Funtores adjuntos

Relación entre dos funtores que abstraen muchas construcciones comunes

En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , la adjunción es una relación que pueden exhibir dos funtores , que corresponde intuitivamente a una forma débil de equivalencia entre dos categorías relacionadas. Dos funtores que se encuentran en esta relación se conocen como funtores adjuntos , siendo uno el adjunto izquierdo y el otro el adjunto derecho . Los pares de funtores adjuntos son omnipresentes en matemáticas y a menudo surgen de construcciones de "soluciones óptimas" a ciertos problemas (es decir, construcciones de objetos que tienen una cierta propiedad universal ), como la construcción de un grupo libre en un conjunto en álgebra, o la construcción de la compactificación de Stone-Čech de un espacio topológico en topología.

Por definición, una adjunción entre categorías y es un par de funtores (que se supone que son covariantes ). ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$   y   ${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$

y, para todos los objetos en y en , una biyección entre los respectivos conjuntos de morfismos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}$

de modo que esta familia de biyecciones es natural en y . Naturalidad aquí significa que hay isomorfismos naturales entre el par de funtores y para un fijo en , y también el par de funtores y para un fijo en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(F-,X):{\mathcal {D}}\to \mathrm {Set^{\text{op}}} }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(-,GX):{\mathcal {D}}\to \mathrm {Set^{\text{op}}} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(FY,-):{\mathcal {C}}\to \mathrm {Set} }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(Y,G-):{\mathcal {C}}\to \mathrm {Set} }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

El funtor se llama funtor adjunto izquierdo o adjunto izquierdo a , mientras que se llama funtor adjunto derecho o adjunto derecho a . Escribimos . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\dashv G}$

Una adjunción entre categorías y es algo similar a una "forma débil" de una equivalencia entre y , y, de hecho, toda equivalencia es una adjunción. En muchas situaciones, una adjunción puede "mejorarse" a una equivalencia, mediante una modificación natural adecuada de las categorías y funtores involucrados. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Terminología y notación

Los términos adjunto y adjunto se utilizan ambos y son cognados : uno se toma directamente del latín, el otro del latín a través del francés. En el texto clásico Categorías para el matemático en activo , Mac Lane hace una distinción entre los dos. Dada una familia

${\displaystyle \varphi _{XY}:\mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}$

de las biyecciones de hom-set, llamamos una adjunción o una adjunción entre y . Si es una flecha en , es el adjunto derecho de (p. 81). El funtor es adjunto izquierdo a , y es adjunto derecho a . (Tenga en cuenta que puede tener un adjunto derecho que es bastante diferente de ; vea un ejemplo a continuación). ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)}$ ${\displaystyle \varphi f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$

En general, las frases " es un adjunto izquierdo" y " tiene un adjunto derecho" son equivalentes. Llamamos adjunto izquierdo porque se aplica al argumento izquierdo de , y adjunto derecho porque se aplica al argumento derecho de . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {hom} _{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}}$

Si F es adjunto izquierdo de G , también escribimos

${\displaystyle F\dashv G.}$

La terminología proviene de la idea del espacio de Hilbert de operadores adjuntos , con , que es formalmente similar a la relación anterior entre conjuntos hom. La analogía con los mapas adjuntos de los espacios de Hilbert se puede precisar en ciertos contextos. ^[1] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \langle Ty,x\rangle =\langle y,Ux\rangle }$

Introducción y motivación

El lema es "Los funtores adjuntos surgen en todas partes".

—  Saunders Mac Lane, Categorías para el matemático en activo

Las construcciones matemáticas comunes son muy a menudo funtores adjuntos. En consecuencia, los teoremas generales sobre funtores adjuntos izquierdo/derecho codifican los detalles de muchos resultados útiles y no triviales. Dichos teoremas generales incluyen la equivalencia de las diversas definiciones de funtores adjuntos, la unicidad de un adjunto derecho para un adjunto izquierdo dado, el hecho de que los funtores adjuntos izquierdo/derecho preservan respectivamente los colímites/límites (que también se encuentran en todas las áreas de las matemáticas) y los teoremas generales de funtores adjuntos que dan condiciones bajo las cuales un funtor dado es un adjunto izquierdo/derecho.

Soluciones a problemas de optimización

En cierto sentido, un funtor adjunto es una forma de dar la solución más eficiente a algún problema a través de un método que es formulístico . Por ejemplo, un problema elemental en la teoría de anillos es cómo convertir un rng (que es como un anillo que podría no tener una identidad multiplicativa) en un anillo . La forma más eficiente es adjuntar un elemento '1' al rng, adjuntar todos (y solo) los elementos que son necesarios para satisfacer los axiomas del anillo (por ejemplo, r +1 para cada r en el anillo), y no imponer relaciones en el anillo recién formado que no estén forzadas por axiomas. Además, esta construcción es formulística en el sentido de que funciona esencialmente de la misma manera para cualquier rng.

Esto es bastante vago, aunque sugerente, y puede precisarse en el lenguaje de la teoría de categorías: una construcción es más eficiente si satisface una propiedad universal , y es formulística si define un funtor . Las propiedades universales son de dos tipos: propiedades iniciales y propiedades terminales. Como se trata de nociones duales , solo es necesario analizar una de ellas.

La idea de utilizar una propiedad inicial es plantear el problema en términos de alguna categoría auxiliar E , de modo que el problema en cuestión corresponda a la búsqueda de un objeto inicial de E . Esto tiene la ventaja de que la optimización —el sentido de que el proceso encuentra la solución más eficiente— significa algo riguroso y reconocible, más bien como la obtención de un supremo . La categoría E también es formulística en esta construcción, ya que siempre es la categoría de elementos del funtor al que se está construyendo un adjunto.

Volviendo a nuestro ejemplo: tomemos el rng dado R , y construyamos una categoría E cuyos objetos sean homomorfismos de rng R → S , con S un anillo que tiene una identidad multiplicativa. Los morfismos en E entre R → S ₁ y R → S ₂ son triángulos conmutativos de la forma ( R → S ₁ , R → S ₂ , S ₁ → S ₂ ) donde S ₁ → S ₂ es una función de anillo (que preserva la identidad). (Obsérvese que esta es precisamente la definición de la categoría de coma de R sobre la inclusión de anillos unitarios en rng.) La existencia de un morfismo entre R → S ₁ y R → S ₂ implica que S ₁ es al menos una solución tan eficiente como S ₂ para nuestro problema: S ₂ puede tener más elementos contiguos y/o más relaciones no impuestas por axiomas que S ₁ . Por lo tanto, la afirmación de que un objeto R → R* es inicial en E , es decir, que existe un morfismo de él hacia cualquier otro elemento de E , significa que el anillo R * es la solución más eficiente a nuestro problema.

Los dos hechos de que este método de convertir rngs en anillos es más eficiente y formulaico se pueden expresar simultáneamente diciendo que define un funtor adjunto . Más explícitamente: Sea F el proceso anterior de adjuntar una identidad a un rng, por lo que F ( R )= R* . Sea G el proceso de “olvidar″ si un anillo S tiene una identidad y considerarlo simplemente como un rng, por lo que esencialmente G ( S )= S . Entonces F es el funtor adjunto izquierdo de G .

Sin embargo, tenga en cuenta que en realidad aún no hemos construido R* ; es un hecho algebraico importante y no del todo trivial que dicho funtor adjunto izquierdo R → R* realmente exista.

Simetría de problemas de optimización

También es posible comenzar con el funtor F y plantear la siguiente pregunta (vaga): ¿existe algún problema para el cual F sea la solución más eficiente?

La noción de que F es la solución más eficiente al problema planteado por G es, en cierto sentido riguroso, equivalente a la noción de que G plantea el problema más difícil que F resuelve.

Esto da la intuición detrás del hecho de que los funtores adjuntos ocurren en pares: si F es adjunto por la izquierda a G , entonces G es adjunto por la derecha a F.

Definiciones formales

Existen varias definiciones equivalentes para los funtores adjuntos:

• Las definiciones a través de morfismos universales son fáciles de enunciar y requieren verificaciones mínimas al construir un funtor adjunto o demostrar que dos funtores son adjuntos. También son las más análogas a nuestra intuición en lo que respecta a las optimizaciones.
• La definición a través de hom-sets hace que la simetría sea más evidente y es la razón para usar la palabra adjunto .
• La definición mediante la adjunción de counit-unit es conveniente para pruebas sobre funtores que se sabe que son adjuntos, porque proporcionan fórmulas que pueden manipularse directamente.

La equivalencia de estas definiciones es bastante útil. Los funtores adjuntos surgen en todas partes, en todas las áreas de las matemáticas. Dado que la estructura de cualquiera de estas definiciones da lugar a las estructuras de las otras, el cambio entre ellas implica el uso implícito de muchos detalles que, de otro modo, tendrían que repetirse por separado en cada área temática.

Convenciones

La teoría de los adjuntos tiene como base los términos izquierda y derecha , y hay muchos componentes que se encuentran en una de las dos categorías C y D que se están considerando. Por lo tanto, puede ser útil elegir letras en orden alfabético según se encuentren en la categoría "izquierda" C o en la categoría "derecha" D , y también escribirlas en este orden siempre que sea posible.

En este artículo, por ejemplo, las letras X , F , f , ε denotarán consistentemente cosas que viven en la categoría C , las letras Y , G , g , η denotarán consistentemente cosas que viven en la categoría D , y siempre que sea posible se hará referencia a dichas cosas en orden de izquierda a derecha (un funtor F  : D → C puede considerarse como si "viviera" donde están sus salidas, en C ). Si se dibujaran las flechas para el funtor adjunto izquierdo F, apuntarían hacia la izquierda; si se dibujaran las flechas para el funtor adjunto derecho G, apuntarían hacia la derecha.

Definición mediante morfismos universales

Por definición, un funtor es un funtor adjunto izquierdo si para cada objeto en existe un morfismo universal de a . Expresado en palabras, esto significa que para cada objeto en existe un objeto en y un morfismo tal que para cada objeto en y cada morfismo existe un morfismo único con . ${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle G(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \epsilon _{X}:F(G(X))\to X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle f:F(Y)\to X}$ ${\displaystyle g:Y\to G(X)}$ ${\displaystyle \epsilon _{X}\circ F(g)=f}$

La última ecuación se expresa mediante el siguiente diagrama conmutativo :

Aquí el conteo es un morfismo universal.

En esta situación, se puede demostrar que puede convertirse en un funtor de manera única tal que para todos los morfismos en ; se denomina entonces adjunto izquierdo de . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \epsilon _{X}\circ F(G(f))=f\circ \epsilon _{X'}}$ ${\displaystyle f:X'\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

De manera similar, podemos definir funtores adjuntos por la derecha. Un funtor es un funtor adjunto por la derecha si para cada objeto en , existe un morfismo universal de a . Expresado en palabras, esto significa que para cada objeto en , existe un objeto en y un morfismo tal que para cada objeto en y cada morfismo existe un morfismo único con . ${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle F(Y)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to G(F(Y))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle g:Y\to G(X)}$ ${\displaystyle f:F(Y)\to X}$ ${\displaystyle G(f)\circ \eta _{Y}=g}$

La existencia de la unidad, un morfismo universal, puede probar la existencia de una adjunción.

Nuevamente, esto se puede convertir de manera única en un funtor tal que para un morfismo en ; se llama entonces adjunto derecho a . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle G(F(g))\circ \eta _{Y}=\eta _{Y'}\circ g}$ ${\displaystyle g:Y\to Y'}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$

Es cierto, como lo implica la terminología, que es adjunto por la izquierda a si y sólo si es adjunto por la derecha a . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$

Estas definiciones a través de morfismos universales suelen ser útiles para establecer que un funtor dado es adjunto por la izquierda o por la derecha, porque son minimalistas en sus requisitos. También son intuitivamente significativas, ya que encontrar un morfismo universal es como resolver un problema de optimización.

Definición mediante complemento Hom-set

Una adjunción de hom-set entre dos categorías C y D consta de dos funtores F  : D → C y G  : C → D y un isomorfismo natural

${\displaystyle \Phi :\mathrm {hom} _{C}(F-,-)\to \mathrm {hom} _{D}(-,G-)}$.

Esto especifica una familia de biyecciones.

${\displaystyle \Phi _{Y,X}:\mathrm {hom} _{C}(FY,X)\to \mathrm {hom} _{D}(Y,GX)}$

para todos los objetos X en C e Y en D.

En esta situación, F es adjunto por la izquierda a G y G es adjunto por la derecha a F.

Esta definición es un compromiso lógico, ya que es más difícil de satisfacer que las definiciones de morfismo universal y tiene menos implicaciones inmediatas que la definición de counidad-unidad. Es útil debido a su simetría obvia y como un trampolín entre las otras definiciones.

Para interpretar Φ como un isomorfismo natural , se deben reconocer hom _C ( F –, –) y hom _D (–, G –) como funtores. De hecho, ambos son bifuntores desde D ^op × C hasta Set (la categoría de conjuntos ). Para más detalles, véase el artículo sobre funtores hom . Explícitamente, la naturalidad de Φ significa que para todos los morfismos f  : X → X′ en C y todos los morfismos g  : Y ′ → Y en D el siguiente diagrama conmuta :

Naturalidad de Φ

Las flechas verticales en este diagrama son las inducidas por la composición. Formalmente, Hom( Fg , f ) : Hom _C ( FY , X ) → Hom _C ( FY′ , X′ ) está dada por h → f o h o Fg para cada h en Hom _C ( FY , X ). Hom( g , Gf ) es similar.

Definición mediante la adjunción de counit-unit

Una adjunción de counit-unit entre dos categorías C y D consta de dos funtores F  : D → C y G  : C → D y dos transformaciones naturales

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &:FG\to 1_{\mathcal {C}}\\\eta &:1_{\mathcal {D}}\to GF\end{aligned}}}$

respectivamente llamadas counit y unidad de la adjunción (terminología del álgebra universal ), tales que las composiciones

${\displaystyle F{\xrightarrow {\;F\eta \;}}FGF{\xrightarrow {\;\varepsilon F\,}}F}$

${\displaystyle G{\xrightarrow {\;\eta G\;}}GFG{\xrightarrow {\;G\varepsilon \,}}G}$

son las transformaciones identidad 1 _F y 1 _G en F y G respectivamente.

En esta situación decimos que F es adjunto por la izquierda a G y G es adjunto por la derecha a F , y podemos indicar esta relación escribiendo    o simplemente    . ${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$ ${\displaystyle F\dashv G}$

En forma de ecuación, las condiciones anteriores en ( ε , η ) son las ecuaciones de conteo-unidad

${\displaystyle {\begin{aligned}1_{F}&=\varepsilon F\circ F\eta \\1_{G}&=G\varepsilon \circ \eta G\end{aligned}}}$

lo que significa que para cada X en C y cada Y en D ,

${\displaystyle {\begin{aligned}1_{FY}&=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\1_{GX}&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\end{aligned}}}$.

Nótese que denota el funtor identidad en la categoría , denota la transformación natural identidad del funtor F a sí mismo, y denota el morfismo identidad del objeto FY . ${\displaystyle 1_{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle 1_{F}}$ ${\displaystyle 1_{FY}}$

Diagrama de cuerdas para adjunción.

Estas ecuaciones son útiles para reducir las demostraciones sobre funtores adjuntos a manipulaciones algebraicas. A veces se las llama identidades triangulares o, a veces, ecuaciones en zigzag debido a la apariencia de los diagramas de cuerdas correspondientes . Una forma de recordarlas es escribir primero la ecuación sin sentido y luego completar F o G de una de las dos formas simples que definen las composiciones. ${\displaystyle 1=\varepsilon \circ \eta }$

Nota: El uso del prefijo "co" en counit aquí no es consistente con la terminología de límites y colímites, porque un colímite satisface una propiedad inicial mientras que los morfismos counit satisfarán propiedades terminales , y dualmente. El término unidad aquí se toma prestado de la teoría de mónadas donde parece la inserción de la identidad 1 en un monoide.

Historia

La idea de los funtores adjuntos fue introducida por Daniel Kan en 1958. ^[2] Como muchos de los conceptos de la teoría de categorías, fue sugerida por las necesidades del álgebra homológica , que en ese momento se dedicaba a los cálculos. Aquellos que se enfrentaban a dar presentaciones ordenadas y sistemáticas del tema habrían notado relaciones como

hom( F ( X ), Y ) = hom( X , G ( Y ))

en la categoría de grupos abelianos , donde F era el funtor (es decir, tome el producto tensorial con A ), y G era el funtor hom( A ,–) (esto ahora se conoce como la adjunción tensorial-hom ). El uso del signo igual es un abuso de notación ; esos dos grupos no son realmente idénticos pero hay una forma de identificarlos que es natural . Se puede ver que es natural sobre la base, en primer lugar, de que estas son dos descripciones alternativas de las aplicaciones bilineales de X × A a Y. Esto es, sin embargo, algo particular del caso del producto tensorial. En la teoría de categorías, la 'naturalidad' de la biyección se subsume en el concepto de un isomorfismo natural . ${\displaystyle -\otimes A}$

Ejemplos

Grupos libres

La construcción de grupos libres es un ejemplo común y esclarecedor.

Sea F  : Set → Grp el funtor que asigna a cada conjunto Y el grupo libre generado por los elementos de Y , y sea G  : Grp → Set el funtor olvidadizo , que asigna a cada grupo X su conjunto subyacente. Entonces F es adjunto izquierdo de G :

Morfismos iniciales. Para cada conjunto Y , el conjunto GFY es simplemente el conjunto subyacente del grupo libre FY generado por Y .     Sea la función de conjunto dada por "inclusión de generadores". Este es un morfismo inicial de Y a G , porque cualquier función de conjunto de Y al conjunto subyacente GW de algún grupo W se factorizará     a través de un homomorfismo de grupo único de FY a W . Esta es precisamente la propiedad universal del grupo libre en Y . ${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to GFY}$ ${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to GFY}$

Morfismos terminales. Para cada grupo X , el grupo FGX es el grupo libre generado libremente por GX , los elementos de X .     Sea el homomorfismo de grupo que envía los generadores de FGX a los elementos de X a los que corresponden, lo cual existe por la propiedad universal de los grupos libres. Entonces cada uno     es un morfismo terminal de F a X , porque cualquier homomorfismo de grupo de un grupo libre FZ a X se factorizará a     través de una función de conjunto única de Z a GX . Esto significa que ( F , G ) es un par adjunto. ${\displaystyle \varepsilon _{X}:FGX\to X}$ ${\displaystyle (GX,\varepsilon _{X})}$ ${\displaystyle \varepsilon _{X}:FGX\to X}$

Adjunción de hom-conjunto. Los homomorfismos de grupo del grupo libre FY a un grupo X corresponden precisamente a funciones del conjunto Y al conjunto GX : cada homomorfismo de FY a X está completamente determinado por su acción sobre los generadores, otra reafirmación de la propiedad universal de los grupos libres. Se puede verificar directamente que esta correspondencia es una transformación natural, lo que significa que es una adjunción de hom-conjunto para el par ( F , G ).

Adjunto counit-unit. También se puede verificar directamente que ε y η son naturales. Entonces, una verificación directa de que forman un adjunto counit-unit     es la siguiente: ${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$

La primera ecuación de conteo-unidad     dice que para cada conjunto Y la composición ${\displaystyle 1_{F}=\varepsilon F\circ F\eta }$

${\displaystyle FY{\xrightarrow {\;F(\eta _{Y})\;}}FGFY{\xrightarrow {\;\varepsilon _{FY}\,}}FY}$

debería ser la identidad. El grupo intermedio FGFY es el grupo libre generado libremente por las palabras del grupo libre FY . (Piense en estas palabras como colocadas entre paréntesis para indicar que son generadores independientes). La flecha     es el homomorfismo de grupo de FY en FGFY enviando cada generador y de FY a la palabra correspondiente de longitud uno ( y ) como generador de FGFY . La flecha     es el homomorfismo de grupo de FGFY a FY enviando cada generador a la palabra de FY a la que corresponde (por lo que este mapa está "eliminando paréntesis"). La composición de estos mapas es de hecho la identidad en FY . ${\displaystyle F(\eta _{Y})}$ ${\displaystyle \varepsilon _{FY}}$

La segunda ecuación de recuento-unidad     dice que para cada grupo X la composición ${\displaystyle 1_{G}=G\varepsilon \circ \eta G}$

  ${\displaystyle GX{\xrightarrow {\;\eta _{GX}\;}}GFGX{\xrightarrow {\;G(\varepsilon _{X})\,}}GX}$ 

debería ser la identidad. El conjunto intermedio GFGX es simplemente el conjunto subyacente de FGX . La flecha     es la función de "inclusión de generadores" del conjunto GX al conjunto GFGX . La flecha     es la función de GFGX a GX , que subyace al homomorfismo de grupo que envía cada generador de FGX al elemento de X al que corresponde ("eliminando paréntesis"). La composición de estas funciones es, de hecho, la identidad en GX . ${\displaystyle \eta _{GX}}$ ${\displaystyle G(\varepsilon _{X})}$

Construcciones libres y funtores olvidadizos

Los objetos libres son todos ejemplos de un adjunto izquierdo a un funtor olvidadizo , que asigna a un objeto algebraico su conjunto subyacente. Estos funtores libres algebraicos tienen generalmente la misma descripción que en la descripción detallada de la situación del grupo libre anterior.

Funciones diagonales y límites

Los productos , los productos fibrosos , los ecualizadores y los núcleos son ejemplos de la noción categórica de un límite . Cualquier funtor límite es adjunto por la derecha a un funtor diagonal correspondiente (siempre que la categoría tenga el tipo de límites en cuestión), y la counidad de la adjuntación proporciona las funciones definitorias del objeto límite (es decir, del funtor diagonal en el límite, en la categoría del funtor). A continuación se presentan algunos ejemplos específicos.

• Productos Sea Π : Grp ² → Grp el funtor que asigna a cada par ( X ₁ , X ₂ ) el grupo de productos X ₁ × X ₂ , y sea Δ : Grp → Grp ² el funtor diagonal que asigna a cada grupo X el par ( X , X ) en la categoría de productos Grp ² . La propiedad universal del grupo de productos muestra que Π es adjunto por la derecha a Δ. La unidad de esta adjunción es el par definitorio de funciones de proyección de X ₁ × X ₂ a X ₁ y X ₂ que definen el límite, y la unidad es la inclusión diagonal de un grupo X en X × X (asignando x a (x,x)).

El producto cartesiano de conjuntos , el producto de anillos, el producto de espacios topológicos , etc. siguen el mismo patrón; también se puede extender de manera directa a más de dos factores. En términos más generales, cualquier tipo de límite es adjunto por la derecha de un funtor diagonal.

• Núcleos. Considérese la categoría D de homomorfismos de grupos abelianos. Si f ₁  : A ₁ → B ₁ y f ₂  : A ₂ → B ₂ son dos objetos de D , entonces un morfismo de f ₁ a f ₂ es un par ( g _A , g _B ) de morfismos tales que g _B f ₁ = f ₂ g _A . Sea G  : D → Ab el funtor que asigna a cada homomorfismo su núcleo y sea F  : Ab → D el funtor que asigna el grupo A al homomorfismo A → 0. Entonces G es adjunto derecho a F , lo que expresa la propiedad universal de los núcleos. La counidad de esta adjunción es la incrustación definitoria del núcleo de un homomorfismo en el dominio del homomorfismo, y la unidad es el morfismo que identifica a un grupo A con el núcleo del homomorfismo A → 0.

Una variante adecuada de este ejemplo también muestra que los funtores de núcleo para espacios vectoriales y módulos son adjuntos por la derecha. Análogamente, se puede demostrar que los funtores de co-núcleo para grupos abelianos, espacios vectoriales y módulos son adjuntos por la izquierda.

Colímites y funtores diagonales

Los coproductos , coproductos fibrosos , coecualizadores y conúcleos son ejemplos de la noción categórica de un colimite . Cualquier funtor colimite es adjunto a la izquierda de un funtor diagonal correspondiente (siempre que la categoría tenga el tipo de colimites en cuestión), y la unidad del adjunto proporciona las aplicaciones definitorias en el objeto colimite. A continuación se presentan algunos ejemplos específicos.

• Coproductos. Si F  : Ab ² → Ab asigna a cada par ( X ₁ , X ₂ ) de grupos abelianos su suma directa , y si G  : Ab → Ab ² es el funtor que asigna a cada grupo abeliano Y el par ( Y , Y ), entonces F es adjunto izquierdo a G , nuevamente una consecuencia de la propiedad universal de las sumas directas. La unidad de este par adjunto es el par definitorio de funciones de inclusión de X ₁ y X ₂ en la suma directa, y la counit es la función aditiva de la suma directa de ( X , X ) a X nuevamente (enviando un elemento ( a , b ) de la suma directa al elemento a + b de X ).

Ejemplos análogos los dan la suma directa de espacios vectoriales y módulos , el producto libre de grupos y la unión disjunta de conjuntos.

Más ejemplos

Álgebra

• Adjuntar una identidad a un rng . Este ejemplo se analizó en la sección de motivación anterior. Dado un rng R , se puede agregar un elemento de identidad multiplicativo tomando R x Z y definiendo un producto Z -bilineal con (r,0)(0,1) = (0,1)(r,0) = (r,0), (r,0)(s,0) = (rs,0), ​​(0,1)(0,1) = (0,1). Esto construye un adjunto izquierdo al funtor que lleva un anillo al rng subyacente.
• Adjuntar una identidad a un semigrupo . De manera similar, dado un semigrupo S , podemos agregar un elemento identidad y obtener un monoide tomando la unión disjunta S {1} y definiendo una operación binaria sobre ella de manera que extienda la operación sobre S y 1 sea un elemento identidad. Esta construcción da un funtor que es un adjunto izquierdo al funtor que toma un monoide al semigrupo subyacente. ${\displaystyle \sqcup }$
• Extensiones de anillos. Supóngase que R y S son anillos, y ρ : R → S es un homomorfismo de anillos . Entonces S puede verse como un R -módulo (izquierdo), y el producto tensorial con S produce un funtor F  : R - Mod → S - Mod . Entonces F es adjunto izquierdo al funtor olvidadizo G  : S - Mod → R - Mod .
• Productos tensoriales . Si R es un anillo y M es un R -módulo derecho, entonces el producto tensorial con M produce un funtor F  : R - Mod → Ab . El funtor G  : Ab → R - Mod , definido por G ( A ) = hom _Z ( M , A ) para cada grupo abeliano A , es un adjunto derecho de F .
• De monoides y grupos a anillos. La construcción de anillo monoide integral da un funtor de monoides a anillos. Este funtor es adjunto por la izquierda del funtor que asocia a un anillo dado su monoide multiplicativo subyacente. De manera similar, la construcción de anillo de grupo integral produce un funtor de grupos a anillos, adjunto por la izquierda del funtor que asigna a un anillo dado su grupo de unidades . También se puede empezar con un cuerpo K y considerar la categoría de K - álgebras en lugar de la categoría de anillos, para obtener el monoide y los anillos de grupo sobre K .
• Cuerpo de fracciones. Consideremos la categoría Dom _m de dominios integrales con morfismos inyectivos. El funtor olvidadizo Campo → Dom _m de los campos tiene un adjunto izquierdo: asigna a cada dominio integral su cuerpo de fracciones .
• Anillos polinómicos . Sea Ring _* la categoría de anillos conmutativos puntiagudos con unidad (pares (A,a) donde A es un anillo, a ∈ A y los morfismos conservan los elementos distinguidos). El funtor olvidadizo G: Ring _* → Ring tiene un adjunto izquierdo: asigna a cada anillo R el par (R[x],x) donde R[x] es el anillo polinómico con coeficientes de R.
• Abelianización . Considérese el funtor de inclusión G  : Ab → Grp de la categoría de grupos abelianos a la categoría de grupos . Tiene un adjunto izquierdo llamado abelianización que asigna a cada grupo G el grupo cociente G ^ab = G /[ G , G ].
• El grupo de Grothendieck . En la teoría K , el punto de partida es observar que la categoría de fibrados vectoriales en un espacio topológico tiene una estructura monoide conmutativa bajo suma directa . Se puede hacer un grupo abeliano a partir de este monoide, el grupo de Grothendieck , añadiendo formalmente un inverso aditivo para cada fibrado (o clase de equivalencia). Alternativamente, se puede observar que el funtor que para cada grupo toma el monoide subyacente (ignorando las inversas) tiene un adjunto izquierdo. Esta es una construcción de una vez por todas, en línea con la discusión de la tercera sección anterior. Es decir, se puede imitar la construcción de números negativos ; pero existe la otra opción de un teorema de existencia . Para el caso de estructuras algebraicas finitarias, la existencia por sí misma puede referirse al álgebra universal o teoría de modelos ; naturalmente, también hay una prueba adaptada a la teoría de categorías.
• Reciprocidad de Frobenius en la teoría de la representación de grupos : véase representación inducida . Este ejemplo prefiguró la teoría general en aproximadamente medio siglo.

Topología

• Un funtor con un adjunto izquierdo y uno derecho. Sea G el funtor de espacios topológicos a conjuntos que asocia a cada espacio topológico su conjunto subyacente (olvidando la topología, claro está). G tiene un adjunto izquierdo F , que crea el espacio discreto en un conjunto Y , y un adjunto derecho H que crea la topología trivial en Y .
• Suspensiones y espacios de bucles. Dados los espacios topológicos X e Y , el espacio [ SX , Y ] de clases de homotopía de aplicaciones de la suspensión SX de X a Y es naturalmente isomorfo al espacio [ X , Ω Y ] de clases de homotopía de aplicaciones de X al espacio de bucles Ω Y de Y . Por lo tanto, el funtor de suspensión es adjunto por la izquierda al funtor del espacio de bucles en la categoría de homotopía , un hecho importante en la teoría de la homotopía .
• Compactificación de Stone–Čech. Sea KHaus la categoría de los espacios compactos de Hausdorff y G  : KHaus → Top el funtor de inclusión de la categoría de los espacios topológicos . Entonces G tiene un adjunto izquierdo F  : Top → KHaus , la compactificación de Stone–Čech . La unidad de este par de adjuntos produce una función continua de cada espacio topológico X en su compactificación de Stone–Čech.
• Imágenes directas e inversas de haces. Toda función continua f  : X → Y entre espacios topológicos induce un funtor f _∗ de la categoría de haces (de conjuntos, o grupos abelianos, o anillos...) en X a la categoría correspondiente de haces en Y , el funtor imagen directa . También induce un funtor f ⁻¹ de la categoría de haces de grupos abelianos en Y a la categoría de haces de grupos abelianos en X , el funtor imagen inversa . f ⁻¹ es adjunto izquierdo de f _∗ . Aquí un punto más sutil es que el adjunto izquierdo para haces coherentes será diferente del de haces (de conjuntos).
• Soberificación. El artículo sobre la dualidad de Stone describe una adjunción entre la categoría de espacios topológicos y la categoría de espacios sobrios que se conoce como soberificación. Cabe destacar que el artículo también contiene una descripción detallada de otra adjunción que prepara el camino para la famosa dualidad de espacios sobrios y lugares espaciales, explotada en la topología sin sentido .

Poses

Todo conjunto parcialmente ordenado puede considerarse una categoría (donde los elementos del conjunto parcial se convierten en los objetos de la categoría y tenemos un único morfismo de x a y si y solo si x ≤ y ). Un par de funtores adjuntos entre dos conjuntos parcialmente ordenados se denomina conexión de Galois (o, si es contravariante, conexión de Galois antítona ). Véase ese artículo para ver una serie de ejemplos: el caso de la teoría de Galois, por supuesto, es uno de los principales. Cualquier conexión de Galois da lugar a operadores de clausura y a biyecciones inversas que preservan el orden entre los elementos cerrados correspondientes.

Como sucede con los grupos de Galois, el verdadero interés suele estar en refinar una correspondencia con una dualidad (es decir, isomorfismo de orden antitónico ). Un tratamiento de la teoría de Galois en esta línea por parte de Kaplansky influyó en el reconocimiento de la estructura general en este caso.

El caso de orden parcial colapsa las definiciones de adjunción de manera bastante notable, pero puede proporcionar varios temas:

• Las adjunciones pueden no ser dualidades o isomorfismos, pero son candidatas para ascender a ese estado.
• Los operadores de cierre pueden indicar la presencia de adjuntos, como mónadas correspondientes (cf. los axiomas de cierre de Kuratowski )
• Un comentario muy general de William Lawvere ^[3] es que la sintaxis y la semántica son adjuntas: tomemos C como el conjunto de todas las teorías lógicas (axiomatizaciones), y D como el conjunto potencia del conjunto de todas las estructuras matemáticas. Para una teoría T en C , sea G ( T ) el conjunto de todas las estructuras que satisfacen los axiomas T ; para un conjunto de estructuras matemáticas S , sea F ( S ) la axiomatización mínima de S . Podemos decir entonces que S es un subconjunto de G ( T ) si y sólo si F ( S ) implica lógicamente T : el "funtor semántico" G es adjunto derecho al "funtor sintáctico" F .
• La división es (en general) el intento de invertir la multiplicación, pero en situaciones donde esto no es posible, a menudo intentamos construir un adjunto en su lugar: el cociente ideal es adjunto a la multiplicación por ideales de anillo , y la implicación en lógica proposicional es adjunta a la conjunción lógica .

Teoría de categorías

• Equivalencias. Si F  : D → C es una equivalencia de categorías , entonces tenemos una equivalencia inversa G  : C → D , y los dos funtores F y G forman un par adjunto. La unidad y el counit son isomorfismos naturales en este caso.
• Una serie de adjunciones. El funtor π ₀ que asigna a una categoría su conjunto de componentes conexos es adjunto por la izquierda del funtor D que asigna a un conjunto la categoría discreta de ese conjunto. Además, D es adjunto por la izquierda del funtor objeto U que asigna a cada categoría su conjunto de objetos, y finalmente U es adjunto por la izquierda de A que asigna a cada conjunto la categoría indiscreta ^[4] de ese conjunto.
• Objeto exponencial . En una categoría cartesiana cerrada, el endofuntor C → C dado por –× A tiene un adjunto derecho – ^A . Este par se conoce a menudo como currificación y descurrificación; en muchos casos especiales, también son continuos y forman un homeomorfismo.

Lógica categórica

• Cuantificación. Si es un predicado unario que expresa alguna propiedad, entonces una teoría de conjuntos suficientemente fuerte puede demostrar la existencia del conjunto de términos que satisfacen la propiedad. Un subconjunto propio y la inyección asociada de en se caracteriza por un predicado que expresa una propiedad estrictamente más restrictiva. ${\displaystyle \phi _{Y}}$ ${\displaystyle Y=\{y\mid \phi _{Y}(y)\}}$ ${\displaystyle T\subset Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \phi _{T}(y)=\phi _{Y}(y)\land \varphi (y)}$

El papel de los cuantificadores en la lógica de predicados consiste en formar proposiciones y también expresar predicados sofisticados cerrando fórmulas con posiblemente más variables. Por ejemplo, considere un predicado con dos variables abiertas de sort y . Al usar un cuantificador para cerrar , podemos formar el conjunto ${\displaystyle \psi _{f}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \{y\in Y\mid \exists x.\,\psi _{f}(x,y)\land \phi _{S}(x)\}}$

de todos los elementos de para los cuales hay un con el cual está -relacionado, y que a su vez se caracteriza por la propiedad . Las operaciones de teoría de conjuntos como la intersección de dos conjuntos corresponden directamente a la conjunción de predicados. En lógica categórica , un subcampo de la teoría de topos , los cuantificadores se identifican con adjuntos al funtor de pullback. Tal realización se puede ver en analogía con la discusión de la lógica proposicional usando la teoría de conjuntos, pero la definición general hace que la gama de lógicas sea más rica. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \psi _{f}}$ ${\displaystyle \phi _{S}}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \land }$

Consideremos entonces un objeto en una categoría con pullbacks. Cualquier morfismo induce un funtor. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle f^{*}:{\text{Sub}}(Y)\longrightarrow {\text{Sub}}(X)}$

en la categoría que es el preorden de los subobjetos . Asigna subobjetos de (técnicamente: clases de monomorfismo de ) al pullback . Si este funtor tiene un adjunto izquierdo o derecho, se denominan y , respectivamente. ^[5] Ambos se asignan de atrás hacia adelante a . De manera muy aproximada, dado un dominio para cuantificar una relación expresada mediante over, el funtor/cuantificador cierra y devuelve el subconjunto especificado de . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T\to Y}$ ${\displaystyle X\times _{Y}T}$ ${\displaystyle \exists _{f}}$ ${\displaystyle \forall _{f}}$ ${\displaystyle {\text{Sub}}(X)}$ ${\displaystyle {\text{Sub}}(Y)}$ ${\displaystyle S\subset X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times _{Y}T}$ ${\displaystyle Y}$

Ejemplo : En , la categoría de conjuntos y funciones, los subobjetos canónicos son el subconjunto (o más bien sus inyecciones canónicas). La retirada de una inyección de un subconjunto en a lo largo se caracteriza como el conjunto más grande que conoce todo acerca de y la inyección de en . Por lo tanto, resulta ser (en biyección con) la imagen inversa de . ${\displaystyle \operatorname {Set} }$ ${\displaystyle f^{*}T=X\times _{Y}T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}[T]\subseteq X}$

Para , averigüemos el adjunto izquierdo, que se define mediante ${\displaystyle S\subseteq X}$

${\displaystyle {\operatorname {Hom} }(\exists _{f}S,T)\cong {\operatorname {Hom} }(S,f^{*}T),}$

Lo cual aquí simplemente significa

${\displaystyle \exists _{f}S\subseteq T\leftrightarrow S\subseteq f^{-1}[T]}$.

Consideremos . Vemos . Por el contrario, si para un también tenemos , entonces claramente . Por lo tanto implica . Concluimos que el adjunto izquierdo del funtor imagen inversa está dado por la imagen directa. Aquí hay una caracterización de este resultado, que coincide más con la interpretación lógica: La imagen de debajo es el conjunto completo de , tal que no está vacío. Esto funciona porque ignora exactamente aquellos que están en el complemento de . Por lo tanto ${\displaystyle f[S]\subseteq T}$ ${\displaystyle S\subseteq f^{-1}[f[S]]\subseteq f^{-1}[T]}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle x\in f^{-1}[T]}$ ${\displaystyle f(x)\in T}$ ${\displaystyle S\subseteq f^{-1}[T]}$ ${\displaystyle f[S]\subseteq T}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \exists _{f}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f^{-1}[\{y\}]\cap S}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f[S]}$

${\displaystyle \exists _{f}S=\{y\in Y\mid \exists (x\in f^{-1}[\{y\}]).\,x\in S\;\}=f[S].}$

Pongamos esto en analogía con nuestra motivación . ${\displaystyle \{y\in Y\mid \exists x.\,\psi _{f}(x,y)\land \phi _{S}(x)\}}$

El adjunto derecho del funtor de imagen inversa se da (sin hacer el cálculo aquí) por

${\displaystyle \forall _{f}S=\{y\in Y\mid \forall (x\in f^{-1}[\{y\}]).\,x\in S\;\}.}$

El subconjunto de se caracteriza como el conjunto completo de con la propiedad de que la imagen inversa de con respecto a está completamente contenida dentro de . Nótese que el predicado que determina el conjunto es el mismo que el anterior, excepto que se reemplaza por . ${\displaystyle \forall _{f}S}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \{y\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle \forall }$

Véase también powerset .

Probabilidad

El hecho gemelo en probabilidad puede entenderse como una adjunción: que la expectativa conmuta con la transformada afín, y que la expectativa es en cierto sentido la mejor solución al problema de encontrar una aproximación de valor real a una distribución de números reales.

Defina una categoría basada en , donde los objetos sean los números reales y los morfismos sean "funciones afines evaluadas en un punto". Es decir, para cualquier función afín y cualquier número real , defina un morfismo . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (r,f):r\to f(r)}$

Defina una categoría basada en , el conjunto de distribuciones de probabilidad en con esperanza finita. Defina los morfismos en como "funciones afines evaluadas en una distribución". Es decir, para cualquier función afín y cualquier , defina un morfismo . ${\displaystyle M(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ ${\displaystyle \mu \in M(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle (\mu ,f):\mu \to \mu \circ f^{-1}}$

Entonces, la medida delta de Dirac define un funtor: , y la expectativa define otro funtor , y son adjuntos: . (De manera un tanto desconcertante, es el adjunto izquierdo, aunque es "olvidadizo" y es "libre"). ${\displaystyle \delta :x\mapsto \delta _{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} :\mu \mapsto \mathbb {E} [\mu ]}$ ${\displaystyle \mathbb {E} \dashv \delta }$ ${\displaystyle \mathbb {E} }$ ${\displaystyle \mathbb {E} }$ ${\displaystyle \delta }$

Adjuntos en su totalidad

Existen por tanto numerosos funtores y transformaciones naturales asociados a cada adjunción, y sólo una pequeña parte es suficiente para determinar el resto.

Una adición entre las categorías C y D consiste en

• Un funtor F  : D → C llamado adjunto izquierdo
• Un funtor G  : C → D llamado adjunto derecho
• Un isomorfismo natural Φ : hom _C ( F –,–) → hom _D (–, G –)
• Una transformación natural ε : FG → 1 _C llamada conteo
• Una transformación natural η : 1 _D → GF llamada unidad

Una formulación equivalente, donde X denota cualquier objeto de C e Y denota cualquier objeto de D , es la siguiente:

Para cada C -morfismo f  : FY → X , existe un D -morfismo único Φ _{Y , X} ( f ) = g  : Y → GX tal que los diagramas siguientes conmutan, y para cada D -morfismo g  : Y → GX , existe un C -morfismo único Φ ⁻¹ _{Y , X} ( g ) = f  : FY → X en C tal que los diagramas siguientes conmutan:

De esta afirmación se puede extraer que:

• Las transformaciones ε, η y Φ están relacionadas por las ecuaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}f=\Phi _{Y,X}^{-1}(g)&=\varepsilon _{X}\circ F(g)&\in &\,\,\mathrm {hom} _{C}(F(Y),X)\\g=\Phi _{Y,X}(f)&=G(f)\circ \eta _{Y}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{D}(Y,G(X))\\\Phi _{GX,X}^{-1}(1_{GX})&=\varepsilon _{X}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{C}(FG(X),X)\\\Phi _{Y,FY}(1_{FY})&=\eta _{Y}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{D}(Y,GF(Y))\\\end{aligned}}}$

• Las transformaciones ε, η satisfacen las ecuaciones unidad-unidad.

${\displaystyle {\begin{aligned}1_{FY}&=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\1_{GX}&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\end{aligned}}}$

• Cada par ( GX , ε _X ) es un morfismo terminal de F a X en C
• Cada par ( FY , η _Y ) es un morfismo inicial de Y a G en D

En particular, las ecuaciones anteriores permiten definir Φ, ε y η en términos de cualquiera de los tres. Sin embargo, los funtores adjuntos F y G por sí solos no son suficientes en general para determinar la adjunción. La equivalencia de estas situaciones se demuestra a continuación.

Los morfismos universales inducen la adjunción de hom-set

Dado un funtor adjunto derecho G  : C → D ; en el sentido de morfismos iniciales, se puede construir la adjunción hom-set inducida realizando los siguientes pasos.

• Construya un funtor F  : D → C y una transformación natural η.
  • Para cada objeto Y en D , elija un morfismo inicial ( F ( Y ), η _Y ) de Y a G , de modo que η _Y  : Y → G ( F ( Y )). Tenemos la función de F sobre los objetos y la familia de morfismos η .
  • Para cada f  : Y ₀ → Y ₁ , como ( F ( Y ₀ ), η _{Y 0} ) es un morfismo inicial, entonces factorizamos η _{Y 1} o f con η _{Y 0} y obtenemos F ( f ) : F ( Y ₀ ) → F ( Y ₁ ). Esta es la función de F sobre morfismos.
  • El diagrama de conmutación de esa factorización implica el diagrama de conmutación de transformaciones naturales, por lo que η : 1 _D → G o F es una transformación natural .
  • La unicidad de esa factorización y que G sea un funtor implica que la función de F en morfismos preserva composiciones e identidades.
• Construya un isomorfismo natural Φ : hom _C ( F -,-) → hom _D (-, G -).
  • Para cada objeto X en C , cada objeto Y en D , como ( F ( Y ), η _Y ) es un morfismo inicial, entonces Φ _{Y , X} es una biyección, donde Φ _{Y , X} ( f  : F ( Y ) → X ) = G ( f ) o η _Y .
  • η es una transformación natural, G es un funtor, entonces para cualquier objeto X ₀ , X ₁ en C , cualquier objeto Y ₀ , Y ₁ en D , cualquier x  : X ₀ → X ₁ , cualquier y  : Y ₁ → Y ₀ , tenemos Φ _{Y 1 , X 1} ( x o f o F ( y )) = G(x) o G ( f ) o G ( F ( y )) o η _{Y 1} = G ( x ) o G ( f ) o η _{Y 0} o y = G ( x ) o Φ _{Y 0 , X 0} ( f ) o y , y entonces Φ es natural en ambos argumentos.

Un argumento similar permite construir una adjunción de conjunto hom a partir de los morfismos terminales a un funtor adjunto izquierdo. (La construcción que comienza con un adjunto derecho es ligeramente más común, ya que el adjunto derecho en muchos pares de adjuntos es una inclusión definida trivialmente o un funtor olvidadizo).

La adjunción counit-unit induce la adjunción hom-set

Dados los funtores F  : D → C , G  : C → D , y una adjunción counit-unit (ε, η) : F G , podemos construir una adjunción hom-conjunto encontrando la transformación natural Φ : hom _C ( F -,-) → hom _D (-, G -) en los siguientes pasos: ${\displaystyle \dashv }$

• Para cada f  : FY → X y cada g  : Y → GX , definir

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Psi _{Y,X}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}}$

Las transformaciones Φ y Ψ son naturales porque η y ε son naturales.

• Utilizando, en orden, que F es un funtor, que ε es natural y la ecuación counit-unit 1 _FY = ε _FY o F (η _Y ), obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi \Phi f&=\varepsilon _{X}\circ FG(f)\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ 1_{FY}=f\end{aligned}}}$

Por lo tanto, ΨΦ es la transformación identidad.

• Dualmente, usando que G es un funtor, que η es natural y la ecuación counit-unit 1 _GX = G (ε _X ) o η _GX , obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi \Psi g&=G(\varepsilon _{X})\circ GF(g)\circ \eta _{Y}\\&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\circ g\\&=1_{GX}\circ g=g\end{aligned}}}$

Por lo tanto, ΦΨ es la transformación identidad. Por lo tanto, Φ es un isomorfismo natural con inverso Φ ⁻¹ = Ψ.

La adjunción de Hom-set induce todo lo anterior

Dados los funtores F  : D → C , G  : C → D y una adjunción de hom-conjunto Φ : hom _C ( F -,-) → hom _D (-, G -), se puede construir una adjunción de counit-unit

${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$ ,

que define familias de morfismos iniciales y terminales, en los siguientes pasos:

• Sea     para cada X en C , donde     es el morfismo identidad. ${\displaystyle \varepsilon _{X}=\Phi _{GX,X}^{-1}(1_{GX})\in \mathrm {hom} _{C}(FGX,X)}$ ${\displaystyle 1_{GX}\in \mathrm {hom} _{D}(GX,GX)}$
• Sea     para cada Y en D , donde     es el morfismo identidad. ${\displaystyle \eta _{Y}=\Phi _{Y,FY}(1_{FY})\in \mathrm {hom} _{D}(Y,GFY)}$ ${\displaystyle 1_{FY}\in \mathrm {hom} _{C}(FY,FY)}$
• La biyectividad y naturalidad de Φ implican que cada ( GX , ε _X ) es un morfismo terminal de F a X en C , y cada ( FY , η _Y ) es un morfismo inicial de Y a G en D .
• La naturalidad de Φ implica la naturalidad de ε y η, y las dos fórmulas

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Phi _{Y,X}^{-1}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}}$

para cada f : FY → X y g : Y → GX (que determinan completamente Φ).

• Sustituyendo FY por X y η _Y = Φ _{Y , FY} (1 _FY ) por g en la segunda fórmula se obtiene la primera ecuación de conteo-unidad

${\displaystyle 1_{FY}=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})}$,

y sustituyendo GX por Y y ε _X = Φ ⁻¹ _{GX, X} (1 _GX ) por f en la primera fórmula se obtiene la segunda ecuación de conteo-unidad

${\displaystyle 1_{GX}=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}}$.

Propiedades

Existencia

No todo funtor G  : C → D admite un adjunto izquierdo. Si C es una categoría completa , entonces los funtores con adjuntos izquierdos pueden caracterizarse por el teorema del funtor adjunto de Peter J. Freyd : G tiene un adjunto izquierdo si y sólo si es continuo y se satisface una cierta condición de pequeñez: para cada objeto Y de D existe una familia de morfismos

f _i  : Y → G ( X _i )

donde los índices i provienen de un conjunto I , no de una clase propia , tal que cada morfismo

h  : Y → G ( X )

se puede escribir como

h = G ( t ) ∘ f _i

para algún i en I y algún morfismo

t  : Xi → X ∈ C ._​

Una afirmación análoga caracteriza a aquellos funtores con un adjunto derecho.

Un caso especial importante es el de las categorías localmente presentables . Si es un funtor entre categorías localmente presentables, entonces ${\displaystyle F:C\to D}$

• F tiene un adjunto derecho si y sólo si F conserva colímites pequeños
• F tiene un adjunto izquierdo si y solo si F conserva límites pequeños y es un funtor accesible

Unicidad

Si el funtor F  : D → C tiene dos adjuntos derechos G y G ′, entonces G y G ′ son naturalmente isomorfos . Lo mismo es cierto para los adjuntos izquierdos.

Por el contrario, si F es adjunto por izquierda a G , y G es naturalmente isomorfo a G ′ entonces F también es adjunto por izquierda a G ′. De manera más general, si 〈F , G , ε, η〉 es un adjunto (con unidad de cociente (ε,η)) y

σ : F → F ′

τ : G → G ′

son isomorfismos naturales entonces 〈F ′, G ′, ε′, η′〉 es una adjunción donde

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta '&=(\tau \ast \sigma )\circ \eta \\\varepsilon '&=\varepsilon \circ (\sigma ^{-1}\ast \tau ^{-1}).\end{aligned}}}$

Aquí se denota la composición vertical de las transformaciones naturales, y se denota la composición horizontal. ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \ast }$

Composición

Las adjunciones se pueden componer de manera natural. Específicamente, si 〈F , G , ε, η〉 es una adjunción entre C y D y 〈F ′, G ′, ε′, η′〉 es una adjunción entre D y E entonces el funtor

${\displaystyle F\circ F':E\rightarrow C}$

queda adjunto a

${\displaystyle G'\circ G:C\to E.}$

Más precisamente, existe una adjunción entre F F' y G' G con unidad y conteo dados respectivamente por las composiciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}&1_{\mathcal {E}}{\xrightarrow {\eta '}}G'F'{\xrightarrow {G'\eta F'}}G'GFF'\\&FF'G'G{\xrightarrow {F\varepsilon 'G}}FG{\xrightarrow {\varepsilon }}1_{\mathcal {C}}.\end{aligned}}}$

Esta nueva adjunción se llama composición de las dos adjunciones dadas.

Dado que también hay una manera natural de definir una adjunción de identidad entre una categoría C y ella misma, se puede entonces formar una categoría cuyos objetos son todos categorías pequeñas y cuyos morfismos son adjunciones.

Preservación de límites

La propiedad más importante de los adjuntos es su continuidad: todo funtor que tiene un adjunto izquierdo (y por lo tanto es un adjunto derecho) es continuo (es decir, conmuta con límites en el sentido teórico de categorías); todo funtor que tiene un adjunto derecho (y por lo tanto es un adjunto izquierdo) es cocontinuo (es decir, conmuta con colímites ).

Dado que muchas construcciones comunes en matemáticas son límites o colímites, esto proporciona una gran cantidad de información. Por ejemplo:

• la aplicación de un funtor adjunto derecho a un producto de objetos produce el producto de las imágenes;
• la aplicación de un funtor adjunto izquierdo a un coproducto de objetos produce el coproducto de las imágenes;
• todo funtor adjunto derecho entre dos categorías abelianas es exacto a la izquierda ;
• Todo funtor adjunto izquierdo entre dos categorías abelianas es exacto a la derecha .

Aditividad

Si C y D son categorías preaditivas y F  : D → C es un funtor aditivo con un adjunto derecho G  : C → D , entonces G también es un funtor aditivo y las biyecciones del conjunto hom

${\displaystyle \Phi _{Y,X}:\mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}$

son, de hecho, isomorfismos de grupos abelianos. Dualmente, si G es aditivo con un adjunto izquierdo F , entonces F también es aditivo.

Además, si tanto C como D son categorías aditivas (es decir, categorías preaditivas con todos los biproductos finitos ), entonces cualquier par de funtores adjuntos entre ellas son automáticamente aditivos.

Relaciones

Construcciones universales

Como se dijo anteriormente, una adjunción entre las categorías C y D da lugar a una familia de morfismos universales , uno para cada objeto en C y uno para cada objeto en D. Por el contrario, si existe un morfismo universal para un funtor G  : C → D de cada objeto de D , entonces G tiene un adjunto izquierdo.

Sin embargo, las construcciones universales son más generales que los funtores adjuntos: una construcción universal es como un problema de optimización; da lugar a un par adjunto si y sólo si este problema tiene una solución para cada objeto de D (equivalentemente, cada objeto de C ).

Equivalencias de categorías

Si un funtor F  : D → C es la mitad de una equivalencia de categorías , entonces es el adjunto izquierdo en una equivalencia adjunta de categorías, es decir, una adjuntación cuya unidad y counidad son isomorfismos.

Toda adjunción 〈F , G , ε, η〉 extiende una equivalencia de ciertas subcategorías. Definamos C ₁ como la subcategoría completa de C que consiste en aquellos objetos X de C para los cuales ε _X es un isomorfismo, y definamos D ₁ como la subcategoría completa de D que consiste en aquellos objetos Y de D para los cuales η _Y es un isomorfismo. Entonces F y G pueden restringirse a D ₁ y C ₁ y producir equivalencias inversas de estas subcategorías.

En cierto sentido, entonces, los adjuntos son inversos "generalizados". Nótese, sin embargo, que un inverso derecho de F (es decir, un funtor G tal que FG es naturalmente isomorfo a 1 _D ) no necesita ser un adjunto derecho (o izquierdo) de F . Los adjuntos generalizan inversos bilaterales .

Mónadas

Cada adjunción 〈F , G , ε, η〉 da lugar a una mónada asociada 〈T , η, μ〉 en la categoría D . El funtor

${\displaystyle T:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}}$

se da por T = GF . La unidad de la mónada

${\displaystyle \eta :1_{\mathcal {D}}\to T}$

es simplemente la unidad η de la transformación de la adjunción y la multiplicación

${\displaystyle \mu :T^{2}\to T\,}$

viene dado por μ = G ε F . Dualmente, la triple 〈FG , ε, F η G〉 define una comonada en C .

Toda mónada surge de alguna adjunción (de hecho, normalmente de muchas adjunciones) de la manera descrita anteriormente. Dos construcciones, llamadas la categoría de las álgebras de Eilenberg-Moore y la categoría de Kleisli, son dos soluciones extremales al problema de construir una adjunción que dé lugar a una mónada dada.

Notas

1. Baez, John C. (1996). "Álgebra de dimensiones superiores II: espacios de 2-Hilbert". arXiv : q-alg/9609018 .
2. Kan, Daniel M. (1958). "Funtores adjuntos" (PDF) . Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 87 (2): 294–329. doi : 10.2307/1993102 . JSTOR  1993102.
3. Lawvere, F. William , "Adjointness in foundations", Dialectica , 1969. La notación es diferente hoy en día; una introducción más sencilla por parte de Peter Smith en estas notas de clase, que también atribuyen el concepto al artículo citado.
4. "Categoría indiscreta". nLab .
5. Mac Lane, Saunders ; Moerdijk, Ieke (1992) Gavillas en geometría y lógica , Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4 Véase la página 58 

Referencias

• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Categorías abstractas y concretas. La alegría de los gatos (PDF) . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6.Zbl 0695.18001  .
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 5 (2.ª ed.). Springer-Verlag. ISBN. 0-387-98403-8.Zbl 0906.18001  .

Enlaces externos

• Lista de reproducción de adjunciones en YouTube : siete conferencias breves sobre adjunciones a cargo de Eugenia Cheng de The Catsters
• WildCats es un paquete de teoría de categorías para Mathematica . Manipulación y visualización de objetos, morfismos , categorías, funtores , transformaciones naturales y propiedades universales .