Conjetura de Farrell-Jones

En matemáticas, la conjetura de Farrell-Jones , ^[1] que lleva el nombre de F. Thomas Farrell y Lowell E. Jones , establece que ciertos mapas de ensamblaje son isomorfismos . Estos mapas se dan como ciertos homomorfismos .

La motivación es el interés por el objetivo de los mapas de montaje; esta puede ser, por ejemplo, la teoría K algebraica de un anillo de grupo

${\displaystyle K_{n}(RG)}$

o la teoría L de un anillo de grupo

${\displaystyle L_{n}(RG)}$,

donde G es algún grupo .

Las fuentes de los mapas de ensamblaje son la teoría de homología equivariante evaluada en el espacio de clasificación de G con respecto a la familia de subgrupos virtualmente cíclicos de G. Entonces, suponiendo que la conjetura de Farrell-Jones sea cierta, es posible restringir los cálculos a subgrupos prácticamente cíclicos para obtener información sobre objetos complicados como o . ${\displaystyle K_{n}(RG)}$ ${\displaystyle L_{n}(RG)}$

La conjetura de Baum-Connes formula una afirmación similar para la teoría K topológica de álgebras de grupos reducidos . ${\displaystyle C^{*}}$ ${\displaystyle K_{n}^{top}(C_{*}^{r}(G))}$

Formulación

Se pueden encontrar para cualquier anillo teorías de homología equivariantes que satisfagan ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle KR_{*}^{?},LR_{*}^{?}}$

${\displaystyle KR_{n}^{G}(\{\cdot \})\cong K_{n}(R[G])}$respectivamente ${\displaystyle LR_{n}^{G}(\{\cdot \})\cong L_{n}(R[G]).}$

Aquí denota el anillo del grupo . ${\displaystyle R[G]}$

La conjetura K-teórica de Farrell-Jones para un grupo G establece que el mapa induce un isomorfismo en la homología ${\displaystyle p:E_{VCYC}(G)\rightarrow \{\cdot \}}$

${\displaystyle KR_{*}^{G}(p):KR_{*}^{G}(E_{VCYC}(G))\rightarrow KR_{*}^{G}(\{\cdot \})\cong K_{*}(R[G]).}$

Aquí denota el espacio de clasificación del grupo G con respecto a la familia de subgrupos virtualmente cíclicos, es decir, un complejo G -CW cuyos grupos de isotropía son virtualmente cíclicos y para cualquier subgrupo virtualmente cíclico de G el conjunto de puntos fijos es contráctil . ${\displaystyle E_{VCYC}(G)}$

La conjetura de Farrell-Jones de la teoría L es análoga.

Aspectos computacionales

El cálculo de los grupos K algebraicos y los grupos L de un anillo de grupo está motivado por obstrucciones que viven en esos grupos (ver, por ejemplo, obstrucción de la finitud de Wall , obstrucción quirúrgica , torsión de Whitehead ). Entonces supongamos que un grupo satisface la conjetura de Farrell-Jones para la teoría K algebraica. Supongamos además que ya hemos encontrado un modelo para el espacio de clasificación para subgrupos virtualmente cíclicos: ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \emptyset =X^{-1}\subset X^{0}\subset X^{1}\subset \ldots \subset X}$

Elija -pushouts y aplíqueles la secuencia Mayer-Vietoris: ${\displaystyle G}$

${\displaystyle KR_{n}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times S^{i-1})\rightarrow KR_{n}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times D^{i})\oplus KR_{n}^{G}(X^{i-1})\rightarrow KR_{n}^{G}(X^{i})}$ ${\displaystyle \rightarrow KR_{n-1}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times S^{i-1})\rightarrow KR_{n-1}^{G}(\coprod _{j\in I_{i}}G/H_{j}\times D^{i})\oplus KR_{n-1}^{G}(X^{i-1})}$

Esta secuencia se simplifica a:

${\displaystyle \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n}(R[H_{j}])\oplus \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-1}(RH_{j})\rightarrow \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n}(RH_{j})\oplus KR_{n}^{G}(X^{i-1})\rightarrow KR_{n}^{G}(X^{i})}$ ${\displaystyle \rightarrow \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-1}(RH_{j})\oplus \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-2}(RH_{j})\rightarrow \bigoplus _{j\in I_{i}}K_{n-1}(RH_{j})\oplus KR_{n-1}^{G}(X^{i-1})}$

Esto significa que si cualquier grupo satisface una determinada conjetura de isomorfismo, uno puede calcular su teoría K algebraica (teoría L) sólo conociendo la teoría K algebraica (teoría L) de grupos virtualmente cíclicos y conociendo un modelo adecuado para . ${\displaystyle E_{VCYC}(G)}$

¿Por qué la familia de subgrupos prácticamente cíclicos?

También se podría intentar tener en cuenta, por ejemplo, la familia de subgrupos finitos. Esta familia es mucho más fácil de manejar. Considere el grupo cíclico infinito . Un modelo para viene dado por la recta real , sobre la que actúa libremente mediante traslaciones. Usando las propiedades de la teoría K equivariante obtenemos ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle E_{FIN}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle K_{n}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {R} )=K_{n}(S^{1})=K_{n}(pt)\oplus K_{n-1}(pt)=K_{n}(R)\oplus K_{n-1}(R).}$

La descomposición Bass-Heller-Swan da

${\displaystyle K_{n}^{\mathbb {Z} }(pt)=K_{n}(R[\mathbb {Z} ])\cong K_{n}(R)\oplus K_{n-1}(R)\oplus NK_{n}(R)\oplus NK_{n}(R).}$

En efecto se comprueba que el mapa de montaje viene dado por la inclusión canónica.

${\displaystyle K_{n}(R)\oplus K_{n-1}(R)\hookrightarrow K_{n}(R)\oplus K_{n-1}(R)\oplus NK_{n}(R)\oplus NK_{n}(R)}$

Entonces es un isomorfismo si y sólo si , que es el caso si es un anillo regular . Entonces, en este caso, realmente se puede usar la familia de subgrupos finitos. Por otro lado, esto muestra que la conjetura del isomorfismo para la teoría K algebraica y la familia de subgrupos finitos no es cierta. Hay que ampliar la conjetura a una familia más amplia de subgrupos que contenga todos los contraejemplos. Actualmente no se conocen contraejemplos de la conjetura de Farrell-Jones. Si hay un contraejemplo, hay que ampliar la familia de subgrupos a una familia más grande que contenga ese contraejemplo. ${\displaystyle NK_{n}(R)=0}$ ${\displaystyle R}$

Herencias de las conjeturas de isomorfismo.

La clase de grupos que satisface la conjetura fibrada de Farrell-Jones contiene los siguientes grupos

• grupos virtualmente cíclicos (definición)
• grupos hiperbólicos (ver ^[2] )
• Grupos CAT(0) (ver ^[3] )
• grupos solubles (ver ^[4] )
• mapeo de grupos de clases (ver ^[5] )

Además la clase tiene las siguientes propiedades de herencia:

• Cerrado bajo productos finitos de grupos.
• Cerrado bajo la toma de subgrupos.

Conjeturas de metaconjetura y isomorfismo fibroso.

Arreglar una teoría de homología equivariante . Se podría decir que un grupo G satisface la conjetura del isomorfismo para una familia de subgrupos , si y sólo si el mapa inducido por la proyección induce un isomorfismo en la homología: ${\displaystyle H_{*}^{?}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E_{F}(G)\rightarrow \{\cdot \}}$

${\displaystyle H_{*}^{G}(E_{F}(G))\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \})}$

El grupo G satisface la conjetura del isomorfismo fibroso para la familia de subgrupos F si y sólo si para cualquier homomorfismo de grupo el grupo H satisface la conjetura del isomorfismo para la familia ${\displaystyle \alpha :H\rightarrow G}$

${\displaystyle \alpha ^{*}F:=\{H'\leq H|\alpha (H)\in F\}}$.

Se entiende inmediatamente que en esta situación también se cumple la conjetura del isomorfismo fibroso para la familia . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \alpha ^{*}F}$

Principio de transitividad

El principio de transitividad es una herramienta para cambiar la familia de subgrupos a considerar. Dadas dos familias de subgrupos de . Supongamos que cada grupo satisface la conjetura del isomorfismo (fibrado) con respecto a la familia . Entonces el grupo satisface la conjetura del isomorfismo fibroso con respecto a la familia si y sólo si satisface la conjetura del isomorfismo (fibrado) con respecto a la familia . ${\displaystyle F\subset F'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\in F'}$ ${\displaystyle F|_{H}:=\{H'\in F|H'\subset H\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F'}$

Conjeturas de isomorfismo y homomorfismos de grupo

Dado cualquier homomorfismo de grupo y supongamos que G"' satisface la conjetura del isomorfismo fibroso para una familia F de subgrupos. Entonces también H"' satisface la conjetura del isomorfismo fibroso para la familia . Por ejemplo, si tiene un núcleo finito, la familia concuerda con la familia de subgrupos virtualmente cíclicos de H. ${\displaystyle \alpha \colon H\rightarrow G}$ ${\displaystyle \alpha ^{*}F}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha ^{*}VCYC}$

Si es adecuado, se puede utilizar el principio de transitividad para reducir la familia nuevamente. ${\displaystyle \alpha }$

Conexiones con otras conjeturas

Conjetura de Novikov

También existen conexiones de la conjetura de Farrell-Jones con la conjetura de Novikov . Se sabe que si uno de los siguientes mapas

${\displaystyle H_{*}^{G}(E_{VCYC}(G),L_{R}^{\langle -\infty \rangle })\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \},L_{R}^{\langle -\infty \rangle })=L_{*}^{\langle -\infty \rangle }(RG)}$

${\displaystyle H_{*}^{G}(E_{FIN}(G),K^{top})\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \},K^{top})=K_{n}(C_{r}^{*}(G))}$

es racionalmente inyectiva, entonces la conjetura de Novikov es válida para . Véase por ejemplo. ^{[6] [7]} ${\displaystyle G}$

conjetura de bost

La conjetura de Bost (llamada así por Jean-Benoît Bost ) establece que el mapa de ensamblaje

${\displaystyle H_{*}^{G}(E_{FIN}(G),K_{l^{1}}^{top})\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \},K_{l^{1}}^{top})=K_{*}(l^{1}(G))}$

es un isomorfismo. El homomorfismo de anillo induce mapas en la teoría K. Al componer el mapa de ensamblaje superior con este homomorfismo, se obtiene exactamente el mapa de ensamblaje que ocurre en la conjetura de Baum-Connes . ${\displaystyle l^{1}(G)\rightarrow C_{r}(G)}$ ${\displaystyle K_{*}(l^{1}(G))\rightarrow K_{*}(C_{r}(G))}$

${\displaystyle H_{*}^{G}(E_{FIN}(G),K_{l^{1}}^{top})=H_{*}^{G}(E_{FIN}(G),K^{top})\rightarrow H_{*}^{G}(\{\cdot \},K^{top})=K_{*}(C_{r}(G))}$

conjetura de Kaplansky

La conjetura de Kaplansky predice que para un dominio integral y un grupo libre de torsión los únicos idempotentes son . Cada uno de estos idempotentes proporciona un módulo proyectivo al tomar la imagen de la multiplicación correcta con . Por tanto, parece haber una conexión entre la conjetura de Kaplansky y la desaparición de . Hay teoremas que relacionan la conjetura de Kaplansky con la conjetura de Farrell Williams-Jones (compárese ^[8] ). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle 0,1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K_{0}(R[G])}$

Referencias

1. Farrell, F. Thomas , Jones, Lowell E. , Conjeturas de isomorfismo en teoría K algebraica, Journal of the American Mathematical Society , v.6, págs. 249-297, 1993
2. Bartels, Arturo ; Suerte, Wolfgang ; Reich, Holger (2006), "La conjetura K-teórica de Farrell-Jones para grupos hiperbólicos", arXiv : math/0609685
3. Bartels, Arturo; Suerte, Wolfgang ; Reich, Holger (2009), La conjetura de Borel para grupos hiperbólicos y CAT(0) , arXiv : 0901.0442
4. Wegner, Christian (2013), "La conjetura de Farrell-Jones para grupos prácticamente solubles", Journal of Topology , 8 (4): 975–1016, arXiv : 1308.2432 , Bibcode :2013arXiv1308.2432W, doi :10.1112/jtopol/jtv026 , S2CID  119153966
5. Bartels, Arturo; Bestvina, Mladen (2016), "La conjetura de Farrell-Jones para mapear grupos de clases", arXiv : 1606.02844 [math.GT]
6. Ranicki, Andrew A. "Sobre la conjetura de Novikov". Conjeturas de Novikov, teoremas de índice y rigidez, vol. 1 , (Oberwolfach 2003). Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press . págs. 272–337.
7. Suerte, Wolfgang ; Reich, Holger (2005). "Las conjeturas de Baum-Connes y Farrell-Jones en la teoría K y L". Manual de teoría K. vol. 1,2 . Berlín: Springer. págs. 703–842.
8. Bartels, Arturo; Suerte, Wolfgang ; Reich, Holger (2008), "Sobre la conjetura de Farrell-Jones y sus aplicaciones", Journal of Topology , 1 (1): 57–86, arXiv : math/0703548 , doi :10.1112/jtopol/jtm008, S2CID  17731576