Topología de Lawvere-Tierney

Analog of Grothendieck topology

En matemáticas, una topología de Lawvere-Tierney es análoga a una topología de Grothendieck para un topos arbitrario , utilizada para construir un topos de haces. Una topología de Lawvere-Tierney a veces también se denomina operador local , cobertura , topología o modalidad geométrica . Fueron presentados por William Lawvere  (1971) y Myles Tierney .

Definición

Si E es un topos, entonces una topología en E es un morfismo j del clasificador de subobjetos Ω a Ω tal que j preserva la verdad ( ), preserva las intersecciones ( ) y es idempotente ( ). ${\displaystyle j\circ {\mbox{true}}={\mbox{true}}}$ ${\displaystyle j\circ \wedge =\wedge \circ (j\times j)}$ ${\displaystyle j\circ j=j}$

j -cierre

Diagramas conmutativos que muestran cómo opera el cierre j . Ω yt son el clasificador de subobjetos . χ _s es el morfismo característico de s como subobjeto de A y es cuyo morfismo característico es el j -cierre de s . Los dos cuadrados inferiores son cuadrados de retroceso y también están contenidos en el diagrama superior: el primero como un trapezoide y el segundo como un rectángulo de dos cuadrados. ${\displaystyle j\circ \chi _{s}}$ ${\displaystyle {\bar {s}}}$

Dado un subobjeto de un objeto A con clasificador , entonces la composición define otro subobjeto de A tal que s es un subobjeto de , y se dice que es el cierre j de s . ${\displaystyle s:S\rightarrowtail A}$ ${\displaystyle \chi _{s}:A\rightarrow \Omega }$ ${\displaystyle j\circ \chi _{s}}$ ${\displaystyle {\bar {s}}:{\bar {S}}\rightarrowtail A}$ ${\displaystyle {\bar {s}}}$ ${\displaystyle {\bar {s}}}$

Algunos teoremas relacionados con el cierre j son (para algunos subobjetos s y w de A ):

• propiedad inflacionaria: ${\displaystyle s\subseteq {\bar {s}}}$
• idempotencia: ${\displaystyle {\bar {s}}\equiv {\bar {\bar {s}}}}$
• preservación de intersecciones: ${\displaystyle {\overline {s\cap w}}\equiv {\bar {s}}\cap {\bar {w}}}$
• preservación del orden: ${\displaystyle s\subseteq w\Longrightarrow {\bar {s}}\subseteq {\bar {w}}}$
• Estabilidad bajo retroceso: . ${\displaystyle {\overline {f^{-1}(s)}}\equiv f^{-1}({\bar {s}})}$

Ejemplos

Las topologías de Grothendieck en una categoría pequeña C son esencialmente las mismas que las topologías de Lawvere-Tierney en el topos de prehaces de conjuntos sobre C.

Referencias

• Lawvere, FW (1971), "Cuantificadores y gavillas" (PDF) , Actes du Congrès International des Mathématiciens (Niza, 1970) , vol. 1, París: Gauthier-Villars, págs. 329–334, MR  0430021, S2CID  2337874, archivado desde el original (PDF) el 17 de marzo de 2018.
• Mac Lane, Saunders ; Moerdijk, Ieke (2012) [1994], Gavillas en geometría y lógica. Una primera introducción a la teoría del topos, Universitext, Springer, ISBN 978-1-4612-0927-0
• McLarty, Colin (1995) [1992], Categorías elementales, Toposis elementales, Oxford Logic Guides, vol. 21, Oxford University Press, pág. 196, ISBN 978-0-19-158949-2