Espacio simplemente conectado

Espacio que no tiene agujeros a través de él.

En topología , un espacio topológico se llama simplemente conexo (o 1-conectado , o 1-simplemente conexo ^[1] ) si está conexo por caminos y cada camino entre dos puntos puede transformarse continuamente en cualquier otro camino similar preservando los dos. puntos finales en cuestión. Intuitivamente, esto corresponde a un espacio que no tiene partes separadas ni agujeros que lo atraviesen completamente, porque dos caminos que rodean lados diferentes de dicho agujero no pueden transformarse continuamente uno en otro. El grupo fundamental de un espacio topológico es un indicador del fracaso del espacio para ser simplemente conexo: un espacio topológico conexo por caminos es simplemente conexo si y sólo si su grupo fundamental es trivial.

Definición y formulaciones equivalentes.

Esta forma representa un conjunto que no es simplemente conexo, porque cualquier bucle que encierre uno o más de los agujeros no puede contraerse hasta un punto sin salir de la región.

Un espacio topológico se llama simplemente conexo si está conexo por caminos y cualquier bucle definido por puede contraerse a un punto: existe un mapa continuo tal que restringido a es Aquí, y denota el círculo unitario y el disco unitario cerrado en el sistema euclidiano. plano respectivamente. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:S^{1}\to X}$ ${\displaystyle F:D^{2}\to X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle D^{2}}$

Una formulación equivalente es esta: es simplemente conexo si y sólo si está conectado por camino, y siempre que y sean dos caminos (es decir, mapas continuos) con el mismo punto inicial y final ( y ), entonces se puede deformar continuamente manteniendo ambos puntos finales fijos. Explícitamente, existe una homotopía tal que y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle q:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle p(0)=q(0)}$ ${\displaystyle p(1)=q(1)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle F:[0,1]\times [0,1]\to X}$ ${\displaystyle F(x,0)=p(x)}$ ${\displaystyle F(x,1)=q(x).}$

Un espacio topológico es simplemente conexo si y sólo si está conexo por caminos y el grupo fundamental de en cada punto es trivial, es decir, consta únicamente del elemento identidad . De manera similar, es simplemente conexo si y solo si para todos los puntos el conjunto de morfismos en el grupoide fundamental de tiene un solo elemento. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)}$ ${\displaystyle X}$

En análisis complejo : un subconjunto abierto es simplemente conexo si y sólo si ambos y su complemento en la esfera de Riemann son conexos. El conjunto de números complejos con parte imaginaria estrictamente mayor que cero y menor que uno proporciona un ejemplo de un subconjunto abierto, ilimitado y conexo del plano cuyo complemento no es conexo. Sin embargo, está simplemente conectado. Una relajación del requisito de que sea conexo conduce a una exploración de subconjuntos abiertos del plano con complemento extendido conexo. Por ejemplo, un conjunto abierto (no necesariamente conexo) tiene un complemento extendido conexo exactamente cuando cada uno de sus componentes conexos es simplemente conexo. ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Discusión informal

Informalmente, un objeto en nuestro espacio está simplemente conectado si consta de una sola pieza y no tiene ningún "agujero" que lo atraviese por completo. Por ejemplo, ni un donut ni una taza de café (con asa) están simplemente conectados, sino que simplemente se conecta una bola de goma hueca. En dos dimensiones, un círculo no está simplemente conectado, pero un disco y una línea sí lo están. Los espacios que están conexos pero no simplemente conexos se denominan no simplemente conexos o multiconexos .

Una esfera está simplemente conectada porque cada bucle se puede contraer (en la superficie) hasta un punto.

La definición excluye únicamente los agujeros en forma de asa . Una esfera (o, equivalentemente, una pelota de goma con un centro hueco) está simplemente conectada, porque cualquier bucle en la superficie de una esfera puede contraerse hasta un punto aunque tenga un "agujero" en el centro hueco. La condición más fuerte, que el objeto no tenga agujeros de ninguna dimensión, se llama contractibilidad .

Ejemplos

Un toroide no es una superficie simplemente conexa. Ninguno de los dos bucles de colores que se muestran aquí se puede contraer hasta un punto sin salir de la superficie. Un toro sólido tampoco está simplemente conectado porque el bucle morado no puede contraerse hasta un punto sin abandonar el sólido.

• El plano euclidiano es simplemente conexo, pero el origen negativo no lo es. Si entonces ambos y menos el origen son simplemente conexos. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle n>2,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• De manera análoga: la esfera n -dimensional es simplemente conexa si y sólo si ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2.}$
• Todo subconjunto convexo de es simplemente conexo. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Un toroide , el cilindro (elíptico) , la cinta de Möbius , el plano proyectivo y la botella de Klein no están simplemente conectados.
• Todo espacio vectorial topológico es simplemente conexo; esto incluye espacios de Banach y espacios de Hilbert .
• Porque el grupo ortogonal especial no es simplemente conexo y el grupo unitario especial es simplemente conexo. ${\displaystyle n\geq 2,}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$
• La compactación en un punto de no está simplemente conexa (aunque sí está simplemente conexa). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• La línea larga simplemente está conectada, pero su compactación, la línea larga extendida no lo está (ya que ni siquiera está conectada por un camino). ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{*}}$

Propiedades

Una superficie ( variedad topológica bidimensional ) es simplemente conexa si y sólo si está conexa y su género (el número de identificadores de la superficie) es 0.

Una cobertura universal de cualquier espacio (adecuado) es un espacio simplemente conectado al que se asigna mediante un mapa de cobertura . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Si y son equivalentes de homotopía y son simplemente conexos, entonces también lo es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

La imagen de un conjunto simplemente conexo bajo una función continua no necesita ser simplemente conexa. Tomemos, por ejemplo, el plano complejo bajo el mapa exponencial: la imagen es la que no está simplemente conexa. ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\},}$

La noción de conexión simple es importante en el análisis complejo debido a los siguientes hechos:

• El teorema integral de Cauchy establece que si es un subconjunto abierto simplemente conexo del plano complejo y es una función holomorfa , entonces tiene una primitiva y el valor de cada recta integral con integrando depende sólo de los puntos finales y de la trayectoria, y se puede calcular como La integral, por lo tanto, no depende del camino particular que conecta y ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle F(v)-F(u).}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v,}$
• El teorema de mapeo de Riemann establece que cualquier subconjunto abierto y simplemente conexo no vacío de (excepto él mismo) es conformemente equivalente al disco unitario . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

La noción de conectividad simple es también una condición crucial en la conjetura de Poincaré .

Ver también

• Grupo fundamental  - Grupo matemático de las clases de homotopía de bucles en un espacio topológico.
• Retracción de deformación  : mapeo continuo que preserva la posición desde un espacio topológico a un subespacioPages displaying short descriptions of redirect targets
• espacio n-conectado
• Conectado por camino  : espacio topológico que está conectadoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio unicoherente

Referencias

1. "espacio n conectado en nLab". ncatlab.org . Consultado el 17 de septiembre de 2017 .
2. Ronald, Brown (junio de 2006). Topología y grupoides . Búsqueda académica completa. North Charleston: CreateSpace. ISBN 1419627228. OCLC  712629429.

• Spanier, Edwin (diciembre de 1994). Topología algebraica . Saltador. ISBN 0-387-94426-5.
• Conway, Juan (1986). Funciones de una variable compleja I. Saltador. ISBN 0-387-90328-3.
• Bourbaki, Nicolás (2005). Grupos de mentiras y álgebras de mentiras . Saltador. ISBN 3-540-43405-4.
• Gamelin, Theodore (enero de 2001). Análisis complejo . Saltador. ISBN 0-387-95069-9.
• Joshi, Kapli (agosto de 1983). Introducción a la Topología General . Editores de la Nueva Era. ISBN 0-85226-444-5.