En matemáticas , específicamente en teoría de conjuntos axiomática , un número de Hartogs es un número ordinal asociado a un conjunto. En particular, si X es cualquier conjunto , entonces el número de Hartogs de X es el α menos ordinal tal que no hay inyección de α en X. Si X puede estar bien ordenado, entonces el número cardinal de α es un cardinal mínimo mayor que el de X. Si X no puede estar bien ordenado, entonces no puede haber una inyección de X a α. Sin embargo, el número cardinal de α sigue siendo un cardinal mínimo no menor o igual a la cardinalidad de X. (Si nos restringimos a números cardinales de conjuntos bien ordenables, entonces el de α es el más pequeño que no sea menor o igual que el de X. ) La aplicación que lleva X a α a veces se denomina función de Hartogs . Este mapeo se utiliza para construir los números aleph, que son todos los números cardinales de infinitos conjuntos bien ordenables.
La existencia del número de Hartogs fue probada por Friedrich Hartogs en 1915, utilizando únicamente la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (es decir, sin utilizar el axioma de elección ).
El teorema de Hartogs establece que para cualquier conjunto X , existe un ordinal α tal que ; es decir, tal que no hay inyección de α a X. Como los ordinales están bien ordenados, esto implica inmediatamente la existencia de un número de Hartogs para cualquier conjunto X. Además, la prueba es constructiva y produce el número de Hartogs de X.
Véase Goldrei 1996.
Sea la clase de todos los números ordinales β para los cuales existe una función inyectiva de β a X.
Primero, verificamos que α es un conjunto.
Pero este último conjunto es exactamente α . Ahora bien, como un conjunto transitivo de ordinales es nuevamente un ordinal, α es un ordinal. Además, no hay inyección de α en X , porque si la hubiera, obtendríamos la contradicción de que α ∈ α . Y finalmente, α es el menor ordinal sin inyección en X . Esto es cierto porque, dado que α es un ordinal, para cualquier β < α , β ∈ α hay una inyección de β en X .
En 1915, Hartogs no podía utilizar ni los ordinales de von Neumann ni el axioma de sustitución , por lo que su resultado es uno de la teoría de conjuntos de Zermelo y parece bastante diferente de la exposición moderna anterior. En cambio, consideró el conjunto de clases de isomorfismo de subconjuntos bien ordenados de X y la relación en la que la clase de A precede a la de B si A es isomorfo con un segmento inicial propio de B. Hartogs demostró que este es un subconjunto bien ordenado mayor que cualquier subconjunto bien ordenado de X. Sin embargo, el objetivo principal de su contribución fue mostrar que la tricotomía para números cardinales implica el teorema del buen orden (que entonces tenía 11 años) (y, por tanto, el axioma de elección).
