El estructuralismo es una teoría de la filosofía de las matemáticas que sostiene que las teorías matemáticas describen estructuras de objetos matemáticos . Los objetos matemáticos se definen exhaustivamente por su lugar en tales estructuras. En consecuencia, el estructuralismo sostiene que los objetos matemáticos no poseen ninguna propiedad intrínseca , sino que se definen por sus relaciones externas en un sistema. Por ejemplo, el estructuralismo sostiene que el número 1 se define exhaustivamente por ser el sucesor del 0 en la estructura de la teoría de los números naturales . Por generalización de este ejemplo, cualquier número natural se define por su respectivo lugar en esa teoría. Otros ejemplos de objetos matemáticos podrían incluir líneas y planos en geometría , o elementos y operaciones en álgebra abstracta .
El estructuralismo es una visión epistemológicamente realista en el sentido de que sostiene que los enunciados matemáticos tienen un valor de verdad objetivo . Sin embargo, su afirmación central sólo se relaciona con qué tipo de entidad es un objeto matemático, no con qué tipo de existencia tienen los objetos o estructuras matemáticos (no, en otras palabras, con su ontología ). El tipo de existencia que tienen los objetos matemáticos dependería de la de las estructuras en las que están insertos; diferentes subvariedades del estructuralismo hacen diferentes afirmaciones ontológicas a este respecto. [1]
El estructuralismo en la filosofía de las matemáticas está particularmente asociado con Paul Benacerraf , Geoffrey Hellman , Michael Resnik , Stewart Shapiro y James Franklin .
La motivación histórica para el desarrollo del estructuralismo deriva de un problema fundamental de ontología . Desde la época medieval , los filósofos han discutido si la ontología de las matemáticas contiene objetos abstractos . En la filosofía de las matemáticas, un objeto abstracto se define tradicionalmente como una entidad que:
(1) existe independientemente de la mente;
(2) existe independientemente del mundo empírico; y
(3) tiene propiedades eternas e inmutables.
El platonismo matemático tradicional sostiene que un conjunto de elementos matemáticos ( números naturales , números reales , funciones , relaciones , sistemas ) son objetos abstractos de ese tipo. Por el contrario, el nominalismo matemático niega la existencia de tales objetos abstractos en la ontología de las matemáticas.
A finales del siglo XIX y principios del XX, una serie de teorías antiplatónicas ganaron popularidad, entre ellas el intuicionismo , el formalismo y el predicativismo . Sin embargo, a mediados del siglo XX, estas teorías antiplatónicas tenían una serie de problemas propios, lo que posteriormente dio lugar a un resurgimiento del interés por el platonismo. Fue en este contexto histórico que se desarrollaron las motivaciones del estructuralismo. En 1965, Paul Benacerraf publicó un artículo titulado "What Numbers Could Not Be" (Lo que los números no podrían ser). [2] Benacerraf concluyó, sobre la base de dos argumentos principales, que el platonismo de teoría de conjuntos no puede tener éxito como teoría filosófica de las matemáticas.
En primer lugar, Benacerraf argumentó que los enfoques platónicos no pasan la prueba ontológica. [2] Desarrolló un argumento contra la ontología del platonismo de teoría de conjuntos, que ahora se conoce históricamente como el problema de identificación de Benacerraf . Benacerraf señaló que existen formas de teoría de conjuntos elementalmente equivalentes de relacionar los números naturales con los conjuntos puros . Sin embargo, si alguien pregunta por las declaraciones de identidad "verdaderas" para relacionar los números naturales con los conjuntos puros, entonces diferentes métodos de teoría de conjuntos producen declaraciones de identidad contradictorias cuando estos conjuntos elementalmente equivalentes se relacionan entre sí. [2] Esto genera una falsedad de teoría de conjuntos. En consecuencia, Benacerraf infirió que esta falsedad de teoría de conjuntos demuestra que es imposible que exista algún método platónico de reducción de números a conjuntos que revele algún objeto abstracto.
En segundo lugar, Benacerraf argumentó que los enfoques platónicos no pasan la prueba epistemológica . Benacerraf sostuvo que no existe un método empírico o racional para acceder a objetos abstractos. Si los objetos matemáticos no son espaciales o temporales, entonces Benacerraf infiere que tales objetos no son accesibles a través de la teoría causal del conocimiento . [3] Por lo tanto, surge el problema epistemológico fundamental para el platónico de ofrecer una explicación plausible de cómo un matemático con una mente limitada y empírica es capaz de acceder con precisión a verdades eternas independientes de la mente y del mundo. Fue a partir de estas consideraciones, el argumento ontológico y el argumento epistemológico, que las críticas antiplatónicas de Benacerraf motivaron el desarrollo del estructuralismo en la filosofía de las matemáticas.
Stewart Shapiro divide el estructuralismo en tres grandes escuelas de pensamiento. [4] Estas escuelas se denominan ante rem , in re y post rem .
Precursores