En lógica matemática , lógica proposicional y lógica de predicados , una fórmula bien formada , abreviada WFF o wff , a menudo simplemente fórmula , es una secuencia finita de símbolos de un alfabeto determinado que forma parte de un lenguaje formal . [1]
La abreviatura wff se pronuncia "guau", [2] [3] [4] [5] o, a veces, [6] "wiff", [7] [8] [9] , "weff", [10] [11] o "olor". [12]
Un lenguaje formal se puede identificar con el conjunto de fórmulas del lenguaje. Una fórmula es un objeto sintáctico al que se le puede dar un significado semántico mediante una interpretación . Dos usos clave de las fórmulas se encuentran en la lógica proposicional y la lógica de predicados.
Un uso clave de las fórmulas es en la lógica proposicional y la lógica de predicados, como la lógica de primer orden . En esos contextos, una fórmula es una cadena de símbolos φ para los cuales tiene sentido preguntar "¿es φ cierto?", una vez que se han instanciado las variables libres en φ. En lógica formal, las pruebas pueden representarse mediante secuencias de fórmulas con ciertas propiedades, y la fórmula final de la secuencia es lo que se prueba.
Aunque el término "fórmula" puede usarse para marcas escritas (por ejemplo, en una hoja de papel o pizarra), se entiende más precisamente como la secuencia de símbolos que se expresan, siendo las marcas una instancia simbólica de fórmula. Esta distinción entre la noción vaga de "propiedad" y la noción definida inductivamente de fórmula bien formada tiene sus raíces en el artículo de Weyl de 1910 "Uber die Definiciónen der mathematischen Grundbegriffe". [13] Por lo tanto, la misma fórmula puede escribirse más de una vez y, en principio, una fórmula puede ser tan larga que no puede escribirse en absoluto dentro del universo físico.
Las fórmulas en sí mismas son objetos sintácticos. Se les da significado mediante interpretaciones. Por ejemplo, en una fórmula proposicional, cada variable proposicional puede interpretarse como una proposición concreta, de modo que la fórmula general exprese una relación entre estas proposiciones. Sin embargo, no es necesario interpretar una fórmula para que se considere únicamente como una fórmula.
Las fórmulas del cálculo proposicional , también llamadas fórmulas proposicionales , [14] son expresiones como . Su definición comienza con la elección arbitraria de un conjunto V de variables proposicionales . El alfabeto consta de las letras de V junto con los símbolos de los conectivos proposicionales y los paréntesis "(" y ")", todos los cuales se supone que no están en V. Las fórmulas serán ciertas expresiones (es decir, cadenas de símbolos) sobre este alfabeto.
Las fórmulas se definen inductivamente de la siguiente manera:
Esta definición también se puede escribir como una gramática formal en forma Backus-Naur , siempre que el conjunto de variables sea finito:
< conjunto alfa > ::= p | q | r | s | t | tu | ... (el conjunto finito arbitrario de variables proposicionales) <forma> :: = < conjunto alfa > | ¬ < formulario > | ( < forma > ∧ < forma > ) | ( < forma > ∨ < forma > ) | ( < formulario > → < formulario > ) | ( < formulario > ↔ < formulario > )
Usando esta gramática, la secuencia de símbolos
es una fórmula, porque es gramaticalmente correcta. La secuencia de símbolos.
No es una fórmula, porque no se ajusta a la gramática.
Una fórmula compleja puede resultar difícil de leer debido, por ejemplo, a la proliferación de paréntesis. Para aliviar este último fenómeno, se asumen reglas de precedencia (similares al orden matemático estándar de las operaciones ) entre los operadores, lo que hace que algunos operadores sean más vinculantes que otros. Por ejemplo, asumiendo la precedencia (de más vinculante a menos vinculante) 1. ¬ 2. → 3. ∧ 4. ∨. Entonces la fórmula
puede abreviarse como
Sin embargo, esto es sólo una convención utilizada para simplificar la representación escrita de una fórmula. Si se supusiera que la precedencia, por ejemplo, fuera asociativa izquierda-derecha, en el siguiente orden: 1. ¬ 2. ∧ 3. ∨ 4. →, entonces la misma fórmula anterior (sin paréntesis) se reescribiría como
La definición de una fórmula en lógica de primer orden es relativa a la firma de la teoría en cuestión. Esta firma especifica los símbolos constantes, símbolos de predicados y símbolos de funciones de la teoría en cuestión, junto con las aridades de la función y los símbolos de predicados.
La definición de fórmula se divide en varias partes. Primero, el conjunto de términos se define recursivamente. Los términos, informalmente, son expresiones que representan objetos del dominio del discurso .
El siguiente paso es definir las fórmulas atómicas .
Finalmente, el conjunto de fórmulas se define como el conjunto más pequeño que contiene el conjunto de fórmulas atómicas tales que se cumple lo siguiente:
Si una fórmula no tiene apariciones de o , para ninguna variable , entonces se llamasin cuantificadores . Una fórmula existencial es una fórmula que comienza con una secuencia de cuantificación existencial seguida de una fórmula sin cuantificadores.
Una fórmula atómica es una fórmula que no contiene conectivos lógicos ni cuantificadores , o equivalentemente una fórmula que no tiene subfórmulas estrictas. La forma precisa de las fórmulas atómicas depende del sistema formal considerado; para la lógica proposicional , por ejemplo, las fórmulas atómicas son las variables proposicionales . Para la lógica de predicados , los átomos son símbolos de predicados junto con sus argumentos, siendo cada argumento un término .
Según cierta terminología, una fórmula abierta se forma combinando fórmulas atómicas utilizando únicamente conectivos lógicos, excluyendo los cuantificadores. [15] Esto no debe confundirse con una fórmula que no está cerrada.
Una fórmula cerrada , también fórmula o frase básica , es una fórmula en la que no hay ocurrencias libres de ninguna variable . Si A es una fórmula de un lenguaje de primer orden en el que las variables v 1 , …, v n tienen ocurrencias libres, entonces A precedida por ∀ v 1 ⋯ ∀ v n es una clausura universal de A .
En trabajos anteriores sobre lógica matemática (por ejemplo, de Church [16] ), las fórmulas se referían a cualquier cadena de símbolos y, entre estas cadenas, las fórmulas bien formadas eran las cadenas que seguían las reglas de formación de fórmulas (correctas).
Varios autores simplemente dicen fórmula. [17] [18] [19] [20] Los usos modernos (especialmente en el contexto de la informática con software matemático como verificadores de modelos , probadores de teoremas automatizados , probadores de teoremas interactivos ) tienden a retener de la noción de fórmula solo el concepto algebraico. y dejar la cuestión de la buena formación , es decir, de la representación en cadena concreta de las fórmulas (usando este o aquel símbolo para conectivos y cuantificadores, usando esta o aquella convención de paréntesis , usando notación polaca o infija , etc.) como un mero problema de notación. .
La expresión "fórmulas bien formadas" (WFF) también se coló en la cultura popular. WFF es parte de un juego de palabras esotérico utilizado en el nombre del juego académico " WFF 'N PROOF : The Game of Modern Logic", de Layman Allen, [21] desarrollado mientras estaba en la Facultad de Derecho de Yale (más tarde fue profesor en la Universidad de Michigan ). El conjunto de juegos está diseñado para enseñar los principios de la lógica simbólica a los niños (en notación polaca ). [22] Su nombre es un eco de whiffenpoof , una palabra sin sentido utilizada como alegría en la Universidad de Yale que se hizo popular en The Whiffenpoof Song y The Whiffenpoofs . [23]