La geometría no conmutativa ( NCG ) es una rama de las matemáticas que se ocupa de un enfoque geométrico de las álgebras no conmutativas y de la construcción de espacios que se presentan localmente mediante álgebras de funciones no conmutativas, posiblemente en algún sentido generalizado. Un álgebra no conmutativa es un álgebra asociativa en la que la multiplicación no es conmutativa , es decir, para la que no siempre es igual ; o más generalmente una estructura algebraica en la que una de las principales operaciones binarias no es conmutativa; También se permite que estructuras adicionales, por ejemplo, topología o norma , puedan ser transportadas por el álgebra de funciones no conmutativa.
Un enfoque que brinda una visión profunda de los espacios no conmutativos es a través de álgebras de operadores , es decir, álgebras de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert . [1] Quizás uno de los ejemplos típicos de un espacio no conmutativo es el " toro no conmutativo ", que jugó un papel clave en el desarrollo inicial de este campo en la década de 1980 y condujo a versiones no conmutativas de haces vectoriales , conexiones , curvaturas , etc. 2]
La principal motivación es extender la dualidad conmutativa entre espacios y funciones al entorno no conmutativo. En matemáticas, los espacios , que son de naturaleza geométrica, se pueden relacionar con funciones numéricas sobre ellos. En general, este tipo de funciones formarán un anillo conmutativo . Por ejemplo, se puede tomar el anillo C ( X ) de funciones continuas de valores complejos en un espacio topológico X . En muchos casos ( por ejemplo , si X es un espacio compacto de Hausdorff ), podemos recuperar X de C ( X ) y, por lo tanto, tiene cierto sentido decir que X tiene topología conmutativa .
Más específicamente, en topología, los espacios topológicos compactos de Hausdorff se pueden reconstruir a partir del álgebra de funciones de Banach en el espacio ( Gelfand-Naimark ). En geometría algebraica conmutativa , los esquemas algebraicos son espectros localmente primos de anillos unitales conmutativos ( A. Grothendieck ), y cada esquema cuasi separado puede reconstruirse hasta el isomorfismo de esquemas a partir de la categoría de haces de módulos cuasicoherentes ( P. Gabriel –A .Rosenberg). Para las topologías de Grothendieck , las propiedades cohomológicas de un sitio son invariantes de la categoría correspondiente de haces de conjuntos vistos de manera abstracta como un topos (A. Grothendieck). En todos estos casos, un espacio se reconstruye a partir del álgebra de funciones o su versión categorizada: alguna categoría de haces en ese espacio.
Las funciones en un espacio topológico se pueden multiplicar y sumar puntualmente, por lo que forman un álgebra conmutativa; de hecho, estas operaciones son locales en la topología del espacio base, por lo que las funciones forman un haz de anillos conmutativos sobre el espacio base.
El sueño de la geometría no conmutativa es generalizar esta dualidad a la dualidad entre álgebras no conmutativas, o haces de álgebras no conmutativas, o estructuras algebraicas no conmutativas en forma de haces o estructuras algebraicas de operadores, y entidades geométricas de ciertos tipos, y dar una interacción entre las algebraicas y las descripción geométrica de aquellos a través de esta dualidad.
Considerando que los anillos conmutativos corresponden a esquemas afines habituales, y las álgebras C* conmutativas a espacios topológicos habituales, la extensión a anillos y álgebras no conmutativos requiere una generalización no trivial de los espacios topológicos como "espacios no conmutativos". Por este motivo se habla de topología no conmutativa , aunque el término también tiene otros significados.
Algunas aplicaciones en física de partículas se describen en las entradas Modelo estándar no conmutativo y Teoría cuántica de campos no conmutativa . El repentino aumento del interés por la geometría no conmutativa en física se produce después de las especulaciones sobre su papel en la teoría M realizadas en 1997. [3]
Parte de la teoría desarrollada por Alain Connes para manejar la geometría no conmutativa a nivel técnico tiene sus raíces en intentos más antiguos, en particular en la teoría ergódica . La propuesta de George Mackey de crear una teoría de subgrupos virtuales , respecto de la cual las acciones grupales ergódicas se convertirían en espacios homogéneos de tipo extendido, ya ha sido subsumida.
Los duales (formales) de las álgebras C* no conmutativas a menudo se denominan ahora espacios no conmutativos. Esto es por analogía con la representación de Gelfand , que muestra que las álgebras C* conmutativas son espacios de Hausdorff duales a localmente compactos . En general, se puede asociar a cualquier C*-álgebra S un espacio topológico Ŝ ; ver espectro de un álgebra C* .
Para la dualidad entre espacios de medidas localizables y álgebras conmutativas de von Neumann , las álgebras de von Neumann no conmutativas se denominan espacios de medidas no conmutativas .
Una variedad riemanniana suave M es un espacio topológico con mucha estructura adicional. De su álgebra de funciones continuas C ( M ), solo recuperamos M topológicamente. La invariante algebraica que recupera la estructura riemanniana es una tripleta espectral . Se construye a partir de un paquete de vectores suave E sobre M , por ejemplo, el paquete de álgebra exterior. El espacio de Hilbert L 2 ( M , E ) de secciones cuadradas integrables de E lleva una representación de C ( M ) mediante operadores de multiplicación, y consideramos un operador ilimitado D en L 2 ( M , E ) con resolutivo compacto (por ejemplo, la firma operador ), de modo que los conmutadores [ D , f ] estén acotados siempre que f sea suave. Un teorema profundo [4] establece que M como variedad de Riemann puede recuperarse a partir de estos datos.
Esto sugiere que se podría definir una variedad de Riemann no conmutativa como una triple espectral ( A , H , D ), que consiste en una representación de un álgebra C* A en un espacio de Hilbert H , junto con un operador ilimitado D en H , con compacto resolutivo, tal que [ D , a ] está acotado para todo a en alguna subálgebra densa de A . La investigación en triples espectrales es muy activa y se han construido muchos ejemplos de variedades no conmutativas.
En analogía con la dualidad entre esquemas afines y anillos conmutativos , definimos una categoría de esquemas afines no conmutativos como el dual de la categoría de anillos unitales asociativos. Existen ciertos análogos de la topología de Zariski en ese contexto, de modo que uno puede unir esquemas tan afines a objetos más generales.
También hay generalizaciones del Cono y del Proj de un anillo graduado conmutativo, imitando un teorema de Serre sobre Proj. Es decir, la categoría de haces cuasicoherentes de módulos O en un proyecto de álgebra graduada conmutativa es equivalente a la categoría de módulos graduados sobre el anillo localizado en la subcategoría de módulos graduados de longitud finita de Serre; También existe un teorema análogo para haces coherentes cuando el álgebra es noetheriana. Este teorema es ampliado como una definición de geometría proyectiva no conmutativa por Michael Artin y JJ Zhang, [5] quienes añaden también algunas condiciones generales de la teoría de anillos (por ejemplo, la regularidad de Artin-Schelter).
Muchas propiedades de los esquemas proyectivos se extienden a este contexto. Por ejemplo, existe una analogía de la célebre dualidad de Serre para los esquemas proyectivos no conmutativos de Artin y Zhang. [6]
AL Rosenberg ha creado un concepto relativo bastante general de esquema cuasicompacto no conmutativo (sobre una categoría base), abstrayendo el estudio de Grothendieck sobre morfismos de esquemas y coberturas en términos de categorías de haces cuasicoherentes y funtores de localización planos. [7] También hay otro enfoque interesante a través de la teoría de la localización, debido a Fred Van Oystaeyen , Luc Willaert y Alain Verschoren, donde el concepto principal es el de álgebra esquemática . [8] [9]
Algunas de las cuestiones motivadoras de la teoría tienen que ver con la extensión de invariantes topológicos conocidos a duales formales de álgebras no conmutativas (de operadores) y otros reemplazos y candidatos para espacios no conmutativos. Uno de los principales puntos de partida de la dirección de Alain Connes en geometría no conmutativa es su descubrimiento de una nueva teoría de homología asociada a álgebras asociativas no conmutativas y álgebras de operadores no conmutativas, a saber, la homología cíclica y sus relaciones con la teoría K algebraica (principalmente a través de Connes). Mapa de personajes de Chern).
La teoría de clases características de variedades suaves se ha extendido a triples espectrales, empleando las herramientas de la teoría K del operador y la cohomología cíclica . Varias generalizaciones de teoremas de índices ahora clásicos permiten la extracción efectiva de invariantes numéricas de triples espectrales. La clase característica fundamental en cohomología cíclica, el cociclo JLO , generaliza el carácter clásico de Chern .
Una conexión de Connes es una generalización no conmutativa de una conexión en geometría diferencial . Fue introducido por Alain Connes , y posteriormente generalizado por Joachim Cuntz y Daniel Quillen .
Dado un módulo A derecho E , una conexión de Connes en E es un mapa lineal
que satisface la regla de Leibniz . [11]
