Ciclo JLO

En geometría no conmutativa , el cociclo de Jaffe-Lesniewski-Osterwalder (JLO) (nombrado en honor a Arthur Jaffe , Andrzej Lesniewski y Konrad Osterwalder ) es un cociclo en un grupo completo de cohomología cíclica . Es una versión no conmutativa del carácter clásico de Chern de la geometría diferencial convencional . En geometría no conmutativa, el concepto de variedad se reemplaza por un álgebra no conmutativa de "funciones" en el supuesto espacio no conmutativo. La cohomología cíclica del álgebra contiene la información sobre la topología de ese espacio no conmutativo, de manera muy similar a como la cohomología de De Rham contiene la información sobre la topología de una variedad convencional. ^{[1] [2]} ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

El cociclo JLO está asociado con una estructura métrica de geometría diferencial no conmutativa conocida como triple espectral sumable (también conocido como módulo Fredholm sumable). Fue introducido por primera vez en un artículo de 1988 de Jaffe, Lesniewski y Osterwalder. ^[3] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$

θ {\estilo de visualización \theta} -triples espectrales sumables

La entrada para la construcción de JLO es una tripleta espectral sumable. Estas tripletas constan de los siguientes datos: ${\displaystyle \theta }$

(a) Un espacio de Hilbert tal que actúa sobre él como un álgebra de operadores acotados. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

(b) Una calificación en , . Suponemos que el álgebra es par bajo la calificación, es decir , para todo . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{0}\oplus {\mathcal {H}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle a\gamma =\gamma a}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$

(c) Un operador autoadjunto (ilimitado) , llamado operador de Dirac , tal que ${\displaystyle D}$

(i) es impar bajo , es decir . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle D\gamma =-\gamma D}$

(ii) Cada uno mapea el dominio de , en sí mismo, y el operador está acotado. ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathrm {Dom} \left(D\right)}$ ${\displaystyle \left[D,a\right]:\mathrm {Dom} \left(D\right)\to {\mathcal {H}}}$

(iii) , para todos . ${\displaystyle \mathrm {tr} \left(e^{-tD^{2}}\right)<\infty }$ ${\displaystyle t>0}$

Un ejemplo clásico de una triple espectral -sumable surge de la siguiente manera. Sea una variedad de espín compacta , , el álgebra de funciones suaves en , el espacio de Hilbert de formas integrables cuadradas en , y el operador de Dirac estándar. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}=C^{\infty }\left(M\right)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle D}$

El cociclo

Dado un triple espectral sumable, el cociclo JLO asociado al triple es una secuencia ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Phi _{t}\left(D\right)}$

${\displaystyle \Phi _{t}\left(D\right)=\left(\Phi _{t}^{0}\left(D\right),\Phi _{t}^{2}\left(D\right),\Phi _{t}^{4}\left(D\right),\ldots \right)}$

de funcionales en el álgebra , donde ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \Phi _{t}^{0}\left(D\right)\left(a_{0}\right)=\mathrm {tr} \left(\gamma a_{0}e^{-tD^{2}}\right),}$

${\displaystyle \Phi _{t}^{n}\left(D\right)\left(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\right)=\int _{0\leq s_{1}\leq \ldots s_{n}\leq t}\mathrm {tr} \left(\gamma a_{0}e^{-s_{1}D^{2}}\left[D,a_{1}\right]e^{-\left(s_{2}-s_{1}\right)D^{2}}\ldots \left[D,a_{n}\right]e^{-\left(t-s_{n}\right)D^{2}}\right)ds_{1}\ldots ds_{n},}$

para . La clase de cohomología definida por es independiente del valor de ${\displaystyle n=2,4,\dots }$ ${\displaystyle \Phi _{t}\left(D\right)}$ ${\displaystyle t}$

Véase también

• Homología cíclica
• Clase Chern
• Arthur Jaffe

Referencias

1. Jaffe, Arthur (8 de septiembre de 1997). "Análisis armónico cuántico e invariantes geométricos". arXiv : physics/9709011 .
2. Higson, Nigel (2002). Teoría K y geometría no conmutativa (PDF) . Universidad Estatal de Pensilvania. pp. Clase 4. Archivado desde el original (PDF) el 24 de junio de 2010.
3. Jaffe, Arthur; Lesniewski, Andrzej; Osterwalder, Konrad (1988). "Teoría cuántica $K$. I. El carácter de Chern". Comunicaciones en física matemática . 118 (1): 1–14. Bibcode :1988CMaPh.118....1J. doi :10.1007/BF01218474. ISSN  0010-3616.