Adjunción tensorial-hom

En matemáticas , la adjunción tensorial-hom es que el producto tensorial y hom-functor forman un par adjunto : ${\displaystyle -\otimes X}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,-)}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (Y\otimes X,Z)\cong \operatorname {Hom} (Y,\operatorname {Hom} (X,Z)).}$

Esto se explica con más precisión a continuación. El orden de los términos en la frase "adjunción tensor-hom" refleja su relación: tensor es el adjunto izquierdo, mientras que hom es el adjunto derecho.

Declaración general

Digamos que R y S son anillos (posiblemente no conmutativos) y consideremos las categorías del módulo derecho (una afirmación análoga se aplica a los módulos izquierdos):

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathrm {Mod} _{S}\quad {\text{and}}\quad {\mathcal {D}}=\mathrm {Mod} _{R}.}$

Arreglar un -bimódulo y definir funtores de la siguiente manera: ${\displaystyle (R,S)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\colon {\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle G\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle F(Y)=Y\otimes _{R}X\quad {\text{for }}Y\in {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle G(Z)=\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\quad {\text{for }}Z\in {\mathcal {C}}}$

Entonces es adjunto por la izquierda de . Esto significa que hay un isomorfismo natural ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(Y\otimes _{R}X,Z)\cong \operatorname {Hom} _{R}(Y,\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)).}$

En realidad, se trata de un isomorfismo de grupos abelianos . Más precisamente, si es un -bimódulo y es un -bimódulo, entonces se trata de un isomorfismo de -bimódulos. Este es uno de los ejemplos motivadores de la estructura en una bicategoría cerrada . ^[1] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (A,R)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle (B,S)}$ ${\displaystyle (B,A)}$

Conteo y unidad

Como todas las adjunciones, la adjunción tensorial-hom puede describirse mediante sus transformaciones naturales counit y unit . Utilizando la notación de la sección anterior, la counit

${\displaystyle \varepsilon :FG\to 1_{\mathcal {C}}}$

tiene componentes

${\displaystyle \varepsilon _{Z}:\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\otimes _{R}X\to Z}$

dado por evaluación: Para

${\displaystyle \phi \in \operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\quad {\text{and}}\quad x\in X,}$

${\displaystyle \varepsilon (\phi \otimes x)=\phi (x).}$

Los componentes de la unidad

${\displaystyle \eta :1_{\mathcal {D}}\to GF}$

${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)}$

se definen de la siguiente manera: Para en , ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \eta _{Y}(y)\in \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)}$

es un homomorfismo de módulo derecho dado por ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \eta _{Y}(y)(t)=y\otimes t\quad {\text{for }}t\in X.}$

Ahora es posible verificar explícitamente las ecuaciones de counit y de unidad . Para en , ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y}):Y\otimes _{R}X\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)\otimes _{R}X\to Y\otimes _{R}X}$

se da en tensores simples de por ${\displaystyle Y\otimes X}$

${\displaystyle \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})(y\otimes x)=\eta _{Y}(y)(x)=y\otimes x.}$

Asimismo,

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}:\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\to \operatorname {Hom} _{S}(X,\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\otimes _{R}X)\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Z).}$

Para en , ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(X,Z)}$

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )}$

es un homomorfismo de módulo derecho definido por ${\displaystyle S}$

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )(x)=\varepsilon _{Z}(\phi \otimes x)=\phi (x)}$

y por lo tanto

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )=\phi .}$

Los funtores Ext y Tor

El funtor Hom conmuta con límites arbitrarios, mientras que el funtor producto tensorial conmuta con colímites arbitrarios que existen en su categoría de dominio. Sin embargo, en general, no conmuta con colímites ni con límites; esta falla ocurre incluso entre límites o colímites finitos. Esta falla en preservar secuencias cortas y exactas motiva la definición del funtor Ext y del funtor Tor . ${\displaystyle \hom(X,-)}$ ${\displaystyle -\otimes X}$ ${\displaystyle \hom(X,-)}$ ${\displaystyle -\otimes X}$

Véase también

• Zurra
• La dualidad de Eckmann-Hilton
• Función ext.
• Función Tor
• Cambio de anillos

Referencias

1. May, JP; Sigurdsson, J. (2006). Teoría de la homotopía parametrizada . AMS p. 253. ISBN 0-8218-3922-5.

• Bourbaki, Nicolas (1989), Elementos de matemáticas, Álgebra I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9