En matemáticas , un topos ( EE. UU.: / ˈ t ɒ p ɒ s / , Reino Unido : / ˈ t oʊ p oʊ s , ˈ t oʊ p ɒ s / ; topoi plural / ˈ t ɒ p ɔɪ / o / ˈ t oʊ p ɔɪ / , o toposes ) es una categoría que se comporta como la categoría de haces de conjuntos en un espacio topológico (o más generalmente: en un sitio ). Los topoi se comportan de manera muy parecida a la categoría de conjuntos y poseen una noción de localización; son una generalización directa de la topología de conjuntos de puntos . [1] Los topoi de Grothendieck encuentran aplicaciones en geometría algebraica ; los topoi elementales más generales se utilizan en lógica .
El campo matemático que estudia los topoi se llama teoría del topos .
Desde la introducción de las gavillas en las matemáticas en la década de 1940, un tema importante ha sido estudiar un espacio estudiando las gavillas en un espacio. Esta idea fue expuesta por Alexander Grothendieck introduciendo la noción de "topos". La principal utilidad de esta noción radica en la abundancia de situaciones en matemáticas donde las heurísticas topológicas son muy efectivas, pero falta un espacio topológico honesto; A veces es posible encontrar un topos que formalice la heurística. Un ejemplo importante de esta idea programática es el étale topos de un esquema . Otro ejemplo de la capacidad de los topoi de Grothendieck para encarnar la “esencia” de diferentes situaciones matemáticas lo da su uso como puentes para conectar teorías que, aunque escritas posiblemente en idiomas muy diferentes, comparten un contenido matemático común. [2] [3]
Un topos de Grothendieck es una categoría C que satisface cualquiera de las tres propiedades siguientes. (Un teorema de Jean Giraud establece que las siguientes propiedades son todas equivalentes).
Aquí Presh( D ) denota la categoría de functores contravariantes de D a la categoría de conjuntos; Un functor contravariante de este tipo se denomina con frecuencia presheaf .
Los axiomas de Giraud para una categoría C son:
El último axioma necesita mayor explicación. Si X es un objeto de C , una "relación de equivalencia" R sobre X es un mapa R → X × X en C tal que para cualquier objeto Y en C , el mapa inducido Hom( Y , R ) → Hom( Y , X ) × Hom( Y , X ) da una relación de equivalencia ordinaria en el conjunto Hom( Y , X ). Como C tiene colimites podemos formar el coecualizador de los dos mapas R → X ; Llame a esto X / R . La relación de equivalencia es "efectiva" si el mapa canónico
es un isomorfismo.
El teorema de Giraud ya ofrece una lista completa de ejemplos de "gavillas en sitios". Tenga en cuenta, sin embargo, que los sitios no equivalentes a menudo dan lugar a topoi equivalentes. Como se indicó en la introducción, las gavillas en espacios topológicos ordinarios motivan muchas de las definiciones y resultados básicos de la teoría del topos.
La categoría de conjuntos es un caso especial importante: desempeña el papel de un punto en la teoría del topos. De hecho, se puede considerar un conjunto como un haz en un punto, ya que los functores en la categoría singleton con un solo objeto y solo el morfismo de identidad son solo conjuntos específicos en la categoría de conjuntos.
De manera similar, existe un topos para cualquier grupo que es equivalente a la categoría de -conjuntos. Construimos esto como la categoría de presheaves en la categoría con un objeto, pero ahora el conjunto de morfismos viene dado por el grupo . Dado que cualquier funtor debe dar una acción sobre el objetivo, esto da la categoría de conjuntos. De manera similar, para un grupoide , la categoría de presheaves on proporciona una colección de conjuntos indexados por el conjunto de objetos en , y los automorfismos de un objeto en tienen una acción sobre el objetivo del functor.
Ejemplos más exóticos, y la razón de ser de la teoría del topos, provienen de la geometría algebraica. El ejemplo básico de un topos proviene del topos de un esquema de Zariski . Para cada esquema hay un sitio (de objetos dados por subconjuntos abiertos y morfismos dados por inclusiones) cuya categoría de prehaces forma el topos de Zariski . Pero una vez que se consideran clases distinguidas de morfismos, existen múltiples generalizaciones que conducen a matemáticas no triviales. Además, los topoi dan las bases para estudiar esquemas puramente como functores en la categoría de álgebras.
A un esquema e incluso a una pila se le puede asociar un topos étale , un topos fppf o un topos Nisnevich . Otro ejemplo importante de topos es el del sitio cristalino . En el caso de los étale topos, estos forman los objetos de estudio fundamentales en la geometría anabeliana , que estudia objetos en geometría algebraica que están determinados enteramente por la estructura de su grupo fundamental étale .
La teoría de Topos es, en cierto sentido, una generalización de la topología clásica de conjuntos de puntos. Por lo tanto, uno debería esperar ver viejos y nuevos casos de comportamiento patológico . Por ejemplo, hay un ejemplo debido a Pierre Deligne de un topos no trivial que no tiene puntos (ver más abajo la definición de puntos de un topos).
Si y son topoi, un morfismo geométrico es un par de functores adjuntos ( u ∗ , u ∗ ) (donde u ∗ : Y → X se deja adjunto a u ∗ : X → Y ) tal que u ∗ conserva límites finitos. Tenga en cuenta que u ∗ conserva automáticamente los colimits en virtud de tener un adjunto derecho.
Según el teorema del funtor adjunto de Freyd , dar un morfismo geométrico X → Y es dar un funtor u ∗ : Y → X que preserva los límites finitos y todos los colimits pequeños. Así, los morfismos geométricos entre topoi pueden verse como análogos de mapas de lugares .
Si y son espacios topológicos y hay un mapa continuo entre ellos, entonces las operaciones de retroceso y avance en gavillas producen un morfismo geométrico entre los topoi asociados para los sitios .
Un punto de un topos se define como un morfismo geométrico del topos de conjuntos a .
Si X es un espacio ordinario y x es un punto de X , entonces el funtor que lleva un haz F a su tallo F x tiene un adjunto derecho (el functor "gavilla rascacielos"), por lo que un punto ordinario de X también determina un topos -Punto teórico. Estos pueden construirse como retroceso-empuje hacia adelante a lo largo del mapa continuo x : 1 → X .
Para el etale topos de un espacio , un punto es un objeto un poco más refinado. Dado un punto del esquema subyacente, un punto del topos viene dado por una extensión de campo separable de tal que el mapa asociado factoriza el punto original . Entonces, el mapa de factorización
Más precisamente, esos son los puntos globales . No son adecuados en sí mismos para mostrar el aspecto espacial de un topos, porque un topos no trivial puede no tenerlo. Los puntos generalizados son morfismos geométricos desde un topos Y (la etapa de definición ) hasta X. Hay suficientes para mostrar el aspecto espacial. Por ejemplo, si X es el topos clasificador S [ T ] de una teoría geométrica T , entonces la propiedad universal dice que sus puntos son los modelos de T (en cualquier etapa de definición Y ).
Un morfismo geométrico ( u ∗ , u ∗ ) es esencial si u ∗ tiene un adjunto izquierdo más u ! , o de manera equivalente (según el teorema del functor adjunto) si u ∗ conserva no solo los límites finitos sino todos los límites pequeños.
Un topos anillado es un par ( X , R ), donde X es un topos y R es un objeto de anillo conmutativo en X . La mayoría de las construcciones de espacios anillados pasan por topoi anillados. La categoría de objetos del módulo R en X es una categoría abeliana con suficientes inyectivos. Una categoría abeliana más útil es la subcategoría de módulos R cuasi coherentes : son módulos R que admiten una presentación.
Otra clase importante de topoi anillados, además de los espacios anillados, son los topoi étale de las pilas de Deligne-Mumford .
Michael Artin y Barry Mazur asociaron al lugar subyacente a un topos un conjunto pro-simplicial (hasta la homotopía ). [4] (Es mejor considerarlo en Ho(pro-SS); ver Edwards) Usando este sistema inverso de conjuntos simpliciales, a veces se puede asociar a un invariante de homotopía en la topología clásica un sistema inverso de invariantes en la teoría del topos. El estudio del conjunto pro-simplicial asociado al étale topos de un esquema se denomina teoría de la homotopía étale . [5] En buenos casos (si el esquema es noetheriano y geométricamente unibranquio ), este conjunto pro-simplicial es pro-finito .
Desde principios del siglo XX, la base axiomática predominante de las matemáticas ha sido la teoría de conjuntos , en la que todos los objetos matemáticos están representados en última instancia por conjuntos (incluidas las funciones , que se asignan entre conjuntos). Un trabajo más reciente en teoría de categorías permite generalizar este fundamento utilizando topoi; cada topos define completamente su propio marco matemático. La categoría de conjuntos forma un topos familiar, y trabajar dentro de este topos equivale a utilizar las matemáticas tradicionales de la teoría de conjuntos. Pero, en cambio, se podría optar por trabajar con muchos topoi alternativos. Una formulación estándar del axioma de elección tiene sentido en cualquier topos, y hay topoi en los que no es válida. Los constructivistas estarán interesados en trabajar en un topos sin la ley del tercero excluido . Si la simetría bajo un grupo G particular es importante, se puede utilizar el topos que consta de todos los conjuntos G.
También es posible codificar una teoría algebraica , como la teoría de grupos, como un topos, en forma de topos clasificador . Los modelos individuales de la teoría, es decir, los grupos de nuestro ejemplo, corresponden entonces a functores desde el topos codificador hasta la categoría de conjuntos que respetan la estructura del topos.
Cuando se utilice para el trabajo fundacional, un topos se definirá axiomáticamente; La teoría de conjuntos se trata entonces como un caso especial de teoría del topos. A partir de la teoría de categorías, existen múltiples definiciones equivalentes de topos. Lo siguiente tiene la virtud de ser conciso:
Un topos es una categoría que tiene las dos propiedades siguientes:
Formalmente, un objeto de poder de un objeto es un par con , lo que clasifica las relaciones, en el siguiente sentido. Primero tenga en cuenta que para cada objeto , un morfismo ("una familia de subconjuntos") induce un subobjeto . Formalmente, esto se define como retroceder . La propiedad universal de un objeto de poder es que toda relación surge de esta manera, dando una correspondencia biyectiva entre relaciones y morfismos .
De los límites finitos y los objetos de poder se puede derivar que
En algunas aplicaciones, el papel del clasificador de subobjetos es fundamental, mientras que los objetos de poder no lo son. Así, algunas definiciones invierten los papeles de lo que se define y lo que se deriva.
Un funtor lógico es un funtor entre topoi que preserva límites finitos y objetos de poder. Los funtores lógicos preservan las estructuras que tienen los topoi. En particular, conservan colimits finitos, clasificadores de subobjetos y objetos exponenciales . [6]
Un topos como se define anteriormente puede entenderse como una categoría cerrada cartesiana para la cual la noción de subobjeto de un objeto tiene una definición elemental o de primer orden. Esta noción, como abstracción categórica natural de las nociones de subconjunto de un conjunto, subgrupo de un grupo y, más generalmente, subálgebra de cualquier estructura algebraica , es anterior a la noción de topos. Se puede definir en cualquier categoría, no sólo topoi, en el lenguaje de segundo orden , es decir, en términos de clases de morfismos en lugar de morfismos individuales, como sigue. Dados dos mónicos m , n de Y y Z a X respectivamente , decimos que m ≤ n cuando existe un morfismo p : Y → Z para el cual np = m , induciendo un preorden de los mónicos a X. Cuando m ≤ n y n ≤ m decimos que myn son equivalentes . Los subobjetos de X son las clases de equivalencia resultantes de los mónicos.
En un topos, "subobjeto" se convierte, al menos implícitamente, en una noción de primer orden, como sigue.
Como se señaló anteriormente, un topos es una categoría C que tiene todos los límites finitos y, por lo tanto, en particular el límite vacío u objeto final 1. Entonces es natural tratar los morfismos de la forma x : 1 → X como elementos x ∈ X . Los morfismos f : X → Y corresponden así a funciones que asignan cada elemento x ∈ X al elemento fx ∈ Y , con aplicación realizada por composición.
Entonces se podría pensar en definir un subobjeto de X como una clase de equivalencia de mónicas m : X′ → X que tienen la misma imagen { mx | x ∈ X′ }. El problema es que dos o más morfismos pueden corresponder a la misma función, es decir, no podemos asumir que C es concreto en el sentido de que el funtor C (1,-): C → Set es fiel. Por ejemplo, la categoría Grph de grafos y sus homomorfismos asociados es un topos cuyo objeto final 1 es el grafo con un vértice y una arista (un autobucle), pero no es concreto porque los elementos 1 → G de un grafo G corresponden únicamente a los bucles propios y no a los otros bordes, ni a los vértices sin bucles propios. Mientras que la definición de segundo orden hace que G y el subgrafo de todos los autobucles de G (con sus vértices) sean subobjetos distintos de G (a menos que cada arista sea, y cada vértice tenga, un autobucle), esta definición basada en imágenes no no. Esto se puede abordar para el ejemplo del gráfico y los ejemplos relacionados a través del Lema de Yoneda como se describe en la sección Otros ejemplos a continuación, pero esto deja de ser de primer orden. Topoi proporciona una solución más abstracta, general y de primer orden.
Como se señaló anteriormente, un topos C tiene un clasificador de subobjeto Ω, es decir, un objeto de C con un elemento t ∈ Ω, el subobjeto genérico de C , que tiene la propiedad de que cada mónico m : X′ → X surge como un retroceso del genérico subobjeto a lo largo de un morfismo único f : X → Ω, según la Figura 1. Ahora, el retroceso de un mónico es un mónico, y todos los elementos, incluido t, son mónicos, ya que solo hay un morfismo para 1 de cualquier objeto dado, de donde el retroceso de t a lo largo de f : X → Ω es un mónico. Por lo tanto , las mónicas de X están en biyección con los retrocesos de t a lo largo de morfismos de X a Ω. Los últimos morfismos dividen los mónicos en clases de equivalencia, cada una determinada por un morfismo f : X → Ω, el morfismo característico de esa clase, que consideramos el subobjeto de X caracterizado o nombrado por f .
Todo esto se aplica a cualquier topos, sea concreto o no. En el caso concreto, es decir, C (1,-) fiel, por ejemplo la categoría de conjuntos, la situación se reduce al comportamiento familiar de las funciones. Aquí las mónicas m : X′ → X son exactamente las inyecciones (funciones uno-uno) de X′ a X , y aquellas con una imagen dada { mx | x ∈ X′ } constituyen el subobjeto de X correspondiente al morfismo f : X → Ω para el cual f −1 ( t ) es esa imagen. Los mónicos de un subobjeto tendrán en general muchos dominios, pero todos ellos estarán en biyección entre sí.
En resumen, esta noción de primer orden de clasificador de subobjetos define implícitamente para un topos la misma relación de equivalencia en mónicos con X que había sido previamente definida explícitamente por la noción de segundo orden de subobjeto para cualquier categoría. La noción de relación de equivalencia en una clase de morfismos es en sí misma intrínsecamente de segundo orden, lo cual la definición de topos elude claramente al definir explícitamente sólo la noción de clasificador de subobjeto Ω, dejando la noción de subobjeto de X como una consecuencia implícita caracterizada (y por lo tanto nombrable) por su morfismo asociado f : X → Ω.
Todo topos de Grothendieck es un topos elemental, pero lo contrario no es cierto (ya que todo topos de Grothendieck es cocompleto, lo que no se requiere de un topos elemental).
Las categorías de conjuntos finitos, de G -conjuntos finitos ( acciones de un grupo G sobre un conjunto finito) y de grafos finitos son topoi elementales que no son topoi de Grothendieck.
Si C es una categoría pequeña, entonces la categoría de functores Conjunto C (que consta de todos los funtores covariantes de C a conjuntos, con transformaciones naturales como morfismos) es un topos. Por ejemplo, la categoría Grph de gráficos del tipo que permite múltiples aristas dirigidas entre dos vértices es un topos. Tal gráfico consta de dos conjuntos, un conjunto de aristas y un conjunto de vértices, y dos funciones s,t entre esos conjuntos, asignando a cada arista e su origen s ( e ) y su destino t ( e ). Por lo tanto, Grph es equivalente al conjunto de categorías de functores C , donde C es la categoría con dos objetos E y V y dos morfismos s,t : E → V que dan respectivamente el origen y el destino de cada borde.
El lema de Yoneda afirma que C op se integra en el conjunto C como una subcategoría completa. En el ejemplo del gráfico, la incrustación representa C op como la subcategoría del conjunto C cuyos dos objetos son V' como el gráfico de un vértice sin bordes y E' como el gráfico de dos vértices y un borde (ambos como functores), y cuyo dos morfismos de no identidad son los dos homomorfismos de gráficos de V ' a E' (ambos como transformaciones naturales). Las transformaciones naturales de V' a un grafo arbitrario (functor) G constituyen los vértices de G mientras que las de E' a G constituyen sus aristas. Aunque el Conjunto C , que podemos identificar con Grph , no se concreta ni por V' ni por E' solo, el funtor U : Grph → Conjunto 2 envía el objeto G al par de conjuntos ( Grph ( V' , G ), Grph ( E' , G )) y el morfismo h : G → H al par de funciones ( Grph ( V' , h ), Grph ( E' , h )) es fiel. Es decir, un morfismo de gráficos puede entenderse como un par de funciones, una que mapea los vértices y la otra las aristas, cuya aplicación todavía se realiza como composición pero ahora con múltiples tipos de elementos generalizados . Esto muestra que el concepto tradicional de categoría concreta como aquella cuyos objetos tienen un conjunto subyacente puede generalizarse para atender a una gama más amplia de topoi permitiendo que un objeto tenga múltiples conjuntos subyacentes, es decir, que esté multiclasificado.
La categoría de conjuntos puntiagudos con funciones de preservación de puntos no es un topos, ya que no tiene objetos de poder: si fuera el objeto de poder del conjunto puntiagudo y denota el singleton puntiagudo, entonces solo hay una función de preservación de puntos , pero las relaciones en son tan numerosas como los subconjuntos puntiagudos de . La categoría de grupos abelianos tampoco es un topos, por una razón similar: cada homomorfismo de grupo debe asignar 0 a 0.
Los siguientes textos son introducciones sencillas a los topos y los conceptos básicos de la teoría de categorías. Deberían ser adecuados para quienes conocen poco la lógica matemática y la teoría de conjuntos, incluso los no matemáticos.
Trabajo fundacional de Grothendieck sobre topoi:
Las siguientes monografías incluyen una introducción a parte o a la totalidad de la teoría del topos, pero no están dirigidas principalmente a estudiantes principiantes. Enumerados en orden (percibido) de dificultad creciente.
