En la teoría de conjuntos , la Ω-lógica es un sistema lógico infinitario y deductivo propuesto por W. Hugh Woodin (1999) como parte de un intento de generalizar la teoría de la determinación de las clases puntuales para cubrir la estructura . Así como el axioma de determinación proyectiva produce una teoría canónica de , buscó encontrar axiomas que dieran una teoría canónica para la estructura más grande. La teoría que desarrolló implica un argumento controvertido de que la hipótesis del continuo es falsa.
La Ω-conjetura de Woodin afirma que si hay una clase propia de cardinales de Woodin (por razones técnicas, la mayoría de los resultados en la teoría se expresan más fácilmente bajo este supuesto), entonces la Ω-lógica satisface un análogo del teorema de completitud . A partir de esta conjetura, se puede demostrar que, si hay un solo axioma que sea comprensivo sobre (en Ω-lógica), debe implicar que el continuo no es . Woodin también aisló un axioma específico, una variación del máximo de Martin , que establece que cualquier oración Ω-consistente (sobre ) es verdadera; este axioma implica que el continuo es .
Woodin también relacionó su conjetura Ω con una definición abstracta propuesta de cardinales grandes: tomó una "propiedad de cardinal grande" como una propiedad de los ordinales que implica que α es un inaccesible fuerte , y que es invariante bajo el forzamiento de conjuntos de cardinales menores que α. Entonces la conjetura Ω implica que si hay modelos arbitrariamente grandes que contienen un cardinal grande, este hecho será demostrable en la lógica Ω.
La teoría implica una definición de Ω-validez : un enunciado es una consecuencia Ω-válida de una teoría de conjuntos T si se cumple en cada modelo de T que tenga la forma de algún ordinal y alguna noción de forzamiento . Esta noción se conserva claramente bajo forzamiento, y en presencia de una clase apropiada de cardinales de Woodin también será invariante bajo forzamiento (en otras palabras, la Ω-satisfacibilidad también se conserva bajo forzamiento). También hay una noción de Ω-demostrabilidad ; [1] aquí las "pruebas" consisten en conjuntos universalmente de Baire y se comprueban verificando que para cada modelo transitivo contable de la teoría, y cada noción de forzamiento en el modelo, la extensión genérica del modelo (como se calcula en V ) contiene la "prueba", restringida a sus propios reales. Para un conjunto de pruebas A, la condición que se debe comprobar aquí se llama " A -cerrado". Se puede dar una medida de complejidad en las pruebas por sus rangos en la jerarquía de Wadge . Woodin demostró que esta noción de "demostrabilidad" implica Ω-validez para oraciones que son mayores de V . La Ω-conjetura establece que el recíproco de este resultado también es válido. En todos los modelos básicos conocidos actualmente , se sabe que es cierto; además, la fuerza de consistencia de los cardinales grandes corresponde al rango de prueba mínimo requerido para "probar" la existencia de los cardinales.
