Principio del cuadrado

En la teoría matemática de conjuntos , un principio cuadrado es un principio combinatorio que afirma la existencia de una secuencia coherente de conjuntos (clubs) cortos, cerrados e ilimitados, de modo que ningún conjunto (clubs) largo es coherente con todos ellos. Como tal, pueden considerarse como una especie de fenómeno de incompacidad . ^[1] Fueron introducidos por Ronald Jensen en su análisis de la estructura fina del universo construible L.

Definición

Defina Sing como la clase de todos los ordinales límite que no son regulares . El cuadrado global establece que existe un sistema que satisface: ${\displaystyle (C_{\beta })_{\beta \in \mathrm {Sing} }}$

1. ${\displaystyle C_{\beta }}$es un conjunto de club de . ${\displaystyle \beta }$
2. Antiguo Testamento ${\displaystyle (C_{\beta })<\beta }$
3. Si es un punto límite de entonces y ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle C_{\beta }}$ ${\displaystyle \gamma \in \mathrm {Sing} }$ ${\displaystyle C_{\gamma }=C_{\beta }\cap \gamma }$

Variante relativa a un cardenal

Jensen introdujo también una versión local del principio. ^[2] Si es un cardinal incontable, entonces afirma que existe una secuencia que satisface: ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Box _{\kappa }}$ ${\displaystyle (C_{\beta }\mid \beta {\text{ a limit point of }}\kappa ^{+})}$

1. ${\displaystyle C_{\beta }}$es un conjunto de club de . ${\displaystyle \beta }$
2. Si , entonces ${\displaystyle cf\beta <\kappa }$ ${\displaystyle |C_{\beta }|<\kappa }$
3. Si es un punto límite de entonces ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle C_{\beta }}$ ${\displaystyle C_{\gamma }=C_{\beta }\cap \gamma }$

Jensen demostró que este principio es válido en el universo construible para cualquier cardinal incontable κ.

Notas

1. Cummings, James (2005), "Notas sobre combinatoria cardinal singular", Notre Dame Journal of Formal Logic , 46 (3): 251–282, doi : 10.1305/ndjfl/1125409326Sección 4.
2. Jech, Thomas (2003), Teoría de conjuntos: Edición del tercer milenio , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44085-7, pág. 443.

• Jensen, R. Björn (1972), "La estructura fina de la jerarquía construible", Annals of Mathematical Logic , 4 (3): 229–308, doi : 10.1016/0003-4843(72)90001-0 , MR  0309729