Categoría Kleisli

Teoría de categorías

En teoría de categorías , una categoría de Kleisli es una categoría asociada naturalmente a cualquier mónada T. Es equivalente a la categoría de las T -álgebras libres . La categoría de Kleisli es una de las dos soluciones extremales a la pregunta: " ¿Toda mónada surge de una adjunción ? ". La otra solución extremal es la categoría de Eilenberg-Moore . Las categorías de Kleisli reciben su nombre del matemático Heinrich Kleisli .

Definición formal

Sea ⟨ T , η , μ ⟩ una mónada sobre una categoría C . La categoría de Kleisli de C es la categoría C _T cuyos objetos y morfismos están dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Obj} ({{\mathcal {C}}_{T}})&=\mathrm {Obj} ({\mathcal {C}}),\\\mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}_{T}}(X,Y)&=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,TY).\end{aligned}}}$

Es decir, cada morfismo f: X → TY en C (con codominio TY ) también puede considerarse como un morfismo en C _T (pero con codominio Y ). La composición de los morfismos en C _T está dada por

${\displaystyle g\circ _{T}f=\mu _{Z}\circ Tg\circ f:X\to TY\to T^{2}Z\to TZ}$

donde f: X → TY y g: Y → TZ . El morfismo identidad viene dado por la unidad de mónada η :

${\displaystyle \mathrm {id} _{X}=\eta _{X}}$.

Mac Lane utiliza una forma alternativa de escribir esto, que aclara la categoría en la que vive cada objeto. ^[1] Usamos una notación ligeramente diferente para esta presentación. Dada la misma mónada y categoría que antes, asociamos con cada objeto en  un nuevo objeto , y para cada morfismo en  un morfismo . Juntos, estos objetos y morfismos forman nuestra categoría , donde definimos ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X_{T}}$ ${\displaystyle f\colon X\to TY}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f^{*}\colon X_{T}\to Y_{T}}$ ${\displaystyle C_{T}}$

${\displaystyle g^{*}\circ _{T}f^{*}=(\mu _{Z}\circ Tg\circ f)^{*}.}$

Entonces el morfismo identidad en es ${\displaystyle C_{T}}$

${\displaystyle \mathrm {id} _{X_{T}}=(\eta _{X})^{*}.}$

Operadores de extensión y triples Kleisli

La composición de las flechas de Kleisli se puede expresar sucintamente mediante el operador de extensión (–) ^#  : Hom( X , TY ) → Hom( TX , TY ). Dada una mónada ⟨ T , η , μ ⟩ sobre una categoría C y un morfismo f  : X → TY sea

${\displaystyle f^{\sharp }=\mu _{Y}\circ Tf.}$

La composición en la categoría Kleisli C _T se puede escribir entonces

${\displaystyle g\circ _{T}f=g^{\sharp }\circ f.}$

El operador de extensión satisface las identidades:

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{X}^{\sharp }&=\mathrm {id} _{TX}\\f^{\sharp }\circ \eta _{X}&=f\\(g^{\sharp }\circ f)^{\sharp }&=g^{\sharp }\circ f^{\sharp }\end{aligned}}}$

donde f  : X → TY y g  : Y → TZ . De estas propiedades se deduce trivialmente que la composición de Kleisli es asociativa y que η _X es la identidad.

De hecho, dar una mónada es dar una tripleta de Kleisli ⟨ T , η , (–) ^# ⟩, es decir

• Una función ; ${\displaystyle T\colon \mathrm {ob} (C)\to \mathrm {ob} (C)}$
• Para cada objeto en , un morfismo ; ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \eta _{A}\colon A\to T(A)}$
• Para cada morfismo en , un morfismo ${\displaystyle f\colon A\to T(B)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f^{\sharp }\colon T(A)\to T(B)}$

de modo que se satisfacen las tres ecuaciones anteriores para los operadores de extensión.

Adjunto de Kleisli

Las categorías de Kleisli se definieron originalmente para demostrar que toda mónada surge de una adjunción. Esa construcción es la siguiente:

Sea ⟨ T , η , μ ⟩ una mónada sobre una categoría C y sea C _T la categoría de Kleisli asociada. Utilizando la notación de Mac Lane mencionada en la sección “Definición formal” anterior, defina un funtor F :  C  →  C _T mediante

${\displaystyle FX=X_{T}\;}$

${\displaystyle F(f\colon X\to Y)=(\eta _{Y}\circ f)^{*}}$

y un funtor G  : C _T → C por

${\displaystyle GY_{T}=TY\;}$

${\displaystyle G(f^{*}\colon X_{T}\to Y_{T})=\mu _{Y}\circ Tf\;}$

Se puede demostrar que F y G son efectivamente funtores y que F es adjunto izquierdo de G. El cociente de la adjunción está dado por

${\displaystyle \varepsilon _{Y_{T}}=(\mathrm {id} _{TY})^{*}:(TY)_{T}\to Y_{T}.}$

Finalmente, se puede demostrar que T = GF y μ = GεF de modo que ⟨ T , η , μ ⟩ es la mónada asociada a la adjunción ⟨ F , G , η , ε ⟩.

Demostrando queNovia=yo

Para cualquier objeto X en la categoría C :

${\displaystyle {\begin{aligned}(G\circ F)(X)&=G(F(X))\\&=G(X_{T})\\&=TX.\end{aligned}}}$

Para cualquiera en la categoría C : ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(G\circ F)(f)&=G(F(f))\\&=G((\eta _{Y}\circ f)^{*})\\&=\mu _{Y}\circ T(\eta _{Y}\circ f)\\&=\mu _{Y}\circ T\eta _{Y}\circ Tf\\&={\text{id}}_{TY}\circ Tf\\&=Tf.\end{aligned}}}$

Dado que es cierto para cualquier objeto X en C y es cierto para cualquier morfismo f en C , entonces . QED ${\displaystyle (G\circ F)(X)=TX}$ ${\displaystyle (G\circ F)(f)=Tf}$ ${\displaystyle G\circ F=T}$

Referencias

1. Mac Lane (1998). Categorías para el matemático en activo . pág. 147.

• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 5 (2.ª ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.Zbl 0906.18001  .
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Fundamentos categóricos. Temas especiales en orden, topología, álgebra y teoría de haces . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 97. Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7.Zbl 1034.18001  .
• Riehl, Emily (2016). Teoría de categorías en contexto (PDF) . Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-80903-8.OCLC 1006743127  .
• Riguet, Jacques ; Guitart, René (1992). "Sobre Karoubienne et categoría de Kleisli". Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques . 33 (3): 261–6. SEÑOR  1186950. Zbl  0767.18008.

Enlaces externos

• Categoría Kleisli en el laboratorio n