecto a una esfera.
• Esfera de homología  : variedad topológica cuya homología coincide con la de una esfera.
• Grupos de esferas de homotopía  : cómo las esferas de varias dimensiones pueden envolverse entre sí
• Geometría inversa  : estudio de transformaciones que preservan los ángulos.
• Transformación de Möbius  – Función racional de la forma (az + b)/(cz + d)

Notas

1. James W. Vick (1994). Teoría de la homología , p. 60. Saltador
2. Smith, David J.; Vamanamurthy, Mavina K. (1989). "¿Qué tan pequeña es una bola unitaria?". Revista Matemáticas . 62 (2): 101–107. doi :10.1080/0025570X.1989.11977419. JSTOR  2690391.
3. Blumenson, LE (1960). "Una derivación de coordenadas esféricas de n dimensiones". El Mensual Matemático Estadounidense . 67 (1): 63–66. doi :10.2307/2308932. JSTOR  2308932.
4. N. Ja. Vilenkin y AU Klimyk, Representación de grupos de Lie y funciones especiales, vol. 2: Representaciones de clase I, funciones especiales y transformaciones integrales , traducido del ruso por VA Groza y AA Groza, Math. Aplicación, vol. 74, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1992, ISBN 0-7923-1492-1 , págs. 
5. Voelker, Aaron R.; Gosmann, enero; Stewart, Terrence C. (2017). Muestreo eficiente de vectores y coordenadas de la n-esfera y la n-bola (Reporte). Centro de Neurociencia Teórica. doi :10.13140/RG.2.2.15829.01767/1.
6. Liván, Giacomo; Novaes, Marcel; Vivo, Pierpaolo (2018), Livan, Giacomo; Novaes, Marcel; Vivo, Pierpaolo (eds.), "One Pager on Eigenvectors", Introducción a las matrices aleatorias: teoría y práctica , SpringerBriefs in Mathematical Physics, Cham: Springer International Publishing, págs. 65–66, doi :10.1007/978-3-319 -70885-0_9, ISBN 978-3-319-70885-0, recuperado el 19 de mayo de 2023
7. Stillwell, John (1993), Topología clásica y teoría combinatoria de grupos, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 72, Springer, pág. 247, ISBN 9780387979700.
8. Agrícola, Ilka ; Bazzoni, Giovanni; Goertsches, Oliver; Konstantis, Panagiotis; Rollenske, Sönke (2018). "Sobre la historia del problema de Hopf". Geometría Diferencial y sus Aplicaciones . 57 : 1–9. arXiv : 1708.01068 . doi :10.1016/j.difgeo.2017.10.014. S2CID  119297359.
9. Meshulam, Roy (1 de enero de 2001). "El complejo de camarilla y la coincidencia de hipergrafos". Combinatoria . 21 (1): 89–94. doi :10.1007/s004930170006. ISSN  1439-6912. S2CID  207006642.

Referencias

• Marsaglia, G. (1972). "Elegir un punto de la superficie de una esfera". Anales de estadística matemática . 43 (2): 645–646. doi : 10.1214/aoms/1177692644 .
• Huber, Greg (1982). "Derivación de la función gamma de volúmenes de n-esferas". América. Matemáticas. Mensual . 89 (5): 301–302. doi :10.2307/2321716. JSTOR  2321716. SEÑOR  1539933.
• Semanas, Jeffrey R. (1985). La forma del espacio: cómo visualizar superficies y variedades tridimensionales . Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-7437-0(Capítulo 14: La Hiperesfera).{{cite book}}: CS1 maint: postscript (link)
• Kalnins, EG; Molinero, W. (1986). "Separación de variables en variedades de Riemann n-dimensionales. I. la n-esfera S_n y la n-espacia euclidiana R_n". J. Matemáticas. Física . 27 : 1721-1746. doi : 10.1063/1.527088 . hdl : 10289/1219 .
• Flandes, Harley (1989). Formas diferenciales con aplicaciones a las ciencias físicas . Nueva York: Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-66169-8.
• Moura, Eduarda; Henderson, David G. (1996). Experimentar la geometría: en el plano y en la esfera . Prentice Hall . ISBN 978-0-13-373770-7(Capítulo 20: 3 esferas y 3 espacios hiperbólicos).{{cite book}}: CS1 maint: postscript (link)
• Barnea, Nir (1999). "Funciones hiperesféricas con simetría permutacional arbitraria: construcción inversa". Física. Rev. A. 59 (2): 1135-1146. Código bibliográfico : 1999PhRvA..59.1135B. doi :10.1103/PhysRevA.59.1135.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Hiperesfera". MundoMatemático .