funtor principal

Functor que asigna objetos hom a una categoría subyacente

En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , los hom-conjuntos (es decir, conjuntos de morfismos entre objetos ) dan lugar a importantes funtores de la categoría de conjuntos . Estos functores se denominan functores hom y tienen numerosas aplicaciones en la teoría de categorías y otras ramas de las matemáticas.

Definicion formal

Sea C una categoría localmente pequeña (es decir, una categoría para la cual las clases hom son en realidad conjuntos y no clases adecuadas ).

Para todos los objetos A y B en C definimos dos functores para la categoría de conjuntos de la siguiente manera:

El funtor Hom(–, B ) también se llama funtor de puntos del objeto B .

Tenga en cuenta que arreglar el primer argumento de Hom naturalmente da lugar a un funtor covariante y arreglar el segundo argumento naturalmente da lugar a un funtor contravariante. Este es un artefacto de la forma en que se deben componer los morfismos.

El par de funtores Hom( A , –) y Hom(–, B ) están relacionados de forma natural . Para cualquier par de morfismos f  : B → B ′ y h  : A ′ → A el siguiente diagrama conmuta :

Ambos caminos envían g  : A → B a f  ∘  g  ∘  h  : A ′ → B ′.

La conmutatividad del diagrama anterior implica que Hom(–, –) es un bifunctor de C × C a Set que es contravariante en el primer argumento y covariante en el segundo. De manera equivalente, podemos decir que Hom(–, –) es un bifunctor

Hom(–, –) : C ^op × C → Establecer

donde C ^op es la categoría opuesta a C . La notación Hom _C (–, –) se utiliza a veces para Hom(–, –) para enfatizar la categoría que forma el dominio.

El lema de Yoneda

Refiriéndose al diagrama conmutativo anterior, se observa que cada morfismo

h  : A ′ → A

da lugar a una transformación natural

Hom( h , –) : Hom( A , –) → Hom( A ′, –)

y cada morfismo

f  : B → B ′

da lugar a una transformación natural

Hom(–, f ) : Hom(–, B ) → Hom(–, B ′)

El lema de Yoneda implica que toda transformación natural entre functores Hom es de esta forma. En otras palabras, los functores Hom dan lugar a una incorporación completa y fiel de la categoría C en la categoría de funtores Set ^{C op} (covariante o contravariante según qué functor Hom se utilice).

Funtor hom interno

Algunas categorías pueden poseer un funtor que se comporta como un funtor Hom, pero toma valores en la propia categoría C , en lugar de Set . Este tipo de funtor se conoce como funtor Hom interno y, a menudo, se escribe como

${\displaystyle \left[-\ -\right]:C^{\text{op}}\times C\to C}$

para enfatizar su naturaleza de producto, o como

${\displaystyle \mathop {\Rightarrow } :C^{\text{op}}\times C\to C}$

para enfatizar su naturaleza funcional, o a veces simplemente en minúsculas:

${\displaystyle \operatorname {hom} (-,-):C^{\text{op}}\times C\to C.}$Para ver ejemplos, consulte Categoría de relaciones .

Las categorías que poseen un functor Hom interno se denominan categorías cerradas . uno tiene eso

${\displaystyle \operatorname {Hom} (I,\operatorname {hom} (-,-))\simeq \operatorname {Hom} (-,-)}$,

donde I es el objeto unitario de la categoría cerrada. Para el caso de una categoría monoidal cerrada , esto se extiende a la noción de curry , es decir, que

${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y\Rightarrow Z)\simeq \operatorname {Hom} (X\otimes Y,Z)}$

donde es un bifunctor , el funtor de producto interno que define una categoría monoide . El isomorfismo es natural tanto en X como en Z. En otras palabras, en una categoría monoidea cerrada, el funtor Hom interno es un funtor adjunto al funtor de producto interno. El objeto se llama Hom interno . Cuando es el producto cartesiano , el objeto se llama objeto exponencial y, a menudo, se escribe como . ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$ ${\displaystyle Z^{Y}}$

Los Homs internos, cuando se encadenan entre sí, forman un lenguaje, llamado lenguaje interno de la categoría. Los más famosos son el cálculo lambda de tipo simple , que es el lenguaje interno de las categorías cerradas cartesianas , y el sistema de tipos lineales , que es el lenguaje interno de las categorías monoidales simétricas cerradas .

Propiedades

Tenga en cuenta que un funtor de la forma

Hom(–, A ): C ^op → Establecer

es una pregavilla ; Asimismo, Hom( A , –) es un copresheaf.

Un funtor F  : C → Conjunto que es naturalmente isomorfo a Hom( A , –) para algún A en C se llama funtor representable (o copresheaf representable); Asimismo, un funtor contravariante equivalente a Hom(–, A ) podría denominarse correpresentable.

Tenga en cuenta que Hom(–, –) : C ^op × C → Set es un profunctor y, específicamente, es el profunctor de identidad . ${\displaystyle \operatorname {id} _{C}\colon C\nrightarrow C}$

El funtor interno hom conserva los límites ; es decir, envía límites a límites, mientras que envía límites en , es decir, colimits en , dentro de límites. En cierto sentido, esto puede tomarse como la definición de límite o colimit. ${\displaystyle \operatorname {hom} (X,-)\colon C\to C}$ ${\displaystyle \operatorname {hom} (-,X)\colon C^{\text{op}}\to C}$ ${\displaystyle C^{\text{op}}}$ ${\displaystyle C}$

Al endofunctor Hom( E , –) : Set → Set se le puede dar la estructura de una mónada ; esta mónada se llama mónada del entorno (o lector) .

Otras propiedades

Si A es una categoría abeliana y A es un objeto de A , entonces Hom _A ( A , –) es un funtor covariante exacto por la izquierda de A a la categoría Ab de grupos abelianos . Es exacto si y sólo si A es proyectivo . ^[2]

Sea R un anillo y M un módulo R izquierdo . El funtor Hom _R ( M , –): Mod - R → Ab ^{[ aclaración necesaria ]} es adjunto al funtor producto tensorial – _R M : Ab → Mod - R . ${\displaystyle \otimes }$

Ver también

• funtor externo
• Categoría de funtor
• funtores representables

Notas

1. También comúnmente denominado C ^op → Set , donde C ^op denota la categoría opuesta , y esto codifica el comportamiento de inversión de flecha de Hom(–, B ).
2. Jacobson (2009), pág. 149, Proposición 3.9.

Referencias

• Mac Lane, Saunders (septiembre de 1998). Categorías para el matemático que trabaja (Segunda ed.). Saltador. ISBN 0-387-98403-8.
• Goldblatt, Robert (2006) [1984]. Topoi, el análisis categorial de la lógica (edición revisada). Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-45026-1. Archivado desde el original el 21 de marzo de 2020 . Consultado el 25 de noviembre de 2009 .
• Jacobson, Nathan (2009). Álgebra básica . vol. 2 (2ª ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.

enlaces externos

• Hom functor en el n Lab
• Hom interno en el laboratorio n