Fracción continua

Número representado como b0+a1/(b1+a2/...)

${\displaystyle b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+\ddots }}}}}}}$

Una fracción continua generalizada infinita se define mediante las secuencias , para , con . ${\displaystyle \{a_{i}\},\{b_{i}\}}$ ${\displaystyle i=0,1,2,\ldots }$ ${\displaystyle a_{0}=0}$

${\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}}}$

Una fracción continua regular finita, donde es un entero no negativo, es un entero y es un entero positivo, para . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$

Una fracción continua es una expresión matemática que puede escribirse como una fracción cuyo denominador es una suma que contiene otra fracción simple o continua. Dependiendo de si esta iteración termina con una fracción simple o no, la fracción continua es finita o infinita . ^[1]

En general, una fracción continua se determina mediante una secuencia de numeradores y denominadores de constantes o funciones. A menudo, en la teoría de números , el uso estándar no calificado del término fracción continua tiene todos los numeradores iguales a 1, lo que se conoce como fracción continua simple o regular , y es el caso que trata este artículo. Las fracciones continuas más generales se analizan en fracción continua (generalizada) . Los denominadores forman una secuencia y todos son números enteros positivos. Por lo general, una fracción continua de este tipo se obtiene mediante un proceso iterativo de representación de un número como la suma de su parte entera y el recíproco de otro número, luego escribir este otro número como la suma de su parte entera y otro recíproco, y así sucesivamente. En una fracción continua finita (o terminada ), la iteración/ recursión se detiene después de un número finito de pasos al usar un número entero en lugar de otra fracción continua. Por el contrario, una fracción continua infinita es una expresión infinita . En cualquier caso, todos los números enteros en la secuencia, excepto el primero, deben ser positivos . Los números enteros se denominan coeficientes o términos de la fracción continua. ^[2] ${\displaystyle \{a_{i}\},\{b_{i}\}}$ ${\displaystyle \{a_{i}\}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$

Las fracciones continuas tienen una serie de propiedades notables relacionadas con el algoritmo euclidiano para números enteros o reales . Todo número racional ⁠ ${\displaystyle p}$/ ${\displaystyle q}$⁠ tiene dos expresiones estrechamente relacionadas como fracción continua finita, cuyos coeficientes a _i se pueden determinar aplicando el algoritmo de Euclides a . El valor numérico de una fracción continua infinita es irracional ; se define a partir de su secuencia infinita de números enteros como el límite de una secuencia de valores para fracciones continuas finitas. Cada fracción continua finita de la secuencia se obtiene utilizando un prefijo finito de la secuencia de números enteros que define la fracción continua infinita. Además, cada número irracional es el valor de una única fracción continua regular infinita, cuyos coeficientes se pueden encontrar utilizando la versión no terminal del algoritmo de Euclides aplicado a los valores inconmensurables y 1. Esta forma de expresar números reales (racionales e irracionales) se llama su representación de fracción continua . ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Motivación y notación

Consideremos, por ejemplo, el número racional ⁠415/93⁠ , que es aproximadamente 4,4624. Como primera aproximación , comenzamos con 4, que es la parte entera ; ⁠415/93⁠ = 4 + ⁠43/93⁠ . La parte fraccionaria es el recíproco de ⁠93/43⁠ que es aproximadamente 2,1628. Utilice la parte entera, 2, como aproximación del recíproco para obtener una segunda aproximación de 4 + ⁠1/2⁠ = 4,5. Ahora, ⁠93/43⁠ = 2 + ⁠7/43⁠ ; la parte fraccionaria restante, ⁠7/43⁠ , es el recíproco de ⁠43/7⁠ , y ⁠43/7⁠ es aproximadamente 6,1429. Use 6 como aproximación para obtener 2 + ⁠1/6⁠ como una aproximación para ⁠93/43⁠ y 4 + ⁠1/2 + ⁠1/6⁠⁠ , aproximadamente 4,4615, como tercera aproximación. Además, ⁠43/7⁠ = 6 + ⁠1/7⁠ . Finalmente, la parte fraccionaria, ⁠1/7⁠ , es el recíproco de 7, por lo que su aproximación en este esquema, 7, es exacta ( ⁠7/1⁠ = 7 + ⁠0/1⁠ ) ​​y produce la expresión exactapara ⁠ $${\displaystyle 4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{7}}}}}}}$$415/93⁠ .

Esa expresión se llama representación de fracción continua de ⁠415/93⁠ . Esto se puede representar mediante la notación abreviada ⁠415/93⁠ = [4; 2, 6, 7]. (Es habitual sustituir solo la primera coma por un punto y coma para indicar que el número precedente es la parte entera). Algunos libros de texto más antiguos utilizan todas las comas en la ( n + 1) -tupla, por ejemplo, [4, 2, 6, 7]. ^{[3] [4]}

Si el número inicial es racional, entonces este proceso es exactamente paralelo al algoritmo euclidiano aplicado al numerador y denominador del número. En particular, debe terminar y producir una representación de fracción continua finita del número. La secuencia de números enteros que aparecen en esta representación es la secuencia de cocientes sucesivos calculados por el algoritmo euclidiano. Si el número inicial es irracional , entonces el proceso continúa indefinidamente. Esto produce una secuencia de aproximaciones, todas las cuales son números racionales, y estas convergen al número inicial como límite. Esta es la representación de fracción continua (infinita) del número. Ejemplos de representaciones de fracción continua de números irracionales son:

• √ 19 = [4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8,...] (secuencia A010124 en la OEIS ). El patrón se repite indefinidamente con un periodo de 6.
• e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,...](secuenciaA003417en laOEIS). El patrón se repite indefinidamente con un período de 3 excepto que se añade 2 a uno de los términos en cada ciclo.
• π = [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,...] (secuencia A001203 en la OEIS ). Nunca se ha encontrado ningún patrón en esta representación.
• Φ = [1;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...] (secuencia A000012 en la OEIS ). La proporción áurea , el número irracional que es el "más difícil" de aproximar racionalmente (véase § Una propiedad de la proporción áurea φ más abajo) .
• γ = [0;1,1,2,1,2,1,4,3,13,5,1,...] (secuencia A002852 en la OEIS ). La constante de Euler-Mascheroni , que se espera pero no se sabe que sea irracional, y cuya fracción continua no tiene un patrón aparente.

Las fracciones continuas son, en cierto modo, representaciones "matemáticamente más naturales" de un número real que otras representaciones como las representaciones decimales , y tienen varias propiedades deseables:

• La representación fraccionaria continua de un número real es finita si y solo si es un número racional. Por el contrario, la representación decimal de un número racional puede ser finita, por ejemplo137/1600⁠ = 0,085625 , o infinito con un ciclo repetitivo, por ejemplo4/27⁠ = 0,148148148148...
• Cada número racional tiene una representación fraccionaria continua simple esencialmente única. Cada número racional se puede representar exactamente de dos maneras, ya que [ a ₀ ; a ₁ ,... a _{n −1} , a _n ] = [ a ₀ ; a ₁ ,... a _{n −1} ,( a _n −1),1] . Por lo general, se elige como representación canónica la primera, la más corta .
• La representación de un número irracional mediante una fracción continua simple es única. (Sin embargo, son posibles representaciones adicionales cuando se utilizan fracciones continuas generalizadas ; consulte a continuación).
• Los números reales cuya fracción continua eventualmente se repite son precisamente los irracionales cuadráticos . ^[5] Por ejemplo, la fracción continua periódica [1;1,1,1,...] es la proporción áurea , y la fracción continua periódica [1;2,2,2,...] es la raíz cuadrada de 2. En contraste, las representaciones decimales de los irracionales cuadráticos son aparentemente aleatorias . Las raíces cuadradas de todos los números enteros (positivos) que no son cuadrados perfectos son irracionales cuadráticos y, por lo tanto, son fracciones continuas periódicas únicas.
• Las aproximaciones sucesivas generadas para encontrar la representación de fracción continua de un número, es decir, truncando la representación de fracción continua, son en cierto sentido (descrito a continuación) las "mejores posibles".

Formulación

Una fracción continua en forma canónica es una expresión de la forma

${\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\vphantom {\cfrac {1}{1}}}{_{\ddots }}}}}}}}}$

donde a _i son números enteros, llamados coeficientes o términos de la fracción continua. ^[2]

Cuando la expresión contiene un número finito de términos, se denomina fracción continua finita . Cuando la expresión contiene un número infinito de términos, se denomina fracción continua infinita . ^[6] Cuando los términos se repiten a partir de un punto, la fracción continua se denomina periódica . ^[5]

Por lo tanto, todo lo siguiente ilustra fracciones continuas simples finitas válidas:

Para fracciones continuas simples de la forma

${\displaystyle r=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\vphantom {\cfrac {1}{1}}}{_{\ddots }}}}}}}}}$

El término se puede calcular utilizando la siguiente fórmula recursiva: ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle a_{n}=\left\lfloor {\frac {N_{n}}{N_{n+1}}}\right\rfloor }$

donde y ${\displaystyle N_{n+1}=N_{n-1}{\bmod {N}}_{n}}$ ${\displaystyle {\begin{cases}N_{0}=r,\\N_{1}=1,\end{cases}}}$

de lo cual se puede entender que la secuencia se detiene si . ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle N_{n+1}=0}$

Notaciones

Considere una fracción continua expresada como

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{a_{4}}}}}}}}}}$

Debido a que una expresión de fracción continua de este tipo puede ocupar una cantidad significativa de espacio vertical, se han probado varios métodos para reducirla.

Gottfried Leibniz utilizó a veces la notación ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}x=a_{0}+{\dfrac {1}{a_{1}}}{{} \atop +}\\[28mu]\ \end{aligned}}\!{\begin{aligned}{\dfrac {1}{a_{2}}}{{} \atop +}\\[2mu]\ \end{aligned}}\!{\begin{aligned}{\dfrac {1}{a_{3}}}{{} \atop +}\end{aligned}}\!{\begin{aligned}\\[2mu]{\dfrac {1}{a_{4}}},\end{aligned}}}$

y más tarde la misma idea fue llevada aún más lejos con las barras de fracciones anidadas dibujadas alineadas, por ejemplo por Alfred Pringsheim como

${\displaystyle x=a_{0}+{\frac {\ \ 1\ \mid }{\mid \,a_{1}}}+{\frac {\ \ 1\,\mid }{\mid \,a_{2}}}+{\frac {\ \ 1\,\mid }{\mid \,a_{3}}}+{\frac {\ \ 1\,\mid }{\mid \,a_{4}}},}$

o en notaciones relacionadas más comunes como ^[8]

${\displaystyle x=a_{0}+{1 \over a_{1}+}\,{1 \over a_{2}+}\,{1 \over a_{3}+}\,{1 \over a_{4}}}$

o

${\displaystyle x=a_{0}+{1 \over a_{1}}{{} \atop +}{1 \over a_{2}}{{} \atop +}{1 \over a_{3}}{{} \atop +}{1 \over a_{4}}.}$

Carl Friedrich Gauss utilizó una notación que recuerda a la notación de suma .

${\displaystyle x=a_{0}+{\underset {i=1}{\overset {4}{\mathrm {K} }}}~{\frac {1}{a_{i}}},}$

o en los casos donde el numerador es siempre 1, eliminar las barras de fracción por completo, escribiendo un estilo de lista

${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}].}$

A veces, la notación de estilo de lista utiliza corchetes angulares en su lugar,

${\displaystyle x=\left\langle a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right\rangle .}$

El punto y coma en las notaciones entre corchetes y ángulos a veces se reemplaza por una coma. ^{[3] [4]}

También se pueden definir fracciones continuas simples infinitas como límites :

${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots \,]=\lim _{n\to \infty }\,[a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n}].}$

Este límite existe para cualquier elección de y números enteros positivos . ^{[9] [10]} ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$

Cálculo de representaciones de fracciones continuas

Consideremos un número real ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ . Sean y sean ⁠ ⁠ . Cuando ⁠ ⁠ , la representación en fracción continua de es ⁠ ⁠ , donde es la representación en fracción continua de ⁠ ⁠ . Cuando ⁠ ⁠ , entonces es la parte entera de , y es la parte fraccionaria de ⁠ ⁠ . ${\displaystyle i=\lfloor r\rfloor }$ ${\displaystyle f=r-i}$ ${\displaystyle f\neq 0}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle [i;a_{1},a_{2},\ldots ]}$ ${\displaystyle [a_{1};a_{2},\ldots ]}$ ${\displaystyle 1/f}$ ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r}$

Para calcular la representación de una fracción continua de un número , escribe el piso de . Resta este valor de . Si la diferencia es 0, detente; de ​​lo contrario, encuentra el recíproco de la diferencia y repite. El procedimiento se detendrá si y solo si es racional. Este proceso se puede implementar de manera eficiente utilizando el algoritmo euclidiano cuando el número es racional. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

La siguiente tabla muestra una implementación de este procedimiento para el número ⁠ ⁠ ${\displaystyle 3.245=649/200}$ :

La fracción continua para ⁠ ⁠ ${\displaystyle 3.245}$ es así o, desarrollada: ${\displaystyle [3;4,12,4],}$

$${\displaystyle {\frac {649}{200}}=3+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {1}{4}}}}}}.}$$

Recíprocos

Las representaciones fraccionarias continuas de un número racional positivo y su recíproco son idénticas, salvo por un desplazamiento de un lugar hacia la izquierda o hacia la derecha, según si el número es menor o mayor que uno, respectivamente. En otras palabras, los números representados por y son recíprocos. ${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]}$ ${\displaystyle [0;a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}]}$

Por ejemplo, si es un entero y entonces ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x<1}$

${\displaystyle x=0+{\frac {1}{a+{\frac {1}{b}}}}}$y . ${\displaystyle {\frac {1}{x}}=a+{\frac {1}{b}}}$

Si entonces ${\displaystyle x>1}$

${\displaystyle x=a+{\frac {1}{b}}}$y . ${\displaystyle {\frac {1}{x}}=0+{\frac {1}{a+{\frac {1}{b}}}}}$

El último número que genera el resto de la fracción continua es el mismo para ambos y su recíproco. ${\displaystyle x}$

Por ejemplo,

${\displaystyle 2.25={\frac {9}{4}}=[2;4]}$y . ${\displaystyle {\frac {1}{2.25}}={\frac {4}{9}}=[0;2,4]}$

Fracciones continuas finitas

Toda fracción continua finita representa un número racional , y todo número racional puede representarse de dos formas diferentes como fracción continua finita, con las condiciones de que el primer coeficiente sea un entero y los demás coeficientes sean enteros positivos. Estas dos representaciones concuerdan excepto en sus términos finales. En la representación más larga, el término final de la fracción continua es 1; la representación más corta omite el 1 final, pero aumenta el nuevo término final en 1. Por lo tanto, el elemento final en la representación corta siempre es mayor que 1, si está presente. En símbolos:

[ a ₀ ; a ₁ , a ₂ , ..., a _{n − 1} , a _n , 1] = [ a ₀ ; a ₁ , a ₂ , ..., a _{n − 1} , a _n + 1] .

[ a ₀ ; 1] = [ a ₀ + 1] .

Fracciones continuas infinitas y convergentes

Convergentes que se acercan a la proporción áurea

Toda fracción continua infinita es irracional , y todo número irracional puede representarse de una sola manera como una fracción continua infinita.

Una representación de fracción continua infinita para un número irracional es útil porque sus segmentos iniciales proporcionan aproximaciones racionales al número. Estos números racionales se denominan convergentes de la fracción continua. ^{[11] [12]} Cuanto mayor sea un término en la fracción continua, más cerca estará el convergente correspondiente del número irracional que se está aproximando. Números como π tienen ocasionalmente términos grandes en su fracción continua, lo que hace que sea fácil aproximarlos con números racionales. Otros números como e tienen solo términos pequeños al principio de su fracción continua, lo que hace que sea más difícil aproximarlos racionalmente. La proporción áurea Φ tiene términos iguales a 1 en todas partes (los valores más pequeños posibles), lo que hace que Φ sea el número más difícil de aproximar racionalmente. En este sentido, por lo tanto, es el "más irracional" de todos los números irracionales. Los convergentes de número par son más pequeños que el número original, mientras que los de número impar son más grandes.

Para una fracción continua [ a ₀ ; a ₁ , a ₂ , ...] , los primeros cuatro convergentes (numerados del 0 al 3) son

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{1}},\,{\frac {a_{1}a_{0}+1}{a_{1}}},\,{\frac {a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0}}{a_{2}a_{1}+1}},\,{\frac {a_{3}{\bigl (}a_{2}(a_{1}a_{0}+1)+a_{0}{\bigr )}+(a_{1}a_{0}+1)}{a_{3}(a_{2}a_{1}+1)+a_{1}}}.}$

El numerador del tercer convergente se forma multiplicando el numerador del segundo convergente por el tercer coeficiente y sumando el numerador del primer convergente. Los denominadores se forman de manera similar. Por lo tanto, cada convergente se puede expresar explícitamente en términos de la fracción continua como el cociente de ciertos polinomios multivariados llamados continuos .

Si se encuentran convergentes sucesivos, con numeradores h ₁ , h ₂ , ... y denominadores k ₁ , k ₂ , ... entonces la relación recursiva relevante es la de los corchetes gaussianos :

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}&=a_{n}h_{n-1}+h_{n-2},\\[3mu]k_{n}&=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}.\end{aligned}}}$

Los convergentes sucesivos vienen dados por la fórmula

${\displaystyle {\frac {h_{n}}{k_{n}}}={\frac {a_{n}h_{n-1}+h_{n-2}}{a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}}}.}$

Por lo tanto, para incorporar un nuevo término en una aproximación racional, sólo son necesarios los dos convergentes anteriores. Los "convergentes" iniciales (requeridos para los dos primeros términos) son ⁰ ⁄ ₁ y ¹ ⁄ ₀ . Por ejemplo, aquí están los convergentes para [0;1,5,2,2].

Al utilizar el método babilónico para generar aproximaciones sucesivas a la raíz cuadrada de un entero, si se comienza con el entero más bajo como primer aproximador, todos los racionales generados aparecen en la lista de convergentes para la fracción continua. Específicamente, los aproximadores aparecerán en la lista de convergentes en las posiciones 0, 1, 3, 7, 15, ... ,  2 ^k −1 , ... Por ejemplo, la expansión de la fracción continua para es [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, ...] . Comparando los convergentes con los aproximadores derivados del método babilónico: ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

x ₀ = 1 = ⁠1/1⁠

x ₁ = ⁠1/2⁠ (1 + ⁠3/1⁠ ) ​​= ⁠2/1⁠ = 2

x ₂ = ⁠1/2⁠ (2 + ⁠3/2⁠ ) ​​= ⁠7/4⁠

x3 = _⁠​1/2⁠ ( ⁠7/4⁠ + ⁠3/⁠7/4⁠⁠ ) ​​= ⁠97/56⁠

Propiedades

Un espacio de Baire es un espacio topológico sobre secuencias infinitas de números naturales. La fracción continua infinita proporciona un homeomorfismo del espacio de Baire al espacio de números reales irracionales (con la topología del subespacio heredada de la topología usual sobre los reales). La fracción continua infinita también proporciona una función entre los irracionales cuadráticos y los racionales diádicos , y de otros irracionales al conjunto de cadenas infinitas de números binarios (es decir, el conjunto de Cantor ); esta función se denomina función de signo de interrogación de Minkowski . La función tiene interesantes propiedades fractales autosimilares ; estas están dadas por el grupo modular , que es el subgrupo de transformaciones de Möbius que tienen valores enteros en la transformada. En términos generales, las fracciones continuas convergentes pueden tomarse como transformaciones de Möbius que actúan sobre el semiplano superior (hiperbólico) ; esto es lo que conduce a la autosimetría fractal.

La distribución de probabilidad límite de los coeficientes en la expansión fraccionaria continua de una variable aleatoria distribuida uniformemente en (0, 1) es la distribución de Gauss-Kuzmin .

Algunos teoremas útiles

Si es una secuencia infinita de números enteros positivos, defina las secuencias y recursivamente: ${\displaystyle \ a_{0}\ ,}$ ${\displaystyle a_{1}\ ,}$ ${\displaystyle a_{2}\ ,}$ ${\displaystyle \ \ldots \ }$ ${\displaystyle \ h_{n}\ }$ ${\displaystyle \ k_{n}\ }$

Teorema 1. Para cualquier número real positivo ${\displaystyle \ x\ }$

${\displaystyle \left[\ a_{0};\ a_{1},\ \dots ,a_{n-1},x\ \right]={\frac {x\ h_{n-1}+h_{n-2}}{\ x\ k_{n-1}+k_{n-2}\ }},\quad \left[\ a_{0};\ a_{1},\ \dots ,a_{n-1}+x\ \right]={\frac {h_{n-1}+xh_{n-2}}{\ k_{n-1}+xk_{n-2}\ }}}$

Teorema 2. Los convergentes de están dados por ${\displaystyle \ [\ a_{0}\ ;}$ ${\displaystyle a_{1}\ ,}$ ${\displaystyle a_{2}\ ,}$ ${\displaystyle \ldots \ ]\ }$

${\displaystyle \left[\ a_{0};\ a_{1},\ \dots ,a_{n}\ \right]={\frac {h_{n}}{\ k_{n}\ }}~.}$

o en forma de matriz, $${\displaystyle {\begin{bmatrix}h_{n}&h_{n-1}\\k_{n}&k_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{0}&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdots {\begin{bmatrix}a_{n}&1\\1&0\end{bmatrix}}}$$

Teorema 3. Si la ésima convergente a una fracción continua es entonces ${\displaystyle \ n}$ ${\displaystyle \ {\frac {h_{n}}{k_{n}}}\ ,}$

${\displaystyle k_{n}\ h_{n-1}-k_{n-1}\ h_{n}=(-1)^{n}\ ,}$

o equivalentemente

${\displaystyle {\frac {h_{n}}{\ k_{n}\ }}-{\frac {h_{n-1}}{\ k_{n-1}\ }}={\frac {(-1)^{n+1}}{\ k_{n-1}\ k_{n}\ }}~.}$

Corolario 1: Cada convergente está en sus términos más bajos (porque si y tuvieran un divisor común no trivial se dividirían, lo cual es imposible). ${\displaystyle \ h_{n}\ }$ ${\displaystyle \ k_{n}\ }$ ${\displaystyle \ k_{n}\ h_{n-1}-k_{n-1}\ h_{n}\ ,}$

Corolario 2: La diferencia entre convergentes sucesivos es una fracción cuyo numerador es la unidad:

${\displaystyle {\frac {h_{n}}{k_{n}}}-{\frac {h_{n-1}}{k_{n-1}}}={\frac {\ h_{n}\ k_{n-1}-k_{n}\ h_{n-1}\ }{\ k_{n}\ k_{n-1}\ }}={\frac {(-1)^{n+1}}{\ k_{n}\ k_{n-1}\ }}~.}$

Corolario 3: La fracción continua es equivalente a una serie de términos alternados:

${\displaystyle a_{0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\ k_{n}\ k_{n+1}\ }}~.}$

Corolario 4: La matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}h_{n}&h_{n-1}\\k_{n}&k_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{0}&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdots {\begin{bmatrix}a_{n}&1\\1&0\end{bmatrix}}}$

tiene determinante y por lo tanto pertenece al grupo de matrices unimodulares ${\displaystyle (-1)^{n+1}}$ ${\displaystyle \ 2\times 2\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {GL} (2,\mathbb {Z} )~.}$

Corolario 5: La matriz tiene determinante , o equivalentemente, lo que significa que los términos impares decrecen monótonamente, mientras que los términos pares aumentan monótonamente. $${\displaystyle {\begin{bmatrix}h_{n}&h_{n-2}\\k_{n}&k_{n-2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{n-1}&h_{n-2}\\k_{n-1}&k_{n-2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{n}&0\\1&1\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle (-1)^{n}a_{n}}$ $${\displaystyle {\frac {h_{n}}{\ k_{n}\ }}-{\frac {h_{n-2}}{\ k_{n-2}\ }}={\frac {(-1)^{n}}{\ k_{n-2}\ k_{n}\ }}a_{n}}$$

Corolario 6: La secuencia del denominador satisface la relación de recurrencia y crece al menos tan rápido como la secuencia de Fibonacci , que a su vez crece como donde es la proporción áurea . ${\displaystyle k_{0},k_{1},k_{2},\dots }$ ${\displaystyle k_{-1}=0,k_{0}=1,k_{n}=k_{n-1}a_{n}+k_{n-2}}$ ${\displaystyle O(\phi ^{n})}$ ${\displaystyle \phi =1.618\dots }$

Teorema 4. Cada ( ésimo) convergente está más cerca de un ( ésimo) convergente posterior que cualquier ( ésimo) convergente precedente. En símbolos, si se toma el (ésimo) convergente como entonces ${\displaystyle \ s}$ ${\displaystyle \ n}$ ${\displaystyle \ r}$ ${\displaystyle \ n}$ ${\displaystyle \ \left[\ a_{0};\ a_{1},\ \ldots ,\ a_{n}\ \right]=x_{n}\ ,}$

${\displaystyle \left|\ x_{r}-x_{n}\ \right|>\left|\ x_{s}-x_{n}\ \right|}$

a pesar de ${\displaystyle \ r<s<n~.}$

Corolario 1: Los convergentes pares (antes del th) aumentan continuamente, pero siempre son menores que ${\displaystyle \ n}$ ${\displaystyle \ x_{n}~.}$

Corolario 2: Los convergentes impares (antes del th) disminuyen continuamente, pero siempre son mayores que ${\displaystyle \ n}$ ${\displaystyle \ x_{n}~.}$

Teorema 5.

${\displaystyle {\frac {1}{\ k_{n}\ (k_{n+1}+k_{n})\ }}<\left|\ x-{\frac {h_{n}}{\ k_{n}\ }}\ \right|<{\frac {1}{\ k_{n}\ k_{n+1}\ }}~.}$

Corolario 1: Un convergente está más cerca del límite de la fracción continua que cualquier fracción cuyo denominador sea menor que el del convergente.

Corolario 2: Un convergente obtenido al terminar la fracción continua justo antes de un término grande es una aproximación cercana al límite de la fracción continua.

Teorema 6: Considérese el conjunto de todos los intervalos abiertos con puntos finales . Denotémoslo como . Cualquier subconjunto abierto de es una unión disjunta de conjuntos de . ${\displaystyle [0;a_{1},\dots ,a_{n}],[0;a_{1},\dots ,a_{n}+1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle [0,1]\setminus \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Corolario: La fracción continua infinita proporciona un homeomorfismo del espacio de Baire a . ${\displaystyle [0,1]\setminus \mathbb {Q} }$

Semiconvergentes

Si

${\displaystyle {\frac {h_{n-1}}{k_{n-1}}},{\frac {h_{n}}{k_{n}}}}$

son convergentes consecutivos, entonces cualquier fracción de la forma

${\displaystyle {\frac {h_{n-1}+mh_{n}}{k_{n-1}+mk_{n}}},}$

donde es un entero tal que , se denominan semiconvergentes , convergentes secundarios o fracciones intermedias . El -st semiconvergente es igual al mediante del -th uno y el convergente . A veces se entiende que el término significa que ser semiconvergente excluye la posibilidad de ser convergente (es decir, ), en lugar de que un convergente sea un tipo de semiconvergente. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 0\leq m\leq a_{n+1}}$ ${\displaystyle (m+1)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\tfrac {h_{n}}{k_{n}}}}$ ${\displaystyle 0<m<a_{n+1}}$

De ello se deduce que los semiconvergentes representan una secuencia monótona de fracciones entre los convergentes (correspondientes a ) y (correspondientes a ). Los semiconvergentes consecutivos y satisfacen la propiedad . ${\displaystyle {\tfrac {h_{n-1}}{k_{n-1}}}}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle {\tfrac {h_{n+1}}{k_{n+1}}}}$ ${\displaystyle m=a_{n+1}}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}$ ${\displaystyle ad-bc=\pm 1}$

Si una aproximación racional a un número real es tal que el valor es menor que el de cualquier aproximación con un denominador menor, entonces es una semiconvergente de la expansión fraccionaria continua de . Sin embargo, lo inverso no es cierto. ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left|x-{\tfrac {p}{q}}\right|}$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ ${\displaystyle x}$

Mejores aproximaciones racionales

Se puede optar por definir una mejor aproximación racional a un número real x como un número racional .norte/d⁠ , d > 0 , que está más cerca de x que cualquier aproximación con un denominador menor o igual. La fracción continua simple para x se puede utilizar para generar todas las mejores aproximaciones racionales para x aplicando estas tres reglas:

1. Trunca la fracción continua y reduce su último término en una cantidad elegida (posiblemente cero).
2. El término reducido no puede tener menos de la mitad de su valor original.
3. Si el término final es par, la mitad de su valor sólo es admisible si el semiconvergente correspondiente es mejor que el convergente anterior. (Véase más abajo.)

Por ejemplo, 0,84375 tiene fracción continua [0;1,5,2,2]. Aquí están todas sus mejores aproximaciones racionales.

Mejores aproximaciones racionales para π (círculo verde), e (rombo azul), ϕ (oblongo rosa), (√3)/2 (hexágono gris), 1/√2 (octágono rojo) y 1/√3 (triángulo naranja) calculadas a partir de sus expansiones en fracciones continuas, representadas como pendientes y / x con errores respecto de sus valores verdaderos (guiones negros)  

• en
• a
• mi

El aumento estrictamente monótono de los denominadores a medida que se incluyen términos adicionales permite que un algoritmo imponga un límite, ya sea en el tamaño del denominador o en la cercanía de la aproximación.

La "regla de la mitad" mencionada anteriormente requiere que cuando a _k es par, el término reducido a la mitad a _k /2 es admisible si y sólo si | x − [ a ₀  ; a ₁ , ..., a _{k − 1} ]| > | x − [ a ₀  ; a ₁ , ..., a _{k − 1} , a _k /2]| ^[13] Esto es equivalente ^[13] a: Shoemake (1995).

[ a _k ; a _{k − 1} , ..., a ₁ ] > [ a _k ; a _{k + 1} , ...] .

Las convergentes a x son "mejores aproximaciones" en un sentido mucho más fuerte que el definido anteriormente. Es decir, n / d es convergente para x si y solo si | dx − n | tiene el valor más pequeño entre las expresiones análogas para todas las aproximaciones racionales m / c con c ≤ d ; es decir, tenemos | dx − n | < | cx − m | siempre que c < d . (Obsérvese también que | d _k x − n _k | → 0 cuando k → ∞ .)

Mejor racional dentro de un intervalo

Un racional que cae dentro del intervalo ( x ,  y ) , para 0 < x < y , se puede encontrar con las fracciones continuas para x e y . Cuando tanto x como y son irracionales y

x = [ a ₀ ; a ₁ , a ₂ , ..., a _{k − 1} , a _k , a _{k + 1} , ...]

y = [ a ₀ ; a ₁ , a ₂ , ..., a _{k − 1} , b _k , b _{k + 1} , ...]

donde x e y tienen expansiones fraccionarias continuas idénticas hasta a _{k −1} , un racional que cae dentro del intervalo ( x ,  y ) está dado por la fracción continua finita,

z ( x , y ) = [ a ₀ ; a ₁ , a ₂ , ..., a _{k − 1} , min( a _k , b _k ) + 1]

Este racional será mejor en el sentido de que ningún otro racional en ( x ,  y ) tendrá un numerador más pequeño o un denominador más pequeño. ^{[14] [15]}

Si x es racional, tendrá dos representaciones de fracción continua que son finitas , x ₁ y x ₂ , y de manera similar, un racional  y tendrá dos representaciones, y ₁ e y ₂ . Los coeficientes más allá del último en cualquiera de estas representaciones deben interpretarse como +∞ ; y el mejor racional será uno de z ( x ₁ ,  y ₁ ) , z ( x ₁ ,  y ₂ ) , z ( x ₂ ,  y ₁ ) o z ( x ₂ ,  y ₂ ) .

Por ejemplo, la representación decimal 3,1416 se puede redondear a partir de cualquier número en el intervalo [3,14155, 3,14165) . Las representaciones de fracciones continuas de 3,14155 y 3,14165 son

3,14155 = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 1, 1] = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 2]

3,14165 = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 3, 1] = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 4]

y la mejor razón entre estos dos es

[3; 7, 16] = ⁠355/113⁠ = 3,1415929....

Así pues, ⁠355/113⁠ es el mejor número racional correspondiente al número decimal redondeado 3,1416, en el sentido de que ningún otro número racional que se redondeara a 3,1416 tendrá un numerador menor o un denominador menor.

Intervalo para una convergente

Un número racional, que puede expresarse como fracción continua finita de dos maneras,

z = [ a ₀ ; a ₁ , ..., a _{k − 1} , a _k , 1] = [ a ₀ ; a ₁ , ..., a _{k − 1} , a _k + 1] = ⁠paquete_​/q _k⁠

será uno de los convergentes para la expansión fraccionaria continua de un número, si y solo si el número está estrictamente entre (ver esta prueba)

x = [ a ₀ ; a ₁ , ..., a _{k − 1} , a _k , 2] = ⁠2 pk - pk _{- 1}/2 q _k - q _k-1⁠ y

y = [ a ₀ ; un ₁ , ..., un _{k − 1} , un _k + 2] = ⁠pk + pk _{- 1}/qk ₊ qk _- 1⁠

Los números x e y se forman incrementando el último coeficiente en las dos representaciones de z . Se da el caso de que x < y cuando k es par, y x > y cuando k es impar.

Por ejemplo, el número ⁠355/113⁠ tiene representaciones de fracciones continuas

⁠355/113⁠ = [3; 7, 15, 1] ​​= [3; 7, 16]

y así355/113⁠ es un convergente de cualquier número estrictamente entre

Teorema de Legendre sobre fracciones continuas

En su Ensayo sobre la teoría de los nombres (1798), Adrien-Marie Legendre deriva una condición necesaria y suficiente para que un número racional sea convergente de la fracción continua de un número real dado. ^[16] Una consecuencia de este criterio, a menudo llamado teorema de Legendre dentro del estudio de las fracciones continuas, es la siguiente: ^[17]

Teorema . Si α es un número real y p , q son números enteros positivos tales que , entonces p / q es un convergente de la fracción continua de α . ${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{2q^{2}}}}$

Este teorema constituye la base del ataque de Wiener , una explotación en tiempo polinomial del protocolo criptográfico RSA que puede ocurrir por una elección imprudente de claves públicas y privadas (específicamente, este ataque tiene éxito si los factores primos de la clave pública n = pq satisfacen p < q < 2 p y la clave privada d es menor que (1/3) n ^1/4 ). ^[19]

Comparación

Considere x = [ a ₀ ; a ₁ , ...] e y = [ b ₀ ; b ₁ , ...] . Si k es el índice más pequeño para el cual a _k es desigual a b _k entonces x < y si (−1) ^k ( a _k − b _k ) < 0 e y < x en caso contrario.

Si no existe tal k , pero una expansión es más corta que la otra, digamos x = [ a ₀ ; a ₁ , ..., a _n ] e y = [ b ₀ ; b ₁ , ..., b _n , b _{n + 1} , ...] con a _i = b _i para 0 ≤ i ≤ n , entonces x < y si n es par e y < x si n es impar.

Expansión de fracción continua deπy sus convergentes

Para calcular los convergentes de π podemos establecer a ₀ = ⌊ π ⌋ = 3 , definir u ₁ = ⁠1/π − 3⁠ ≈ 7.0625 y a ₁ = ⌊ u ₁ ⌋ = 7 , u ₂ = ⁠1/tú ₁ − 7⁠ ≈ 15,9966 y a ₂ = ⌊ u ₂ ⌋ = 15 , u ₃ = ⁠1/tú ₂ − 15⁠ ≈ 1.0034 . Continuando así, se puede determinar la fracción continua infinita de π como

[3;7,15,1,292,1,1,...] (secuencia A001203 en la OEIS ).

El cuarto convergente de π es [3;7,15,1] = ⁠355/113⁠ = 3,14159292035..., a veces llamado Milü , que está bastante cerca del valor real de π .

Supongamos que los cocientes hallados son, como en el caso anterior, [3;7,15,1]. La siguiente es una regla por la cual podemos escribir inmediatamente las fracciones convergentes que resultan de estos cocientes sin desarrollar la fracción continua.

El primer cociente, supuesto dividido por la unidad, dará la primera fracción, que será demasiado pequeña, es decir ,3/1⁠ . Entonces, multiplicando el numerador y denominador de esta fracción por el segundo cociente y sumando la unidad al numerador, tendremos la segunda fracción, ⁠22/7⁠ , que será demasiado grande. Multiplicando de la misma manera el numerador y el denominador de esta fracción por el tercer cociente, y añadiendo al numerador el numerador de la fracción precedente, y al denominador el denominador de la fracción precedente, obtendremos la tercera fracción, que será demasiado pequeña. Así, siendo el tercer cociente 15, tenemos como numerador (22 × 15 = 330) + 3 = 333 , y como denominador, (7 × 15 = 105) + 1 = 106 . El tercer convergente, por tanto, es ⁠333/106⁠ . Procedemos de la misma manera para el cuarto convergente. Siendo el cuarto cociente 1, decimos que 333 por 1 es 333, y esto más 22, el numerador de la fracción precedente, es 355; de manera similar, 106 por 1 es 106, y esto más 7 es 113. De esta manera, empleando los cuatro cocientes [3;7,15,1], obtenemos las cuatro fracciones:

⁠3/1⁠ , ⁠22/7⁠ , ⁠333/106⁠ , ⁠355/113⁠ , ....

El siguiente código de Maple generará expansiones de fracciones continuas de pi

En resumen, el patrón es ${\displaystyle {\text{Numerator}}_{i}={\text{Numerator}}_{(i-1)}\cdot {\text{Quotient}}_{i}+{\text{Numerator}}_{(i-2)}}$ ${\displaystyle {\text{Denominator}}_{i}={\text{Denominator}}_{(i-1)}\cdot {\text{Quotient}}_{i}+{\text{Denominator}}_{(i-2)}}$

Estos convergentes son alternativamente más pequeños y más grandes que el valor verdadero de π , y se acercan cada vez más a π . La diferencia entre un convergente dado y π es menor que el recíproco del producto de los denominadores de ese convergente y el siguiente convergente. Por ejemplo, la fracción ⁠22/7⁠ es mayor que π , pero ⁠22/7⁠ − π es menor que ⁠1/7 × 106⁠  =  ⁠1/742⁠ (de hecho, ⁠22/7⁠ − π es simplemente más que ⁠1/791⁠ = ⁠1/7 × 113⁠ ).

La demostración de las propiedades anteriores se deduce del hecho de que si buscamos la diferencia entre una de las fracciones convergentes y la siguiente adyacente a ella obtendremos una fracción cuyo numerador es siempre la unidad y el denominador el producto de los dos denominadores. Así pues, la diferencia entre ⁠22/7⁠ y ⁠3/1⁠ es ⁠1/7⁠ , en exceso; entre ⁠333/106⁠ y ⁠22/7⁠ , ⁠1/742⁠ , en déficit; entre ⁠355/113⁠ y ⁠333/106⁠ , ⁠1/11978⁠ , en exceso; y así sucesivamente. El resultado es que, empleando esta serie de diferencias, podemos expresar de otra manera muy sencilla las fracciones de las que aquí nos ocupa, mediante una segunda serie de fracciones en las que los numeradores son todos la unidad y los denominadores son sucesivamente el producto de cada dos denominadores adyacentes. En lugar de las fracciones escritas anteriormente, tenemos así la serie:

⁠3/1⁠ + ⁠1/1 × 7⁠ − ⁠1/7 × 106⁠ + ⁠1/106 × 113⁠ − ...

El primer término, como vemos, es la primera fracción; el primero y el segundo juntos dan la segunda fracción ,22/7⁠ ; el primero, el segundo y el tercero dan la tercera fracción ⁠333/106⁠ , y así sucesivamente con el resto; el resultado es que la serie entera es equivalente al valor original.

Fracción continua no simple

Una fracción continua no simple es una expresión de la forma

${\displaystyle x=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}}$

donde a _n ( n > 0) son los numeradores parciales, b _n son los denominadores parciales y el término principal b ₀ se llama parte entera de la fracción continua.

Para ilustrar el uso de fracciones continuas no simples, considere el siguiente ejemplo. La secuencia de denominadores parciales de la fracción continua simple de π no muestra ningún patrón obvio:

${\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,\ldots ]}$

o

${\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Sin embargo, varias fracciones continuas no simples para π tienen una estructura perfectamente regular, como:

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+{\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+{\cfrac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \displaystyle \pi =2+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{1/2+{\cfrac {1}{1/3+{\cfrac {1}{1/4+\ddots }}}}}}}}=2+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1\cdot 2}{1+{\cfrac {2\cdot 3}{1+{\cfrac {3\cdot 4}{1+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \displaystyle \pi =2+{\cfrac {4}{3+{\cfrac {1\cdot 3}{4+{\cfrac {3\cdot 5}{4+{\cfrac {5\cdot 7}{4+\ddots }}}}}}}}}$

Los dos primeros son casos especiales de la función arcotangente con π = 4 arctan (1) y el cuarto y el quinto pueden derivarse utilizando el producto de Wallis . ^{[20] [21]}

${\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1^{3}+2^{3}}{6\cdot 1^{2}+1^{2}{\cfrac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}}{6\cdot 2^{2}+2^{2}{\cfrac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}}{6\cdot 3^{2}+3^{2}{\cfrac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}+7^{3}+8^{3}}{6\cdot 4^{2}+\ddots }}}}}}}}}}}$

La fracción continua anterior que consiste en cubos utiliza la serie Nilakantha y una explotación de Leonhard Euler. ^[22] ${\displaystyle \pi }$

Otras expansiones de fracciones continuas

Fracciones periódicas continuas

Los números con desarrollo periódico en fracciones continuas son precisamente las soluciones irracionales de ecuaciones cuadráticas con coeficientes racionales; las soluciones racionales tienen desarrollos en fracciones continuas finitas como se dijo anteriormente. Los ejemplos más simples son la proporción áurea φ = [1;1,1,1,1,1,...] y √ 2 = [1;2,2,2,2,...], mientras que √ 14 = [3;1,2,1,6,1,2,1,6...] y √ 42 = [6;2,12,2,12,2,12...]. Todas las raíces cuadradas irracionales de números enteros tienen una forma especial para el período; una cadena simétrica, como la cadena vacía (para √ 2 ) o 1,2,1 (para √ 14 ), seguida por el doble del entero principal.

Una propiedad de la proporción áurea φ

Debido a que la expansión fraccionaria continua para φ no utiliza ningún entero mayor que 1, φ es uno de los números reales más "difíciles" de aproximar con números racionales. El teorema de Hurwitz ^[23] establece que cualquier número irracional k puede aproximarse con infinitos números racionales .metro/norte⁠ con

${\displaystyle \left|k-{m \over n}\right|<{1 \over n^{2}{\sqrt {5}}}.}$

Si bien prácticamente todos los números reales k eventualmente tendrán infinitos convergentesmetro/norte⁠ cuya distancia desde k es significativamente menor que este límite, los convergentes para φ (es decir, los números ⁠5/3⁠ , ⁠8/5⁠ , ⁠13/8⁠ , ⁠21/13, etc.) constantemente "pisan el límite", manteniendo una distancia casi exactamente alejada de φ, por lo que nunca producen una aproximación tan impresionante como, por ejemplo , ${\displaystyle {\scriptstyle {1 \over n^{2}{\sqrt {5}}}}}$355/113⁠ para π . También se puede demostrar que todo número real de la forma ⁠a + b φ/c + d φ⁠ , donde a , b , c y d son números enteros tales que a  d − b  c = ±1 , comparte esta propiedad con la proporción áurea φ; y que todos los demás números reales pueden aproximarse más estrechamente.

Patrones regulares en fracciones continuas

Si bien no existe un patrón discernible en la simple expansión de fracción continua de π , hay uno para e , la base del logaritmo natural :

${\displaystyle e=e^{1}=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,\dots ],}$

que es un caso especial de esta expresión general para el entero positivo n :

${\displaystyle e^{1/n}=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,1,1,\dots ]\,\!.}$

Otro patrón más complejo aparece en esta expansión de fracción continua para n impar positivo :

${\displaystyle e^{2/n}=\left[1;{\frac {n-1}{2}},6n,{\frac {5n-1}{2}},1,1,{\frac {7n-1}{2}},18n,{\frac {11n-1}{2}},1,1,{\frac {13n-1}{2}},30n,{\frac {17n-1}{2}},1,1,\dots \right]\,\!,}$

con un caso especial para n = 1 :

${\displaystyle e^{2}=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,12,54,14,1,1\dots ,3k,12k+6,3k+2,1,1\dots ]\,\!.}$

Otras fracciones continuas de este tipo son

${\displaystyle \tanh(1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,\dots ]}$

donde n es un entero positivo; además, para el entero n :

${\displaystyle \tan(1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,1,9n-2,1,\dots ]\,\!,}$

con un caso especial para n = 1 :

${\displaystyle \tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,1,17,1,19,1,\dots ]\,\!.}$

Si I _n ( x ) es la función de Bessel modificada, o hiperbólica, del primer tipo, podemos definir una función sobre los racionalespag/q⁠ por

${\displaystyle S(p/q)={\frac {I_{p/q}(2/q)}{I_{1+p/q}(2/q)}},}$

que se define para todos los números racionales, con p y q en su mínima expresión. Entonces, para todos los racionales no negativos, tenemos

${\displaystyle S(p/q)=[p+q;p+2q,p+3q,p+4q,\dots ],}$

con fórmulas similares para racionales negativos; en particular tenemos

${\displaystyle S(0)=S(0/1)=[1;2,3,4,5,6,7,\dots ].}$

Muchas de las fórmulas se pueden demostrar utilizando la fracción continua de Gauss .

Fracciones continuas típicas

La mayoría de los números irracionales no tienen ningún comportamiento periódico o regular en su desarrollo fraccionario continuo. Sin embargo, para casi todos los números en el intervalo unitario, tienen el mismo comportamiento límite.

La media aritmética diverge: , y por lo tanto los coeficientes se hacen arbitrariamente grandes: . En particular, esto implica que casi todos los números son bien aproximables, en el sentido de que Khinchin demostró que la media geométrica de a _i tiende a una constante (conocida como la constante de Khinchin ): Paul Lévy demostró que la raíz n del denominador del convergente n converge a la constante de Lévy El teorema de Lochs establece que los convergentes convergen exponencialmente a una tasa de ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}=+\infty }$ ${\displaystyle \limsup _{n}a_{n}=+\infty }$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|q_{n}^{2}=0}$$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{1/n}=K_{0}=2.6854520010\dots }$$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }q_{n}^{1/n}=e^{\pi ^{2}/(12\ln 2)}=3.2758\ldots }$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\ln \left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|=-{\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}}$$

Aplicaciones

Raíces cuadradas

Las fracciones continuas generalizadas se utilizan en un método para calcular raíces cuadradas .

La identidad

conduce por recursión a la fracción continua generalizada para cualquier raíz cuadrada: ^[24]

Ecuación de Pell

Las fracciones continuas juegan un papel esencial en la solución de la ecuación de Pell . Por ejemplo, para los números enteros positivos p y q y n no cuadrado , es cierto que si p ² − nq ² = ±1 , entonces ⁠pag/q⁠ es un convergente de la fracción continua regular para √ n . Lo inverso se cumple si el período de la fracción continua regular para √ n es 1, y en general el período describe qué convergentes dan soluciones a la ecuación de Pell. ^[25]

Sistemas dinámicos

Las fracciones continuas también juegan un papel en el estudio de sistemas dinámicos , donde unen las fracciones de Farey que se ven en el conjunto de Mandelbrot con la función de signo de interrogación de Minkowski y el grupo modular Gamma.

El operador de desplazamiento hacia atrás para fracciones continuas es la función h ( x ) = 1/ x − ⌊1/ x ⌋ llamada función de Gauss , que elimina los dígitos de una expansión de fracción continua: h ([0; a ₁ , a ₂ , a ₃ , ...]) = [0; a ₂ , a ₃ , ...] . El operador de transferencia de esta función se denomina operador de Gauss–Kuzmin–Wirsing . La distribución de los dígitos en fracciones continuas está dada por el vector propio cero de este operador, y se denomina distribución de Gauss–Kuzmin .

Historia

• Los Elementos de Euclides contienen un algoritmo para el máximo común divisor , cuya versión moderna genera una fracción continua como la secuencia de cocientes de divisiones euclidianas sucesivas que ocurren en ella.
• 499 El Aryabhatiya contiene la solución de ecuaciones indeterminadas utilizando fracciones continuas.
• 1572 Rafael Bombelli , L'Algebra Opera – método para la extracción de raíces cuadradas que está relacionado con fracciones continuas
• 1613 Pietro Cataldi , Trattato del modo brevissimo di trovar la radice quadra delli numeri - primera notación para fracciones continuas

Cataldi representó una fracción continua como & & & con los puntos indicando dónde iban las siguientes fracciones. ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle {\frac {n_{1}}{d_{1}\cdot }}}$ ${\displaystyle {\frac {n_{2}}{d_{2}\cdot }}}$ ${\displaystyle {\frac {n_{3}}{d_{3}\cdot }}}$

• 1695 John Wallis , Opera Mathematica : introducción del término "fracción continua"
• 1737 Leonhard Euler , De fracturebus continuis dissertatio – Proporcionó la primera explicación, entonces exhaustiva, de las propiedades de las fracciones continuas e incluyó la primera prueba de que el número e es irracional. ^[26]
• 1748 Euler, Introductio in analysin infinitorum . Vol. I, Capítulo 18 – demostró la equivalencia de una cierta forma de fracción continua y una serie infinita generalizada , demostró que todo número racional puede escribirse como una fracción continua finita y demostró que la fracción continua de un número irracional es infinita. ^[27]
• 1761 Johann Lambert – dio la primera prueba de la irracionalidad de π usando una fracción continua para tan(x) .
• 1768 Joseph-Louis Lagrange : proporcionó la solución general a la ecuación de Pell utilizando fracciones continuas similares a las de Bombelli.
• 1770 Lagrange – demostró que los irracionales cuadráticos se expanden en fracciones periódicas continuas .
• 1813 Carl Friedrich Gauss , Werke , Vol. 3, págs. 134-138: derivó una fracción continua de valor complejo muy general a través de una identidad inteligente que involucra la función hipergeométrica.
• 1892 Henri Padé definió la aproximación de Padé
• 1972 Bill Gosper – Primeros algoritmos exactos para aritmética de fracciones continuas.

Véase también

• Cociente completo
• Cálculo de fracciones continuas de raíces cuadradas  – Algoritmos para calcular raíces cuadradas
• Fracción egipcia  : suma finita de fracciones unitarias distintas
• Expansión de Engel  : descomposición de un número real positivo en una serie de fracciones unitarias, cada una de las cuales es un múltiplo entero del siguiente.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Fórmula de fracción continua de Euler  : conecta una serie infinita muy general con una fracción continua infinita.
• Composiciones infinitas de funciones analíticas  – Teoría matemática sobre la composición de funciones iteradas infinitamente
• Operación binaria iterada  : aplicación repetida de una operación a una secuencia
• Poliedro de Klein  – Concepto en la geometría de los números
• Constantes matemáticas mediante representación de fracciones continuas
• Cocientes parciales restringidos  – Series analíticas
• Árbol de Stern-Brocot  : árbol binario ordenado de números racionales
• Teorema de Śleszyński-Pringsheim  : criterio de convergencia de fracciones continuas

Notas

1. Enciclopedia Británica 2013.
2. Pettofrezzo y Byrkit 1970, pág. 150.
3. Long 1972, pág. 173.
4. Pettofrezzo y Byrkit 1970, pág. 152.
5. Weisstein 2022.
6. Collins 2001.
7. Cajori, Florian (1925). "Leibniz, el maestro constructor de notaciones matemáticas". Isis . 7 (3): 412–429. doi : 10.1086/358328 .
8. Swanson, Ellen (1999) [1971]. Matemáticas en tipos (PDF) . Actualizado por O'Sean, Arlene; Schleyer, Antoinette (edición actualizada). American Mathematical Society. 2.4.1c "Fracciones continuas", pág. 18.
9. Long 1972, pág. 183.
10. Pettofrezzo y Byrkit 1970, pág. 158.
11. Long 1972, pág. 177.
12. Pettofrezzo y Byrkit 1970, págs. 162-163.
13. Thill 2008.
14. Gosper, RW (1977). "Apéndice 2: Aritmética de fracciones continua".Véase "El racional interventor más simple", págs. 29-31.
15. Murakami, Hiroshi (febrero de 2015). "Cálculo de números racionales en un intervalo cuyo denominador es el más pequeño mediante el uso de la aritmética de intervalos FP". ACM Communications in Computer Algebra . 48 (3/4): 134–136. doi :10.1145/2733693.2733711.
16. Legendre, Adrien-Marie (1798). Essai sur la théorie des nombres (en francés). París: Duprat. págs. 27-29.
17. Barbolosi, Dominique; Jäger, Hendrik (1994). "Sobre un teorema de Legendre en la teoría de fracciones continuas". Journal de Théorie des Nombres de Burdeos . 6 (1): 81–94. doi :10.5802/jtnb.106. JSTOR  26273940 - vía JSTOR.
18. Hardy, GH ; Wright, EM (1938). Introducción a la teoría de números . Londres: Oxford University Press . págs. 140–141, 153.
19. Wiener, Michael J. (1990). "Criptoanálisis de exponentes secretos RSA cortos". IEEE Transactions on Information Theory . 36 (3): 553–558. doi :10.1109/18.54902 – vía IEEE.
20. Bunder y Tonien 2017.
21. Scheinerman, Pickett y Coleman 2008.
22. Fomentar 2015.
23. Hardy y Wright 2008, Teorema 193.
24. Thurston 2012.
25. Niven, Zuckerman y Montgomery 1991.
26. Sandifer 2006.
27. Euler 1748.

Referencias

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Enlaces externos

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• Secuencia OEIS A133593 (fracción continua "exacta" para pi)
• Una mirada a la "interpolación fraccionaria" de una fracción continua {1; 1, 1, 1, ...}
• La mejor aproximación racional mediante fracciones continuas
• FRACCIONES CONTINUAS por CD Olds