En matemáticas , el problema de Suslin es una cuestión sobre conjuntos totalmente ordenados planteada por Mikhail Yakovlevich Suslin (1920) y publicada póstumamente. Se ha demostrado que es independiente del sistema axiomático estándar de teoría de conjuntos conocido como ZFC ; Solovay y Tennenbaum (1971) demostraron que la afirmación no se puede probar ni refutar a partir de esos axiomas, asumiendo que ZF es consistente.
(Suslin también se escribe a veces con la transliteración francesa como Souslin , del cirílico Суслин .)
Un conjunto ordenado (lineal) sin sauts ni lacunes et tel que tout ensemble de ses intervaloles (contenant plus qu'un elemento) n'empiétant pas les uns sur les autres est au plus numerable, est-il nécessairement un continue linéaire (ordinaire) ?
¿Es un conjunto ordenado (linealmente) sin saltos ni espacios y tal que cada conjunto de sus intervalos (que contienen más de un elemento) que no se superponen entre sí es, como mucho, numerable, necesariamente un continuo lineal (ordinario)?
La declaración original del problema de Suslin de (Suslin 1920)
El problema de Suslin pregunta: Dado un conjunto R no vacío y totalmente ordenado con las cuatro propiedades
¿Es R necesariamente isomorfo de orden a la recta real R ?
Si el requisito de la condición de cadena contable se reemplaza con el requisito de que R contenga un subconjunto denso contable (es decir, R es un espacio separable ), entonces la respuesta es sí: cualquier conjunto R es necesariamente isomorfo de orden a R (probado por Cantor ).
La condición para un espacio topológico de que cada colección de conjuntos abiertos disjuntos no vacíos sea como máximo contable se llama propiedad de Suslin .
Cualquier conjunto totalmente ordenado que no sea isomorfo a R pero que satisfaga las propiedades 1 a 4 se conoce como línea de Suslin . La hipótesis de Suslin dice que no hay líneas de Suslin: que cada orden lineal completo denso en condición de cadena contable sin puntos finales es isomorfo a la línea real. Una afirmación equivalente es que todo árbol de altura ω 1 tiene una rama de longitud ω 1 o una anticadena de cardinalidad ℵ 1 .
La hipótesis generalizada de Suslin dice que por cada infinito cardinal regular κ cada árbol de altura κ tiene una rama de longitud κ o una anticadena de cardinalidad κ. La existencia de líneas de Suslin equivale a la existencia de árboles de Suslin y a álgebras de Suslin .
La hipótesis de Suslin es independiente de ZFC. Jech (1967) y Tennenbaum (1968) utilizaron de forma independiente métodos de forzamiento para construir modelos de ZFC en los que existen líneas Suslin. Jensen demostró más tarde que las líneas de Suslin existen si se supone el principio del diamante , una consecuencia del axioma de constructibilidad V = L. (El resultado de Jensen fue una sorpresa, ya que previamente se había conjeturado que V = L implica que no existen líneas de Suslin, basándose en que V = L implica que hay "pocos" conjuntos). Por otro lado, Solovay y Tennenbaum ( 1971) utilizó el forzamiento para construir un modelo de ZFC sin líneas de Suslin; más precisamente, demostraron que el axioma de Martin más la negación de la hipótesis del continuo implica la hipótesis de Suslin.
La hipótesis de Suslin también es independiente tanto de la hipótesis del continuo generalizada (probada por Ronald Jensen ) como de la negación de la hipótesis del continuo . No se sabe si la hipótesis generalizada de Suslin es consistente con la hipótesis generalizada del continuo; sin embargo, dado que la combinación implica la negación del principio del cuadrado en un cardinal límite fuerte singular (de hecho, en todos los cardinales singulares y en todos los cardinales sucesores regulares ), implica que el axioma de determinabilidad se cumple en L(R) y se cree que implica la existencia de un modelo interior con un cardenal superfuerte .