El Infinito Absoluto ( símbolo : Ω) es una extensión de la idea de infinito propuesta por el matemático Georg Cantor .
Se puede considerar como un número mayor que cualquier otra cantidad concebible o inconcebible, ya sea finita o transfinita .
Cantor vinculó el Infinito Absoluto con Dios , [1] [2] : 175 [3] : 556 y creía que tenía varias propiedades matemáticas , incluido el principio de reflexión : cada propiedad del Infinito Absoluto también está en manos de algún objeto más pequeño. [4] [ se necesita aclaración ]
Cantor dijo:
El infinito actual se distinguía por tres relaciones: primero, tal como se realiza en la perfección suprema, en la existencia extramundana, completamente independiente, en Deo, donde lo llamo infinito absoluto o simplemente absoluto; en segundo lugar, en la medida en que está representado en el mundo de las criaturas dependientes; tercero, tal como puede ser concebido in abstracto en el pensamiento como una magnitud, número o tipo de orden matemático. En las dos últimas relaciones, donde obviamente se revela como limitado y capaz de una mayor proliferación y, por tanto, familiar para lo finito, lo llamo Transfinitum y lo contrasto fuertemente con lo absoluto. [5]
Cantor también mencionó la idea en sus cartas a Richard Dedekind (el texto entre corchetes no está presente en el original): [7]
Una multiplicidad [parece referirse a lo que ahora llamamos un conjunto ] se llama bien ordenada si cumple la condición de que toda submultiplicidad tenga un primer elemento ; A tal multiplicidad la llamo brevemente "secuencia".
...
Ahora imagino el sistema de todos los números [ordinales] y lo denoto Ω .
...
El sistema Ω en su orden natural según la magnitud es una "secuencia".
Ahora agreguemos 0 como elemento adicional a esta secuencia y coloquémoslo, obviamente, en la primera posición; entonces obtenemos una secuencia Ω ′ :
0, 1, 2, 3, ... ω 0 , ω 0 +1, ..., γ, ...
de la cual uno puede convencerse fácilmente de que todo número γ que aparece en ella es el tipo [es decir, tipo de orden] de la secuencia de todos sus elementos anteriores (incluido 0). (La secuencia Ω tiene esta propiedad primero para ω 0 +1. [ω 0 +1 debería ser ω 0 .])
Ahora Ω ′ (y por lo tanto también Ω ) no puede ser una multiplicidad consistente. Porque si Ω ′ fuera consistente, entonces, como conjunto bien ordenado, le correspondería un número δ que sería mayor que todos los números del sistema Ω ; Sin embargo, el número δ también pertenece al sistema Ω , porque comprende todos los números. Por tanto , δ sería mayor que δ , lo cual es una contradicción. Por lo tanto:El sistema Ω de todos los números [ordinales] es una multiplicidad inconsistente y absolutamente infinita.
La idea de que el conjunto de todos los números ordinales no puede existir lógicamente parece paradójica a muchos. Esto está relacionado con la "paradoja" de Cesare Burali-Forti que establece que no puede haber un número ordinal mayor . Todos estos problemas se remontan a la idea de que, para cada propiedad que puede definirse lógicamente, existe un conjunto de todos los objetos que tienen esa propiedad. Sin embargo, como en el argumento de Cantor (arriba), esta idea plantea dificultades.
De manera más general, como señaló AW Moore , el proceso de formación de conjuntos no puede tener fin y, por lo tanto, no puede existir algo llamado la totalidad de todos los conjuntos o la jerarquía de conjuntos . Cualquier totalidad de este tipo tendría que ser en sí misma un conjunto, por lo que estaría en algún lugar dentro de la jerarquía y, por lo tanto, no podría contener todos los conjuntos.
Una solución estándar a este problema se encuentra en la teoría de conjuntos de Zermelo , que no permite la formación ilimitada de conjuntos a partir de propiedades arbitrarias. Más bien, podemos formar el conjunto de todos los objetos que tienen una propiedad dada y se encuentran en algún conjunto dado ( Axioma de separación de Zermelo ). Esto permite la formación de conjuntos basados en propiedades, en un sentido limitado, preservando (con suerte) la coherencia de la teoría.
Si bien esto resuelve el problema lógico, se podría argumentar que el problema filosófico persiste. Parece natural que exista un conjunto de individuos, mientras existan los individuos. De hecho, se podría decir que la ingenua teoría de conjuntos se basa en esta noción. Aunque la solución de Zermelo permite que una clase describa entidades arbitrarias (posiblemente "grandes"), estos predicados del metalenguaje pueden no tener existencia formal (es decir, como un conjunto) dentro de la teoría. Por ejemplo, la clase de todos los conjuntos sería una clase adecuada . Esto es filosóficamente insatisfactorio para algunos y ha motivado trabajos adicionales en teoría de conjuntos y otros métodos para formalizar los fundamentos de las matemáticas, como New Foundations de Willard Van Orman Quine .
Cantor (1) tomó lo absoluto como una manifestación de Dios [...] Cuando lo absoluto se introduce por primera vez en Grundlagen, está vinculado a Dios: "el verdadero infinito o absoluto, que está en Dios , no admite ningún tipo de determinación" (Cantor 1883b, p. 175). Esta no es una observación incidental, ya que Cantor es muy explícito e insistente acerca de la relación entre lo absoluto y Dios.
[Ca-a, [2] pág. 378].Es wurde das Aktual-Unendliche (AU.) nach drei Beziehungen unterschieden: erstens, sofern es in der höchsten Vollkommenheit, im völlig unabhängigen außerweltlichen Sein, in Deo realisiert ist, wo ich es Absolut Unendliches oder kurzweg Absolutes nenne; zweitens, sofern es in der abhängigen, kreatürlichen Welt vertreten ist; drittens, sofern es als mathematische Größe, Zahl oder Ordnungstypus vom Denken in abstracto aufgefaßt werden kann. In den beiden letzten Beziehungen, wo es offenbar als beschränktes, noch weiterer Vermehrung fähiges und insofern dem Endlichen verwandtes A.-U. sich darstellt, nene ich es Transfinitum und setze es dem Absoluten strengstens entgegen.