límite cardinal

Clase de números cardinales

En matemáticas , los cardinales límite son ciertos números cardinales . Un número cardinal λ es un cardinal de límite débil si λ no es un cardinal sucesor ni cero. Esto significa que no se puede "alcanzar" λ desde otro cardenal mediante operaciones sucesoras repetidas. A estos cardenales a veces se les llama simplemente "cardenales límite" cuando el contexto es claro.

Un cardinal λ es un cardinal de límite fuerte si λ no puede alcanzarse mediante operaciones repetidas de conjunto de potencias . Esto significa que λ es distinto de cero y, para todo κ < λ , 2 ^κ < λ . Todo cardinal de límite fuerte es también un cardinal de límite débil, porque κ ⁺ ≤ 2 ^κ para cada cardenal κ , donde κ ⁺ denota el cardinal sucesor de κ .

El primer cardinal infinito, ( aleph-nada ), es un cardinal de límite fuerte y, por tanto, también un cardinal de límite débil. ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Construcciones

Una forma de construir cardinales límite es mediante la operación de unión: es un cardinal límite débil, definido como la unión de todas las alephs anteriores a él; y en general para cualquier límite ordinal λ es un límite débil cardinal. ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ ${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$

La operación ב se puede utilizar para obtener cardinales límite fuertes. Esta operación es un mapa de ordinales a cardinales definido como

${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0},}$

${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},}$(el ordinal equinonumero más pequeño con el conjunto de potencias)

Si λ es un ordinal límite, ${\displaystyle \beth _{\lambda }=\bigcup \{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.}$

el cardenal

${\displaystyle \beth _{\omega }=\bigcup \{\beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\ldots \}=\bigcup _{n<\omega }\beth _{n}}$

es un límite fuerte cardinal de cofinalidad ω. De manera más general, dado cualquier ordinal α , el cardinal

${\displaystyle \beth _{\alpha +\omega }=\bigcup _{n<\omega }\beth _{\alpha +n}}$

es un cardenal de límite fuerte. Por tanto, existen cardinales límite fuertes arbitrariamente grandes.

Relación con los subíndices ordinales

Si se cumple el axioma de elección , todo número cardinal tiene un ordinal inicial . Si ese ordinal inicial es entonces el número cardinal tiene la forma para el mismo subíndice ordinal λ . El ordinal λ determina si es un cardinal de límite débil. Porque si λ es un ordinal sucesor entonces no es un límite débil. Por el contrario, si un cardinal κ es un cardinal sucesor, digamos entonces . Por lo tanto, en general, es un cardinal límite débil si y sólo si λ es cero o un ordinal límite. ${\displaystyle \omega _{\lambda }\,,}$ ${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$ ${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$ ${\displaystyle \aleph _{\alpha ^{+}}=(\aleph _{\alpha })^{+}\,,}$ ${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$ ${\displaystyle \kappa =(\aleph _{\alpha })^{+}\,,}$ ${\displaystyle \kappa =\aleph _{\alpha ^{+}}\,.}$ ${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$

Aunque el subíndice ordinal nos dice si un cardinal es un límite débil, no nos dice si un cardinal es un límite fuerte. Por ejemplo, ZFC demuestra que es un cardinal de límite débil, pero no prueba ni refuta que sea un cardinal de límite fuerte (Hrbacek y Jech 1999:168). La hipótesis del continuo generalizado establece que para cada cardinal infinito κ . Bajo esta hipótesis, coinciden las nociones de cardinales límite fuertes y débiles. ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ ${\displaystyle \kappa ^{+}=2^{\kappa }\,}$

La noción de inaccesibilidad y los grandes cardenales

Lo anterior define una noción de "inaccesibilidad": estamos tratando con casos en los que ya no es suficiente hacer un número finito de iteraciones de las operaciones sucesoras y powerset; de ahí la frase "no se puede alcanzar" en las dos definiciones intuitivas anteriores. Pero la "operación de unión" siempre proporciona otra forma de "acceder" a estos cardenales (y de hecho, tal es también el caso de los ordinales límite). Se pueden definir nociones más sólidas de inaccesibilidad utilizando la cofinalidad . Para un límite cardinal débil (respectivamente fuerte) κ, el requisito es que cf( κ ) = κ (es decir, κ sea regular ), de modo que κ no pueda expresarse como una suma (unión) de menos de κ cardinales más pequeños. Tal cardenal se llama cardenal débilmente (respectivamente fuerte) inaccesible . Ambos ejemplos anteriores son cardinales singulares de cofinalidad ω y, por tanto, no son inaccesibles.

${\displaystyle \aleph _{0}}$Sería un cardinal inaccesible de ambas "fortalezas", excepto que la definición de inaccesible requiere que sean incontables. La teoría de conjuntos estándar de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC) ni siquiera puede probar la consistencia de la existencia de un cardinal inaccesible de cualquiera de los tipos anteriores , debido al teorema de incompletitud de Gödel . Más específicamente, si es débilmente inaccesible entonces . Estos forman los primeros de una jerarquía de grandes cardenales . ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle L_{\kappa }\models ZFC}$

Ver también

• número cardinal

Referencias

• Hrbaček, Karel; Jech, Thomas (1999), Introducción a la teoría de conjuntos (3 ed.), ISBN 0-8247-7915-0
• Jech, Thomas (2003), Teoría de conjuntos , Springer Monographs in Mathematics (edición del tercer milenio), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/3-540-44761-X, ISBN 978-3-540-44085-7
• Kunen, Kenneth (1980), Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia , Elsevier , ISBN 978-0-444-86839-8

enlaces externos

• http://www.ii.com/math/cardinals/ Tinta infinita sobre cardenales