Ha habido varios intentos en la historia de alcanzar una teoría unificada de las matemáticas . Algunos de los matemáticos más respetados del mundo académico han expresado su opinión de que todo el tema debería encajarse en una sola teoría. [ cita necesaria ]
La unificación de temas matemáticos ha sido llamada consolidación matemática : [1] "Por consolidación de dos o más conceptos o teorías T i nos referimos a la creación de una nueva teoría que incorpora elementos de todos los T i en un solo sistema con el que se logran resultados más generales". implicaciones que se pueden obtener de cualquier T i individual ."
Se podría considerar que el proceso de unificación ayuda a definir qué constituye la matemática como disciplina.
Por ejemplo, la mecánica y el análisis matemático se combinaban comúnmente en una sola materia durante el siglo XVIII, unidos por el concepto de ecuación diferencial ; mientras que el álgebra y la geometría se consideraban en gran medida distintas. Ahora consideramos el análisis, el álgebra y la geometría, pero no la mecánica, como partes de las matemáticas porque son principalmente ciencias formales deductivas , mientras que la mecánica, como la física, debe proceder de la observación. No hay una pérdida importante de contenido, ya que la mecánica analítica en el antiguo sentido ahora se expresa en términos de topología simpléctica , basada en la nueva teoría de las variedades .
El término teoría se utiliza informalmente dentro de las matemáticas para referirse a un cuerpo autoconsistente de definiciones , axiomas , teoremas , ejemplos, etc. (Los ejemplos incluyen teoría de grupos , teoría de Galois , teoría de control y teoría K ). En particular, no hay connotación de hipotético . Por tanto, el término teoría unificadora se parece más a un término sociológico utilizado para estudiar las acciones de los matemáticos. No puede suponer nada conjetural que sea análogo a un vínculo científico no descubierto. Realmente no existe ningún equivalente dentro de las matemáticas con conceptos tales como Proto-Mundo en lingüística o la hipótesis de Gaia .
Sin embargo, ha habido varios episodios en la historia de las matemáticas en los que se descubrió que conjuntos de teoremas individuales eran casos especiales de un único resultado unificador, o en los que una única perspectiva sobre cómo proceder al desarrollar un área de las matemáticas podría aplicarse fructíferamente a múltiples ramas del tema.
Un ejemplo bien conocido fue el desarrollo de la geometría analítica , que en manos de matemáticos como Descartes y Fermat demostró que muchos teoremas sobre curvas y superficies de tipos especiales podían expresarse en lenguaje algebraico (entonces nuevo), cada uno de los cuales podía luego demostrarse utilizando las mismas técnicas. Es decir, los teoremas eran muy similares algebraicamente, incluso si las interpretaciones geométricas fueran distintas.
En 1859, Arthur Cayley inició una unificación de las geometrías métricas mediante el uso de la métrica de Cayley-Klein . Más tarde, Felix Klein utilizó tales métricas para proporcionar una base para la geometría no euclidiana .
En 1872, Felix Klein observó que las numerosas ramas de la geometría que se habían desarrollado durante el siglo XIX ( geometría afín , geometría proyectiva , geometría hiperbólica , etc.) podían tratarse todas de manera uniforme. Lo hizo considerando los grupos bajo los cuales los objetos geométricos eran invariantes. Esta unificación de la geometría recibe el nombre de programa de Erlangen . [2]
La teoría general del ángulo se puede unificar con medida invariante de área . El ángulo hiperbólico se define en términos de área, muy cerca del área asociada con el logaritmo natural . El ángulo circular también tiene interpretación de área cuando se refiere a un círculo con radio igual a la raíz cuadrada de dos. Estas áreas son invariantes con respecto a la rotación hiperbólica y la rotación circular respectivamente. Estas transformaciones afines son efectuadas por elementos del grupo lineal especial SL(2,R) . La inspección de ese grupo revela mapeos de corte que aumentan o disminuyen las pendientes pero las diferencias de pendiente no cambian. Un tercer tipo de ángulo, también interpretado como un área dependiente de las diferencias de pendiente, es invariante debido a la preservación del área de un mapeo de corte. [3]
A principios del siglo XX, muchas partes de las matemáticas comenzaron a tratarse delineando conjuntos útiles de axiomas y luego estudiando sus consecuencias. Así, por ejemplo, los estudios de los " números hipercomplejos ", tal como los considera la Quaternion Society , se colocaron sobre una base axiomática como ramas de la teoría de anillos (en este caso, con el significado específico de álgebras asociativas sobre el campo de los números complejos). ). En este contexto, el concepto de anillo cociente es uno de los unificadores más poderosos.
Se trataba de un cambio general de metodología, ya que las necesidades de las aplicaciones hasta entonces hacían que gran parte de las matemáticas se enseñaran mediante algoritmos (o procesos próximos a ser algorítmicos). La aritmética todavía se enseña de esa manera. Fue un paralelo con el desarrollo de la lógica matemática como una rama independiente de las matemáticas. En la década de 1930 la propia lógica simbólica estaba adecuadamente incluida dentro de las matemáticas.
En la mayoría de los casos, los objetos matemáticos en estudio se pueden definir (aunque no canónicamente) como conjuntos o, de manera más informal, como conjuntos con estructura adicional, como una operación de suma. La teoría de conjuntos sirve ahora como lengua franca para el desarrollo de temas matemáticos.
La causa del desarrollo axiomático fue asumida en serio por el grupo de matemáticos Bourbaki . Llevada al extremo, se pensaba que esta actitud exigía que las matemáticas se desarrollaran en su mayor generalidad. Se partía de los axiomas más generales y luego se especializaba, por ejemplo, introduciendo módulos sobre anillos conmutativos y limitando a espacios vectoriales sobre los números reales sólo cuando era absolutamente necesario. La historia prosiguió de esta manera, incluso cuando las especializaciones eran los teoremas de interés principal.
En particular, esta perspectiva otorgaba poco valor a campos de las matemáticas (como la combinatoria ) cuyos objetos de estudio son muy a menudo especiales o se encuentran en situaciones que sólo pueden relacionarse superficialmente con ramas más axiomáticas de la materia.
La teoría de categorías es una teoría unificadora de las matemáticas que se desarrolló inicialmente en la segunda mitad del siglo XX. [ cita necesaria ] En este sentido, es una alternativa y complemento a la teoría de conjuntos. Un tema clave desde el punto de vista "categórico" es que las matemáticas requieren no sólo ciertos tipos de objetos ( grupos de Lie , espacios de Banach , etc.) sino también asignaciones entre ellos que preserven su estructura.
En particular, esto aclara exactamente qué significa que los objetos matemáticos se consideren iguales . (Por ejemplo, ¿son todos los triángulos equiláteros iguales o importa el tamaño?) Saunders Mac Lane propuso que cualquier concepto con suficiente "ubicuidad" (que ocurre en varias ramas de las matemáticas) merecía ser aislado y estudiado por derecho propio. Podría decirse que la teoría de categorías está mejor adaptada a ese fin que cualquier otro enfoque actual. Las desventajas de confiar en las llamadas tonterías abstractas son cierta insipidez y abstracción en el sentido de romper con las raíces de los problemas concretos. Sin embargo, los métodos de la teoría de categorías han ido ganando aceptación en numerosas áreas (desde los módulos D hasta la lógica categórica ).
En una escala menos amplia, las similitudes entre conjuntos de resultados en dos ramas diferentes de las matemáticas plantean la cuestión de si existe un marco unificador que pueda explicar los paralelos. Ya hemos señalado el ejemplo de la geometría analítica y, de manera más general, el campo de la geometría algebraica desarrolla a fondo las conexiones entre los objetos geométricos ( variedades algebraicas , o más generalmente esquemas ) y los algebraicos ( ideales ); El resultado de referencia aquí es el Nullstellensatz de Hilbert , que en términos generales muestra que existe una correspondencia natural uno a uno entre los dos tipos de objetos.
Se pueden ver otros teoremas desde la misma perspectiva. Por ejemplo, el teorema fundamental de la teoría de Galois afirma que existe una correspondencia uno a uno entre las extensiones de un campo y los subgrupos del grupo de Galois del campo . La conjetura de Taniyama-Shimura para curvas elípticas (ahora probada) establece una correspondencia uno a uno entre curvas definidas como formas modulares y curvas elípticas definidas sobre números racionales . Un área de investigación a veces apodada Monstrous Moonshine desarrolló conexiones entre formas modulares y el grupo finito simple conocido como Monster , comenzando únicamente con la sorprendente observación de que en cada una de ellas el número bastante inusual 196884 surgiría de forma muy natural. Otro campo, conocido como programa Langlands , también comienza con similitudes aparentemente fortuitas (en este caso, entre resultados de la teoría de números y representaciones de ciertos grupos) y busca construcciones de las cuales ambos conjuntos de resultados serían corolarios.
Una breve lista de estas teorías podría incluir:
Un ejemplo bien conocido es la conjetura de Taniyama-Shimura , ahora teorema de modularidad , que proponía que cada curva elíptica sobre los números racionales se puede traducir a una forma modular (de tal manera que se preserve la función L asociada ). Existen dificultades para identificar esto con un isomorfismo, en el sentido estricto de la palabra. Se sabía que ciertas curvas eran tanto curvas elípticas (del género 1) como curvas modulares , antes de que se formulara la conjetura (alrededor de 1955). La parte sorprendente de la conjetura fue la extensión a factores de los jacobianos de curvas modulares de género > 1. Probablemente no parecía plausible que hubiera "suficientes" factores racionales de este tipo antes de que se enunciara la conjetura; y de hecho la evidencia numérica fue escasa hasta alrededor de 1970, cuando las tablas comenzaron a confirmarlo. El caso de las curvas elípticas con multiplicación compleja fue demostrado por Shimura en 1964. Esta conjetura se mantuvo durante décadas antes de ser demostrada de forma generalizada.
De hecho, el programa (o filosofía) de Langlands se parece mucho más a una red de conjeturas unificadoras; realmente postula que la teoría general de las formas automórficas está regulada por los grupos L introducidos por Robert Langlands . Su principio de funtorialidad con respecto al grupo L tiene un valor explicativo muy grande con respecto a los tipos conocidos de elevación de formas automórficas (ahora más ampliamente estudiadas como representaciones automórficas ). Si bien esta teoría está en cierto sentido estrechamente vinculada con la conjetura de Taniyama-Shimura, debe entenderse que la conjetura en realidad opera en la dirección opuesta. Requiere la existencia de una forma automórfica, comenzando con un objeto que (de manera muy abstracta) se encuentra en una categoría de motivos .
Otro punto significativo relacionado es que el enfoque de Langlands se distingue de todo el desarrollo provocado por la luz de la luna monstruosa (conexiones entre funciones modulares elípticas como las series de Fourier y las representaciones grupales del grupo Monster y otros grupos esporádicos ). La filosofía Langlands ni previó ni supo incluir esta línea de investigación.
Otro caso, que hasta ahora está menos desarrollado pero que cubre una amplia gama de matemáticas, es la base conjetural de algunas partes de la teoría K. A la conjetura de Baum-Connes , ahora un problema de larga data, se le han sumado otras en un grupo conocido como conjeturas de isomorfismo en la teoría K. Estos incluyen la conjetura de Farrell-Jones y la conjetura de Bost.
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