Cardenal regular

Tipo de número cardinal en matemáticas

En la teoría de conjuntos , un cardinal regular es un número cardinal que es igual a su propia cofinalidad . Más explícitamente, esto significa que es un cardinal regular si y sólo si cada subconjunto ilimitado tiene cardinalidad . Los cardinales infinitos bien ordenados que no son regulares se llaman cardenales singulares . Los números cardinales finitos no suelen denominarse regulares o singulares. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle C\subseteq \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

En presencia del axioma de elección , cualquier número cardinal puede estar bien ordenado, y entonces los siguientes son equivalentes para un cardinal : ${\displaystyle \kappa }$

1. ${\displaystyle \kappa }$es un cardenal regular.
2. Si y para todos , entonces . ${\displaystyle \kappa =\sum _{i\in I}\lambda _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}<\kappa }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle |I|\geq \kappa }$
3. Si , y si y para todos , entonces . ${\displaystyle S=\bigcup _{i\in I}S_{i}}$ ${\displaystyle |I|<\kappa }$ ${\displaystyle |S_{i}|<\kappa }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle |S|<\kappa }$
4. La categoría de conjuntos de cardinalidad menor que y todas las funciones entre ellos está cerrada bajo colimites de cardinalidad menor que . ${\displaystyle \operatorname {Set} _{<\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$
5. ${\displaystyle \kappa }$es un ordinal regular (ver más abajo)

En términos generales, esto significa que un cardinal regular es aquel que no se puede dividir en un pequeño número de partes más pequeñas.

La situación es ligeramente más complicada en contextos donde el axioma de elección podría fallar, ya que en ese caso no todos los cardinales son necesariamente cardinalidades de conjuntos bien ordenados. En ese caso, la equivalencia anterior es válida sólo para cardenales bien ordenables.

Un ordinal infinito es un ordinal regular si es un ordinal límite que no es el límite de un conjunto de ordinales más pequeños que, como conjunto, tiene un tipo de orden menor que . Un ordinal regular es siempre un ordinal inicial , aunque algunos ordinales iniciales no son regulares, por ejemplo (consulte el ejemplo siguiente). ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \omega _{\omega }}$

Ejemplos

Los ordinales menores que son finitos. Una secuencia finita de ordinales finitos siempre tiene un máximo finito, por lo que no puede ser el límite de ninguna secuencia de tipo menor que cuyos elementos sean ordinales menores que y, por lo tanto, es un ordinal regular. ( aleph-null ) es un cardinal regular porque su ordinal inicial, , es regular. También se puede considerar directamente regular, ya que la suma cardinal de un número finito de números cardinales finitos es en sí misma finita. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega +1}$es el siguiente número ordinal mayor que . Es singular, ya que no es un ordinal límite. es el siguiente ordinal límite después de . Puede escribirse como el límite de la secuencia , , , etc. Esta secuencia tiene tipo de orden , por lo que es el límite de una secuencia de tipo menor que cuyos elementos sean ordinales menores que ; por lo tanto es singular. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega +\omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega +1}$ ${\displaystyle \omega +2}$ ${\displaystyle \omega +3}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega +\omega }$ ${\displaystyle \omega +\omega }$ ${\displaystyle \omega +\omega }$

${\displaystyle \aleph _{1}}$es el siguiente número cardinal mayor que , por lo que los cardinales menores que son contables (finitos o numerables). Suponiendo el axioma de elección, la unión de un conjunto contable de conjuntos contables es en sí misma contable. Por tanto, no se puede escribir como la suma de un conjunto contable de números cardinales contables y es regular. ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$

${\displaystyle \aleph _{\omega }}$es el siguiente número cardinal después de la secuencia , , , y así sucesivamente. Su ordinal inicial es el límite de la secuencia , , , , etc., que tiene tipo de orden , entonces es singular y también es . Asumiendo el axioma de elección, es el primer cardinal infinito que es singular (el primer ordinal infinito que es singular es , y el primer ordinal infinito límite que es singular es ). Probar la existencia de cardinales singulares requiere el axioma de sustitución , y de hecho la incapacidad de probar la existencia de en la teoría de conjuntos de Zermelo es lo que llevó a Fraenkel a postular este axioma. ^[1] ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{2}}$ ${\displaystyle \aleph _{3}}$ ${\displaystyle \omega _{\omega }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \omega _{3}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{\omega }}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ ${\displaystyle \omega +1}$ ${\displaystyle \omega +\omega }$ ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$

Los cardenales límite incontables (débiles) que también son regulares se conocen como cardenales (débilmente) inaccesibles . No se puede demostrar su existencia dentro de ZFC, aunque no se sabe que su existencia sea incompatible con ZFC. A veces se toma su existencia como un axioma adicional. Los cardinales inaccesibles son necesariamente puntos fijos de la función aleph , aunque no todos los puntos fijos son regulares. Por ejemplo, el primer punto fijo es el límite de la secuencia y, por tanto, es singular. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{\aleph _{0}},\aleph _{\aleph _{\aleph _{0}}},...}$

Propiedades

Si se cumple el axioma de elección , entonces todo cardenal sucesor es regular. Por tanto, la regularidad o singularidad de la mayoría de los números aleph se puede comprobar dependiendo de si el cardinal es un cardinal sucesor o un cardinal límite. No se puede demostrar que algunas cardinalidades sean iguales a cualquier aleph en particular, por ejemplo la cardinalidad del continuo , cuyo valor en ZFC puede ser cualquier cardinal incontable de cofinalidad incontable (ver el teorema de Easton ). La hipótesis del continuo postula que la cardinalidad del continuo es igual a , que es regular suponiendo elección. ${\displaystyle \aleph _{1}}$

Sin el axioma de elección, habría números cardinales que no se podrían ordenar bien. Además, no se podía definir la suma cardinal de una colección arbitraria. Por lo tanto, sólo los números aleph pueden denominarse cardinales regulares o singulares de manera significativa. Además, una aleph sucesora no tiene por qué ser regular. Por ejemplo, la unión de un conjunto contable de conjuntos contables no tiene por qué ser contable. Es coherente con ZF que sea el límite de una secuencia contable de ordinales contables así como el conjunto de números reales sea una unión contable de conjuntos contables. Además, es consistente con ZF que cada aleph mayor que es singular (un resultado demostrado por Moti Gitik ). ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Si es un ordinal límite, es regular si y solo si el conjunto de puntos críticos de - incrustaciones elementales con es club en . ^[2] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j(\alpha )=\kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Para los cardinales , digamos que una incrustación elemental una incrustación pequeña if es transitiva y . Un cardinal es incontable y regular si existe uno tal que para cada uno hay una pequeña incrustación . ^{[3] Corolario 2.2} ${\displaystyle \kappa <\theta }$ ${\displaystyle j:M\to H(\theta )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle j({\textrm {crit}}(j))=\kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha >\kappa }$ ${\displaystyle \theta >\alpha }$ ${\displaystyle j:M\to H(\theta )}$

Ver también

• Cardenal inaccesible

Referencias

1. Maddy, Penélope (1988), "Creer en los axiomas. I", Journal of Symbolic Logic , 53 (2): 481–511, doi :10.2307/2274520, JSTOR  2274520, MR  0947855, Los primeros indicios del axioma de reemplazo pueden se encuentra en la carta de Cantor a Dedekind [1899] y en Mirimanoff [1917]. Maddy cita dos artículos de Mirimanoff, "Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le problème fundamental de la théorie des ensembles" y "Remarques sur la théorie des ensembles et les antinomies Cantorienne", ambos en L'Enseignement Mathématique (1917). .
2. T. Arai, "Límites de la demostrabilidad en teorías de conjuntos" (2012, p.2). Consultado el 4 de agosto de 2022.
3. Holy, Lücke, Njegomir, "Pequeñas caracterizaciones de incrustación para cardenales grandes". Anales de lógica pura y aplicada vol. 170, núm. 2 (2019), págs.251-271.

• Herbert B. Enderton , Elementos de la teoría de conjuntos , ISBN 0-12-238440-7 
• Kenneth Kunen , Teoría de conjuntos, Introducción a las pruebas de independencia , ISBN 0-444-85401-0