cociente ideal

En álgebra abstracta , si I y J son ideales de un anillo conmutativo R , su cociente ideal ( I  : J ) es el conjunto

${\displaystyle (I:J)=\{r\in R\mid rJ\subseteq I\}}$

Entonces ( I  : J ) es en sí mismo un ideal en R. El cociente ideal se considera un cociente porque si y sólo si . El cociente ideal es útil para calcular descomposiciones primarias . También surge en la descripción de la diferencia establecida en geometría algebraica (ver más abajo). ${\displaystyle KJ\subseteq I}$ ${\displaystyle K\subseteq (I:J)}$

( I  : J ) a veces se denomina ideal de dos puntos debido a la notación. En el contexto de los ideales fraccionarios , existe una noción relacionada de lo inverso de un ideal fraccionario.

Propiedades

El cociente ideal satisface las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle (I:J)=\mathrm {Ann} _{R}((J+I)/I)}$as - module , donde denota el aniquilador de as -module. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$
• ${\displaystyle J\subseteq I\Leftrightarrow (I:J)=R}$(En particular, ) ${\displaystyle (I:I)=(R:I)=(I:0)=R}$
• ${\displaystyle (I:R)=I}$
• ${\displaystyle (I:(JK))=((I:J):K)}$
• ${\displaystyle (I:(J+K))=(I:J)\cap (I:K)}$
• ${\displaystyle ((I\cap J):K)=(I:K)\cap (J:K)}$
• ${\displaystyle (I:(r))={\frac {1}{r}}(I\cap (r))}$(siempre que R sea un dominio integral )

Calculando el cociente

Las propiedades anteriores se pueden utilizar para calcular el cociente de ideales en un anillo polinómico dados sus generadores. Por ejemplo, si I = ( f ₁ , f ₂ , f ₃ ) y J = ( g ₁ , g ₂ ) son ideales en k [ x ₁ , ..., x _n ], entonces

${\displaystyle I:J=(I:(g_{1}))\cap (I:(g_{2}))=\left({\frac {1}{g_{1}}}(I\cap (g_{1}))\right)\cap \left({\frac {1}{g_{2}}}(I\cap (g_{2}))\right)}$

Entonces la teoría de la eliminación se puede utilizar para calcular la intersección de I con ( g ₁ ) y ( g ₂ ):

${\displaystyle I\cap (g_{1})=tI+(1-t)(g_{1})\cap k[x_{1},\dots ,x_{n}],\quad I\cap (g_{2})=tI+(1-t)(g_{2})\cap k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$

Calcular una base de Gröbner con respecto al orden lexicográfico. Entonces se generan las funciones básicas que no tienen t . ${\displaystyle tI+(1-t)(g_{1})}$ ${\displaystyle I\cap (g_{1})}$

Interpretación geométrica

El cociente ideal corresponde a la diferencia establecida en geometría algebraica . ^[1] Más precisamente,

• Si W es una variedad afín (no necesariamente irreducible) y V es un subconjunto del espacio afín (no necesariamente una variedad), entonces

${\displaystyle I(V):I(W)=I(V\setminus W)}$

donde denota la toma del ideal asociado a un subconjunto. ${\displaystyle I(\bullet )}$

• Si I y J son ideales en k [ x ₁ , ..., x _n ], siendo k un campo algebraicamente cerrado y I radical entonces

${\displaystyle Z(I:J)=\mathrm {cl} (Z(I)\setminus Z(J))}$

donde denota la clausura de Zariski , y denota la toma de la variedad definida por un ideal. Si I no es radical, entonces se cumple la misma propiedad si saturamos el ideal J : ${\displaystyle \mathrm {cl} (\bullet )}$ ${\displaystyle Z(\bullet )}$

${\displaystyle Z(I:J^{\infty })=\mathrm {cl} (Z(I)\setminus Z(J))}$

dónde . ${\displaystyle (I:J^{\infty })=\cup _{n\geq 1}(I:J^{n})}$

Ejemplos

• En , ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle ((6):(2))=(3)}$
• En teoría algebraica de números , el cociente ideal es útil al estudiar ideales fraccionarios . Esto se debe a que la inversa de cualquier ideal fraccionario invertible de un dominio integral viene dada por el cociente ideal . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle ((1):I)=I^{-1}}$
• Una aplicación geométrica del cociente ideal es eliminar un componente irreducible de un esquema afín. Por ejemplo, sean los ideales correspondientes a la unión de los planos x, y y z y los planos x e y en . Entonces, el cociente ideal es el ideal del plano z en . Esto muestra cómo se puede utilizar el cociente ideal para "eliminar" subesquemas irreducibles. ${\displaystyle I=(xyz),J=(xy)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{3}}$ ${\displaystyle (I:J)=(z)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{3}}$
• Un ejemplo útil de teoría de esquemas es tomar el cociente ideal de un ideal reducible. Por ejemplo, el cociente ideal , que muestra que el cociente ideal de un subesquema de algún esquema no reducido, donde ambos tienen el mismo subesquema reducido, elimina parte de la estructura no reducida. ${\displaystyle ((x^{4}y^{3}):(x^{2}y^{2}))=(x^{2}y)}$
• Podemos utilizar el ejemplo anterior para encontrar la saturación de un ideal correspondiente a un esquema proyectivo. Dado un ideal homogéneo, la saturación de se define como el cociente ideal donde . Es un teorema que el conjunto de ideales saturados de contenidos en está en biyección con el conjunto de subesquemas proyectivos en . ^[2] Esto nos muestra que define la misma curva proyectiva que en . ${\displaystyle I\subset R[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (I:{\mathfrak {m}}^{\infty })=\cup _{i\geq 1}(I:{\mathfrak {m}}^{i})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x_{0},\ldots ,x_{n})\subset R[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle R[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{n}}$ ${\displaystyle (x^{4}+y^{4}+z^{4}){\mathfrak {m}}^{k}}$ ${\displaystyle (x^{4}+y^{4}+z^{4})}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}}$

Referencias

1. David Cox; Juan pequeño; Donal O'Shea (1997). Ideales, variedades y algoritmos: una introducción a la geometría algebraica computacional y al álgebra conmutativa . Saltador. ISBN 0-387-94680-2., p.195
2. Greuel, Gert-Martin; Pfister, Gerhard (2008). Una introducción singular al álgebra conmutativa (2ª ed.). Springer-Verlag. pag. 485.ISBN​ 9783642442544.

• Viviana Ene, Jürgen Herzog: 'Bases de Gröbner en álgebra conmutativa', Estudios de Posgrado en Matemáticas de AMS , Vol 130 (AMS 2012)

• MFAtiyah, IGMacDonald: 'Introducción al álgebra conmutativa', Addison-Wesley 1969.