No existe una definición de matemáticas generalmente aceptada. Diferentes escuelas de pensamiento, particularmente en filosofía , han propuesto definiciones radicalmente diferentes. Todas son controvertidas. [1] [2]
Aristóteles definió las matemáticas como: [3]
La ciencia de la cantidad .
En la clasificación de las ciencias de Aristóteles , las cantidades discretas eran estudiadas por la aritmética , las cantidades continuas por la geometría . [4] Aristóteles también pensaba que la cantidad por sí sola no distingue a las matemáticas de ciencias como la física; en su opinión, la abstracción y el estudio de la cantidad como una propiedad "separable en el pensamiento" de las instancias reales distinguen a las matemáticas. [5]
La definición de Auguste Comte intentó explicar el papel de las matemáticas en la coordinación de los fenómenos en todos los demás campos : [6]
La ciencia de la medición indirecta. [3] Auguste Comte 1851
La "indirectitud" en la definición de Comte se refiere a determinar cantidades que no pueden medirse directamente, como la distancia a los planetas o el tamaño de los átomos, por medio de sus relaciones con cantidades que pueden medirse directamente. [7]
Los tipos de definiciones anteriores, que habían prevalecido desde la época de Aristóteles, [4] fueron abandonados en el siglo XIX a medida que se desarrollaron nuevas ramas de las matemáticas que no tenían una relación obvia con la medición o el mundo físico, como la teoría de grupos , la geometría proyectiva [3] y la geometría no euclidiana . [8]
En la actualidad, existen tres tipos principales de definición de las matemáticas: la logicista , la intuicionista y la formalista , cada una de las cuales refleja una filosofía diferente de las matemáticas . Cada una tiene sus propios defectos, ninguna ha logrado un consenso generalizado y las tres parecen irreconciliables. [9]
A medida que los matemáticos buscaban un mayor rigor y fundamentos más abstractos , algunos propusieron definir las matemáticas puramente en términos de deducción y lógica :
Las matemáticas son la ciencia que extrae las conclusiones necesarias. [10] Benjamin Peirce 1870
Toda matemática es lógica simbólica. [8] Bertrand Russell 1903
Peirce no creía que las matemáticas fueran lo mismo que la lógica, ya que pensaba que las matemáticas sólo hacen afirmaciones hipotéticas, no categóricas . [11] La definición de Russell, por otro lado, expresa la visión logicista sin reservas. [9]
En lugar de caracterizar las matemáticas mediante la lógica deductiva, el intuicionismo considera que las matemáticas tratan principalmente de la construcción de ideas en la mente: [9]
El único fundamento posible de las matemáticas debe buscarse en esta construcción bajo la obligación de observar cuidadosamente qué construcciones permite la intuición y cuáles no. [12] LEJ Brouwer 1907
... la matemática intuicionista no es nada más ni menos que una investigación de los límites máximos que el intelecto puede alcanzar en su autodespliegue. [12] Arend Heyting 1968
El intuicionismo surgió de la filosofía del matemático LEJ Brouwer y también condujo al desarrollo de una lógica intuicionista modificada . Como resultado, el intuicionismo ha generado algunos resultados genuinamente diferentes que, si bien son coherentes y válidos, difieren de algunos teoremas basados en la lógica clásica. [9]
El formalismo niega por completo los significados lógicos o intuitivos, convirtiendo los símbolos y las reglas en objetos de estudio. [9] Una definición formalista:
Las matemáticas son la ciencia de los sistemas formales. [13] Haskell Curry 1951
Otras definiciones enfatizan el patrón, el orden o la estructura. Por ejemplo:
Las matemáticas son la clasificación y el estudio de todos los patrones posibles. [14] Walter Warwick Sawyer , 1955
Otro enfoque hace de la abstracción el criterio definitorio:
Las matemáticas son un campo de estudio de amplio alcance en el que se examinan las propiedades e interacciones de objetos idealizados. [15]
La mayoría de las obras de referencia contemporáneas definen las matemáticas resumiendo sus principales temas y métodos:
La ciencia abstracta que investiga deductivamente las conclusiones implícitas en las concepciones elementales de las relaciones espaciales y numéricas, y que incluye como divisiones principales la geometría, la aritmética y el álgebra. [16] Oxford English Dictionary , 1933
El estudio de la medición, las propiedades y las relaciones de cantidades y conjuntos, utilizando números y símbolos. [17] American Heritage Dictionary , 2000
La ciencia de la estructura, el orden y la relación que ha evolucionado a partir de prácticas elementales de contar, medir y describir las formas de los objetos. [18] Encyclopædia Britannica , 2006
Bertrand Russell escribió esta famosa definición irónica, que describe la forma en que todos los términos en matemáticas se definen en última instancia por referencia a términos indefinidos:
El tema en el que nunca sabemos de qué estamos hablando, ni si lo que decimos es verdad. [19] Bertrand Russell 1901
Muchos otros intentos de caracterizar las matemáticas han conducido al humor o a la prosa poética:
Un matemático es un hombre ciego en una habitación oscura buscando un gato negro que no está allí. [20] Charles Darwin [21]
Un matemático, como un pintor o un poeta, es un creador de patrones. Si sus patrones son más permanentes que los de ellos, es porque están hechos con ideas. [22] GH Hardy , 1940
Las matemáticas son el arte de dar el mismo nombre a cosas diferentes. [10] Henri Poincaré
Las matemáticas son la ciencia de las operaciones hábiles con conceptos y reglas inventadas precisamente para este propósito. [Este propósito es la operación hábil...] [23] Eugene Wigner
Las matemáticas no son un libro encerrado en una tapa y encuadernado entre broches de bronce, cuyo contenido sólo requiere paciencia para saquearlo; no son una mina, cuyos tesoros pueden tardar mucho en reducirse a posesión, sino que llenan sólo un número limitado de vetas y filones; no son un suelo, cuya fertilidad puede agotarse con el rendimiento de cosechas sucesivas; no son un continente o un océano, cuya área puede cartografiarse y su contorno definirse: son ilimitadas como ese espacio que encuentran demasiado estrecho para sus aspiraciones; sus posibilidades son tan infinitas como los mundos que siempre se agolpan y se multiplican ante la mirada del astrónomo; son tan incapaces de ser restringidas dentro de límites asignados o de ser reducidas a definiciones de validez permanente, como la conciencia de la vida, que parece dormir en cada mónada, en cada átomo de materia, en cada célula de hoja y brote, y está siempre lista para estallar en nuevas formas de existencia vegetal y animal. [24] James Joseph Sylvester
¿Qué son las matemáticas? ¿Para qué sirven? ¿Qué hacen los matemáticos hoy en día? ¿No se acabó todo hace mucho tiempo? ¿Cuántos números nuevos se pueden inventar? ¿Las matemáticas de hoy son sólo una cuestión de enormes cálculos, con el matemático como una especie de cuidador del zoológico, asegurándose de que los preciosos ordenadores tengan comida y bebida? Si no es así, ¿qué son sino las incomprensibles efusiones de cerebros superpoderosos con la cabeza en las nubes y los pies colgando de los altos balcones de sus torres de marfil? Las matemáticas son todas estas cosas y ninguna. En su mayor parte, son simplemente diferentes. No son lo que uno espera que sean, le das la espalda por un momento y han cambiado. Ciertamente no son sólo un cuerpo fijo de conocimientos, su crecimiento no se limita a la invención de nuevos números y sus tentáculos ocultos impregnan todos los aspectos de la vida moderna. [24] Ian Stewart
es necesario preguntarse qué se entiende por matemáticas en general. Ilustres eruditos han debatido sobre este asunto hasta ponerse colorados, y sin embargo no se ha llegado a un consenso sobre si las matemáticas son una ciencia natural, una rama de las humanidades o una forma de arte.
