Cardenal sucesor

En teoría de conjuntos , se puede definir una operación sucesora sobre números cardinales de manera similar a la operación sucesora sobre los números ordinales . El sucesor cardinal coincide con el sucesor ordinal para cardinales finitos, pero en el caso infinito divergen porque cada ordinal infinito y su sucesor tienen la misma cardinalidad ( se puede establecer una biyección entre los dos simplemente enviando el último elemento del sucesor a 0, 0 a 1, etc., y fijando ω y todos los elementos anteriores; al estilo del Hotel Infinity de Hilbert ). Usando la asignación cardinal de von Neumann y el axioma de elección (AC), esta operación sucesora es fácil de definir: para un número cardinal κ tenemos

${\displaystyle \kappa ^{+}=\left|\inf\{\lambda \in \mathrm {ON} \ :\ \kappa <\left|\lambda \right|\}\right|}$,

donde ON es la clase de ordinales. Es decir, el cardinal sucesor es la cardinalidad del ordinal más pequeño en el que se puede mapear un conjunto de la cardinalidad dada de manera uno a uno, pero que no se puede mapear de nuevo de manera uno a uno en ese conjunto.

Que el conjunto anterior no es vacío se deduce del teorema de Hartogs , que dice que para cualquier cardinal bien ordenable , se puede construir un cardinal mayor. El mínimo existe en realidad porque los ordinales están bien ordenados. Por lo tanto, es inmediato que no hay ningún número cardinal entre κ y κ ⁺ . Un cardinal sucesor es un cardinal que es κ ⁺ para algún cardinal κ . En el caso infinito, la operación sucesor salta sobre muchos números ordinales; de hecho, cada cardinal infinito es un ordinal límite . Por lo tanto, la operación sucesora sobre cardinales gana mucho poder en el caso infinito (en relación con la operación de sucesión ordinal), y en consecuencia los números cardinales son una subclase muy "dispersa" de los ordinales. Definimos la secuencia de alephs (a través del axioma de reemplazo ) a través de esta operación, a través de todos los números ordinales de la siguiente manera:

${\displaystyle \aleph _{0}=\omega }$

${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=\aleph _{\alpha }^{+}}$

y para λ un ordinal límite infinito,

${\displaystyle \aleph _{\lambda }=\bigcup _{\beta <\lambda }\aleph _{\beta }}$

Si β es un ordinal sucesor , entonces es un cardinal sucesor. Los cardinales que no son cardinales sucesores se denominan cardinales límite ; y según la definición anterior, si λ es un ordinal límite, entonces es un cardinal límite. ${\displaystyle \aleph _{\beta }}$ ${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$

La definición estándar anterior se limita al caso en el que el cardinal puede estar bien ordenado, es decir, es finito o un aleph. Sin el axioma de elección, hay cardinales que no pueden estar bien ordenados. Algunos matemáticos han definido el sucesor de un cardinal de este tipo como la cardinalidad del ordinal más pequeño que no se puede mapear uno a uno en un conjunto de la cardinalidad dada. Es decir:

${\displaystyle \kappa ^{+}=\left|\inf\{\lambda \in \mathrm {ON} \ :\ |\lambda |\nleq \kappa \}\right|}$

que es el número de Hartogs de κ .

Véase también

• Asignación cardinal

Referencias

• Paul Halmos , Teoría de conjuntos ingenua . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (edición de Springer-Verlag).
• Jech, Thomas , 2003. Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada . Springer. ISBN 3-540-44085-2 . 
• Kunen, Kenneth , 1980. Teoría de conjuntos: Introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 .