Espacio de Hilbert

Type of topological vector space

El estado de una cuerda vibrante se puede modelar como un punto en un espacio de Hilbert. La descomposición de una cuerda vibrante en sus vibraciones en armónicos distintos se da mediante la proyección del punto sobre los ejes de coordenadas en el espacio.

En matemáticas , los espacios de Hilbert (nombrados así por David Hilbert ) permiten que los métodos del álgebra lineal y el cálculo se generalicen desde espacios vectoriales euclidianos (de dimensión finita) a espacios que pueden ser de dimensión infinita . Los espacios de Hilbert surgen de forma natural y frecuente en matemáticas y física , típicamente como espacios de funciones . Formalmente, un espacio de Hilbert es un espacio vectorial equipado con un producto interno que induce una función de distancia para la cual el espacio es un espacio métrico completo . Un espacio de Hilbert es un caso especial de un espacio de Banach .

Los primeros espacios de Hilbert fueron estudiados desde este punto de vista en la primera década del siglo XX por David Hilbert , Erhard Schmidt y Frigyes Riesz . Son herramientas indispensables en las teorías de ecuaciones diferenciales parciales , mecánica cuántica , análisis de Fourier (que incluye aplicaciones al procesamiento de señales y transferencia de calor ) y teoría ergódica (que forma la base matemática de la termodinámica ). John von Neumann acuñó el término espacio de Hilbert para el concepto abstracto que subyace a muchas de estas diversas aplicaciones. El éxito de los métodos del espacio de Hilbert marcó el comienzo de una era muy fructífera para el análisis funcional . Aparte de los espacios vectoriales euclidianos clásicos, los ejemplos de espacios de Hilbert incluyen espacios de funciones integrables al cuadrado , espacios de secuencias , espacios de Sobolev que consisten en funciones generalizadas y espacios de Hardy de funciones holomorfas .

La intuición geométrica desempeña un papel importante en muchos aspectos de la teoría del espacio de Hilbert. En un espacio de Hilbert se cumplen los análogos exactos del teorema de Pitágoras y la ley del paralelogramo . En un nivel más profundo, la proyección perpendicular sobre un subespacio lineal desempeña un papel importante en los problemas de optimización y otros aspectos de la teoría. Un elemento de un espacio de Hilbert se puede especificar de forma única por sus coordenadas con respecto a una base ortonormal , en analogía con las coordenadas cartesianas en la geometría clásica. Cuando esta base es infinitamente numerable , permite identificar el espacio de Hilbert con el espacio de las secuencias infinitas que son sumables al cuadrado . Este último espacio se suele denominar en la literatura más antigua espacio de Hilbert.

Definición e ilustración

Ejemplo motivador: espacio vectorial euclidiano

Uno de los ejemplos más conocidos de un espacio de Hilbert es el espacio vectorial euclidiano que consta de vectores tridimensionales , denotados por R ³ , y equipados con el producto escalar . El producto escalar toma dos vectores x e y , y produce un número real x ⋅ y . Si x e y se representan en coordenadas cartesianas , entonces el producto escalar se define por $${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}\,.}$$

El producto escalar satisface las propiedades ^[1]

1. Es simétrico en x e y : x ⋅ y = y ⋅ x .
2. Es lineal en su primer argumento: ( a x ₁ + b x ₂ ) ⋅ y = a ( x ₁ ⋅ y ) + b ( x ₂ ⋅ y ) para cualquier escalar a , b , y vectores x ₁ , x ₂ , e y .
3. Es definida positiva : para todos los vectores x , x ⋅ x ≥ 0 , con igualdad si y sólo si x = 0 .

Una operación sobre pares de vectores que, como el producto escalar, satisface estas tres propiedades se conoce como producto interno (real) . Un espacio vectorial equipado con un producto interno de este tipo se conoce como espacio de producto interno (real) . Todo espacio de producto interno de dimensión finita es también un espacio de Hilbert. ^[2] La característica básica del producto escalar que lo conecta con la geometría euclidiana es que está relacionado tanto con la longitud (o norma ) de un vector, denotada ‖ x ‖ , como con el ángulo θ entre dos vectores x e y mediante la fórmula $${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|\,\cos \theta \,.}$$

Completitud significa que una serie de vectores (en azul) da como resultado un vector de desplazamiento neto bien definido (en naranja).

El cálculo multivariable en el espacio euclidiano se basa en la capacidad de calcular límites y de disponer de criterios útiles para concluir que existen límites. Una serie matemática formada por vectores en R ³ es absolutamente convergente siempre que la suma de las longitudes converja como una serie ordinaria de números reales: ^[3] $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\mathbf {x} _{n}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|\mathbf {x} _{k}\|<\infty \,.}$$

Al igual que una serie de escalares, una serie de vectores que converge absolutamente también converge a algún vector límite L en el espacio euclidiano, en el sentido de que $${\displaystyle {\Biggl \|}\mathbf {L} -\sum _{k=0}^{N}\mathbf {x} _{k}{\Biggr \|}\to 0\quad {\text{as }}N\to \infty \,.}$$

Esta propiedad expresa la completitud del espacio euclidiano: una serie que converge de manera absoluta también converge en el sentido ordinario.

Los espacios de Hilbert se utilizan a menudo para los números complejos . El plano complejo denotado por C está dotado de una noción de magnitud, el módulo complejo | z | , que se define como la raíz cuadrada del producto de z por su conjugado complejo : $${\displaystyle |z|^{2}=z{\overline {z}}\,.}$$

Si z = x + iy es una descomposición de z en sus partes real e imaginaria, entonces el módulo es la longitud bidimensional euclidiana habitual: $${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,.}$$

El producto interno de un par de números complejos z y w es el producto de z con el conjugado complejo de w : $${\displaystyle \langle z,w\rangle =z{\overline {w}}\,.}$$

Esto tiene un valor complejo. La parte real de ⟨ z , w ⟩ da el producto escalar euclidiano bidimensional habitual .

Un segundo ejemplo es el espacio C ² cuyos elementos son pares de números complejos z = ( z ₁ , z ₂ ) . Entonces el producto interno de z con otro vector de ese tipo w = ( w ₁ , w ₂ ) está dado por $${\displaystyle \langle z,w\rangle =z_{1}{\overline {w_{1}}}+z_{2}{\overline {w_{2}}}\,.}$$

La parte real de ⟨ z , w ⟩ es entonces el producto escalar euclidiano bidimensional. Este producto interno es simétrico hermítico , lo que significa que el resultado de intercambiar z y w es el conjugado complejo: $${\displaystyle \langle w,z\rangle ={\overline {\langle z,w\rangle }}\,.}$$

Definición

Un espacio de Hilbert es un espacio de producto interno real o complejo que también es un espacio métrico completo con respecto a la función de distancia inducida por el producto interno. ^[4]

Decir que un espacio vectorial complejo H es un espacio de producto interno complejo significa que existe un producto interno que asocia un número complejo a cada par de elementos de H que satisface las siguientes propiedades: ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle x,y}$

1. El producto interno es simétrico conjugado; es decir, el producto interno de un par de elementos es igual al conjugado complejo del producto interno de los elementos intercambiados: Es importante destacar que esto implica que es un número real. $${\displaystyle \langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}\,.}$$ ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$
2. El producto interno es lineal en su primer argumento ^{[nb 1]} . Para todos los números complejos y ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b,}$ $${\displaystyle \langle ax_{1}+bx_{2},y\rangle =a\langle x_{1},y\rangle +b\langle x_{2},y\rangle \,.}$$
3. El producto interno de un elemento consigo mismo es definido positivo : $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,x\rangle >0&\quad {\text{ if }}x\neq 0,\\\langle x,x\rangle =0&\quad {\text{ if }}x=0\,.\end{alignedat}}}$$

De las propiedades 1 y 2 se deduce que un producto interno complejo es antilineal , también llamado lineal conjugado , en su segundo argumento, lo que significa que $${\displaystyle \langle x,ay_{1}+by_{2}\rangle ={\bar {a}}\langle x,y_{1}\rangle +{\bar {b}}\langle x,y_{2}\rangle \,.}$$

Un espacio de producto interno real se define de la misma manera, excepto que H es un espacio vectorial real y el producto interno toma valores reales. Un producto interno de este tipo será una función bilineal y formará un sistema dual . ^[5] ${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$

La norma es la función de valor real y la distancia entre dos puntos en H se define en términos de la norma por $${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}\,,}$$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x,y}$ $${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|={\sqrt {\langle x-y,x-y\rangle }}\,.}$$

Que esta función sea una función de distancia significa, en primer lugar, que es simétrica en y, en segundo lugar, que la distancia entre y es cero, y, en caso contrario, la distancia entre y debe ser positiva, y, por último, que se cumple la desigualdad triangular , es decir, que la longitud de un cateto de un triángulo xyz no puede exceder la suma de las longitudes de los otros dos catetos: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\,.}$$

Esta última propiedad es, en última instancia, una consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz más fundamental , que se cumple con igualdad si y sólo si y son linealmente dependientes . $${\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|\|y\|}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Con una función de distancia definida de esta manera, cualquier espacio de producto interno es un espacio métrico , y a veces se lo conoce como espacio pre-Hilbert de Hausdorff . ^[6] Cualquier espacio pre-Hilbert que además sea un espacio completo es un espacio de Hilbert. ^[7]

La completitud de H se expresa utilizando una forma del criterio de Cauchy para sucesiones en H : un espacio pre-Hilbert H es completo si cada sucesión de Cauchy converge con respecto a esta norma a un elemento en el espacio. La completitud se puede caracterizar por la siguiente condición equivalente: si una serie de vectores converge absolutamente en el sentido de que entonces la serie converge en H , en el sentido de que las sumas parciales convergen a un elemento de H . ^[8] $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }u_{k}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|u_{k}\|<\infty \,,}$$

Como espacio normado completo, los espacios de Hilbert son por definición también espacios de Banach . Como tales, son espacios vectoriales topológicos , en los que nociones topológicas como la apertura y el cierre de subconjuntos están bien definidas . De especial importancia es la noción de un subespacio lineal cerrado de un espacio de Hilbert que, con el producto interno inducido por la restricción , también es completo (al ser un conjunto cerrado en un espacio métrico completo) y, por lo tanto, un espacio de Hilbert por derecho propio.

Segundo ejemplo: espacios de secuencia

El espacio de secuencias l ² consta de todas las secuencias infinitas z = ( z ₁ , z ₂ , …) de números complejos tales que la siguiente serie converge : ^[9] $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|z_{n}|^{2}}$$

El producto interno en l ² se define por: $${\displaystyle \langle \mathbf {z} ,\mathbf {w} \rangle =\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}{\overline {w_{n}}}\,,}$$

Esta segunda serie converge como consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la convergencia de la serie anterior.

La completitud del espacio se cumple siempre que, siempre que una serie de elementos de l ² converja absolutamente (en norma), entonces converja a un elemento de l ² . La prueba es básica en el análisis matemático y permite manipular series matemáticas de elementos del espacio con la misma facilidad que series de números complejos (o vectores en un espacio euclidiano de dimensión finita). ^[10]

Historia

David Hilbert

Antes del desarrollo de los espacios de Hilbert, los matemáticos y físicos conocían otras generalizaciones de los espacios euclidianos . En particular, la idea de un espacio lineal abstracto (espacio vectorial) había ganado cierta fuerza hacia finales del siglo XIX: ^[11] se trata de un espacio cuyos elementos pueden sumarse y multiplicarse por escalares (como números reales o complejos ) sin identificar necesariamente estos elementos con vectores "geométricos" , como los vectores de posición y momento en sistemas físicos. Otros objetos estudiados por los matemáticos a principios del siglo XX, en particular los espacios de sucesiones (incluidas las series ) y los espacios de funciones, ^[12] pueden considerarse naturalmente como espacios lineales. Las funciones, por ejemplo, pueden sumarse o multiplicarse por escalares constantes, y estas operaciones obedecen a las leyes algebraicas satisfechas por la adición y la multiplicación escalar de vectores espaciales.

En la primera década del siglo XX, se produjeron desarrollos paralelos que condujeron a la introducción de los espacios de Hilbert. El primero de ellos fue la observación, que surgió durante el estudio de las ecuaciones integrales de David Hilbert y Erhard Schmidt ^[13] , de que dos funciones de valor real integrables al cuadrado f y g en un intervalo [ a , b ] tienen un producto interno

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,\mathrm {d} x}$

que tiene muchas de las propiedades familiares del producto escalar euclidiano. En particular, la idea de una familia ortogonal de funciones tiene sentido. Schmidt explotó la similitud de este producto interno con el producto escalar habitual para demostrar un análogo de la descomposición espectral para un operador de la forma

${\displaystyle f(x)\mapsto \int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y}$

donde K es una función continua simétrica en x e y . La expansión de la función propia resultante expresa la función K como una serie de la forma

${\displaystyle K(x,y)=\sum _{n}\lambda _{n}\varphi _{n}(x)\varphi _{n}(y)}$

donde las funciones φ _n son ortogonales en el sentido de que ⟨ φ _n , φ _m ⟩ = 0 para todo n ≠ m . Los términos individuales de esta serie se denominan a veces soluciones de producto elementales. Sin embargo, hay expansiones de funciones propias que no convergen en un sentido adecuado a una función integrable al cuadrado: el ingrediente faltante, que asegura la convergencia, es la completitud. ^[14]

El segundo desarrollo fue la integral de Lebesgue , una alternativa a la integral de Riemann introducida por Henri Lebesgue en 1904. ^[15] La integral de Lebesgue hizo posible integrar una clase mucho más amplia de funciones. En 1907, Frigyes Riesz y Ernst Sigismund Fischer demostraron de forma independiente que el espacio L ² de funciones cuadradas integrables por Lebesgue es un espacio métrico completo . ^[16] Como consecuencia de la interacción entre geometría y completitud, los resultados del siglo XIX de Joseph Fourier , Friedrich Bessel y Marc-Antoine Parseval sobre series trigonométricas se trasladaron fácilmente a estos espacios más generales, dando como resultado un aparato geométrico y analítico ahora conocido habitualmente como el teorema de Riesz-Fischer . ^[17]

A principios del siglo XX se demostraron otros resultados básicos. Por ejemplo, el teorema de representación de Riesz fue establecido independientemente por Maurice Fréchet y Frigyes Riesz en 1907. ^[18] John von Neumann acuñó el término espacio de Hilbert abstracto en su trabajo sobre operadores hermíticos ilimitados . ^[19] Aunque otros matemáticos como Hermann Weyl y Norbert Wiener ya habían estudiado espacios de Hilbert particulares con gran detalle, a menudo desde un punto de vista motivado físicamente, von Neumann dio el primer tratamiento completo y axiomático de ellos. ^[20] Von Neumann los utilizó más tarde en su trabajo seminal sobre los fundamentos de la mecánica cuántica, ^[21] y en su trabajo continuado con Eugene Wigner . El nombre "espacio de Hilbert" fue adoptado pronto por otros, por ejemplo por Hermann Weyl en su libro sobre mecánica cuántica y la teoría de grupos. ^[22]

La importancia del concepto de espacio de Hilbert se subrayó con la comprensión de que ofrece una de las mejores formulaciones matemáticas de la mecánica cuántica . ^[23] En resumen, los estados de un sistema mecánico cuántico son vectores en un cierto espacio de Hilbert, los observables son operadores hermíticos en ese espacio, las simetrías del sistema son operadores unitarios y las mediciones son proyecciones ortogonales . La relación entre las simetrías mecánicas cuánticas y los operadores unitarios proporcionó un impulso para el desarrollo de la teoría de representación unitaria de grupos , iniciada en el trabajo de 1928 de Hermann Weyl. ^[22] Por otro lado, a principios de la década de 1930 quedó claro que la mecánica clásica puede describirse en términos del espacio de Hilbert ( mecánica clásica de Koopman-von Neumann ) y que ciertas propiedades de los sistemas dinámicos clásicos pueden analizarse utilizando técnicas del espacio de Hilbert en el marco de la teoría ergódica . ^[24]

El álgebra de observables en mecánica cuántica es naturalmente un álgebra de operadores definidos en un espacio de Hilbert, según la formulación de la mecánica matricial de la teoría cuántica de Werner Heisenberg . ^[25] Von Neumann comenzó a investigar las álgebras de operadores en la década de 1930, como anillos de operadores en un espacio de Hilbert. El tipo de álgebras estudiadas por von Neumann y sus contemporáneos ahora se conocen como álgebras de von Neumann . ^[26] En la década de 1940, Israel Gelfand , Mark Naimark e Irving Segal dieron una definición de un tipo de álgebras de operadores llamadas C*-álgebras que, por un lado, no hacían referencia a un espacio de Hilbert subyacente y, por otro, extrapolaban muchas de las características útiles de las álgebras de operadores que se habían estudiado previamente. El teorema espectral para operadores autoadjuntos en particular que subyace a gran parte de la teoría del espacio de Hilbert existente se generalizó a las C*-álgebras. ^[27] Estas técnicas son ahora básicas en el análisis armónico abstracto y la teoría de la representación.

Ejemplos

Espacios de Lebesgue

Los espacios de Lebesgue son espacios de funciones asociados a espacios de medida ( X , M , μ ) , donde X es un conjunto, M es una σ-álgebra de subconjuntos de X , y μ es una medida aditiva contable en M . Sea L ² ( X , μ ) el espacio de aquellas funciones medibles de valor complejo en X para las cuales la integral de Lebesgue del cuadrado del valor absoluto de la función es finita, es decir, para una función f en L ² ( X , μ ) , y donde las funciones se identifican si y solo si difieren solo en un conjunto de medida cero . $${\displaystyle \int _{X}|f|^{2}\mathrm {d} \mu <\infty \,,}$$

El producto interno de las funciones f y g en L ² ( X , μ ) se define entonces como o $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} \mu (t)}$$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}{\overline {f(t)}}g(t)\,\mathrm {d} \mu (t)\,,}$$

donde la segunda forma (conjugación del primer elemento) se encuentra comúnmente en la literatura de física teórica . Para f y g en L ² , la integral existe debido a la desigualdad de Cauchy-Schwarz, y define un producto interno en el espacio. Equipado con este producto interno, L ² es de hecho completo. ^[28] La integral de Lebesgue es esencial para asegurar la completitud: en dominios de números reales, por ejemplo, no hay suficientes funciones que sean integrables según Riemann . ^[29]

Los espacios de Lebesgue aparecen en muchos entornos naturales. Los espacios L ² ( R ) y L ² ([0,1]) de funciones integrables al cuadrado con respecto a la medida de Lebesgue en la línea real y el intervalo unitario, respectivamente, son dominios naturales en los que definir la transformada de Fourier y la serie de Fourier. En otras situaciones, la medida puede ser algo distinto de la medida de Lebesgue ordinaria en la línea real. Por ejemplo, si w es cualquier función medible positiva, el espacio de todas las funciones mesurables f en el intervalo [0, 1] que satisface se denomina espacio L 2 ponderado L $${\displaystyle \int _{0}^{1}{\bigl |}f(t){\bigr |}^{2}w(t)\,\mathrm {d} t<\infty }$$ ²
_semanas([0, 1]) , y w se denomina función de peso. El producto interno se define por $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{1}f(t){\overline {g(t)}}w(t)\,\mathrm {d} t\,.}$$

El espacio ponderado L²
_semanas([0, 1]) es idéntico al espacio de Hilbert L ² ([0, 1], μ ) donde la medida μ de un conjunto A medible según Lebesgue se define por $${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}w(t)\,\mathrm {d} t\,.}$$

Los espacios L ² ponderados como este se utilizan con frecuencia para estudiar polinomios ortogonales , porque diferentes familias de polinomios ortogonales son ortogonales con respecto a diferentes funciones de ponderación. ^[30]

Espacios de Sobolev

Los espacios de Sobolev , denotados por H ^s o W ^{s , 2} , son espacios de Hilbert. Se trata de un tipo especial de espacio funcional en el que se puede realizar la diferenciación , pero que (a diferencia de otros espacios de Banach como los espacios de Hölder ) admiten la estructura de un producto interno. Debido a que se permite la diferenciación, los espacios de Sobolev son un entorno conveniente para la teoría de ecuaciones diferenciales parciales . ^[31] También forman la base de la teoría de métodos directos en el cálculo de variaciones . ^[32]

Para s un entero no negativo y Ω ⊂ R ⁿ , el espacio de Sobolev H ^s (Ω) contiene L ² funciones cuyas derivadas débiles de orden hasta s también son L ² . El producto interno en H ^s (Ω) es donde el punto indica el producto escalar en el espacio euclidiano de las derivadas parciales de cada orden. Los espacios de Sobolev también se pueden definir cuando s no es un entero. $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\Omega }f(x){\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\Omega }Df(x)\cdot D{\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x+\cdots +\int _{\Omega }D^{s}f(x)\cdot D^{s}{\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x}$$

Los espacios de Sobolev también se estudian desde el punto de vista de la teoría espectral, basándose más específicamente en la estructura del espacio de Hilbert. Si Ω es un dominio adecuado, entonces se puede definir el espacio de Sobolev H ^s (Ω) como el espacio de potenciales de Bessel ; ^[33] aproximadamente, $${\displaystyle H^{s}(\Omega )=\left\{(1-\Delta )^{-s/2}f\mathrel {\Big |} f\in L^{2}(\Omega )\right\}\,.}$$

Aquí Δ es el laplaciano y (1 − Δ) ^{− s  / 2} se entiende en términos del teorema de mapeo espectral . Además de proporcionar una definición viable de espacios de Sobolev para s no enteros , esta definición también tiene propiedades particularmente deseables bajo la transformada de Fourier que la hacen ideal para el estudio de operadores pseudodiferenciales . Usando estos métodos en una variedad compacta de Riemann , uno puede obtener por ejemplo la descomposición de Hodge , que es la base de la teoría de Hodge . ^[34]

Espacios de funciones holomorfas

Espacios resistentes

Los espacios de Hardy son espacios funcionales, que surgen en el análisis complejo y el análisis armónico , cuyos elementos son ciertas funciones holomorfas en un dominio complejo. ^[35] Sea U el disco unitario en el plano complejo. Entonces el espacio de Hardy H ² ( U ) se define como el espacio de funciones holomorfas f en U tales que las medias

$${\displaystyle M_{r}(f)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|f{\bigl (}re^{i\theta }{\bigr )}\right|^{2}\,\mathrm {d} \theta }$$

permanecen acotados para r < 1. La norma en este espacio de Hardy está definida por $${\displaystyle \left\|f\right\|_{2}=\lim _{r\to 1}{\sqrt {M_{r}(f)}}\,.}$$

Los espacios de Hardy en el disco están relacionados con las series de Fourier. Una función f está en H ² ( U ) si y solo si donde $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{2}<\infty \,.}$$

Por lo tanto, H ² ( U ) consiste en aquellas funciones que son L ² en el círculo y cuyos coeficientes de Fourier de frecuencia negativos se desvanecen.

Espacios de Bergman

Los espacios de Bergman son otra familia de espacios de Hilbert de funciones holomorfas. ^[36] Sea D un conjunto abierto acotado en el plano complejo (o un espacio complejo de dimensiones superiores) y sea L ^{2, h} ( D ) el espacio de funciones holomorfas f en D que también están en L ² ( D ) en el sentido de que $${\displaystyle \|f\|^{2}=\int _{D}|f(z)|^{2}\,\mathrm {d} \mu (z)<\infty \,,}$$

donde la integral se toma con respecto a la medida de Lebesgue en D . Claramente L ^{2, h} ( D ) es un subespacio de L ² ( D ) ; de hecho, es un subespacio cerrado , y por lo tanto un espacio de Hilbert por derecho propio. Esto es una consecuencia de la estimación, válida en subconjuntos compactos K de D , que a su vez se sigue de la fórmula integral de Cauchy . Por lo tanto, la convergencia de una secuencia de funciones holomorfas en L ² ( D ) implica también convergencia compacta , y por lo tanto la función límite también es holomorfa. Otra consecuencia de esta desigualdad es que el funcional lineal que evalúa una función f en un punto de D es en realidad continuo en L ^{2, h} ( D ) . El teorema de representación de Riesz implica que el funcional de evaluación puede representarse como un elemento de L ^{2, h} ( D ) . Por lo tanto, para cada z ∈ D , existe una función η _z ∈ L ^{2, h} ( D ) tal que para todo f ∈ L ^{2, h} ( D ) . El integrando se conoce como núcleo de Bergman de D . Este núcleo integral satisface una propiedad de reproducción $${\displaystyle \sup _{z\in K}\left|f(z)\right|\leq C_{K}\left\|f\right\|_{2}\,,}$$ $${\displaystyle f(z)=\int _{D}f(\zeta ){\overline {\eta _{z}(\zeta )}}\,\mathrm {d} \mu (\zeta )}$$ $${\displaystyle K(\zeta ,z)={\overline {\eta _{z}(\zeta )}}}$$ $${\displaystyle f(z)=\int _{D}f(\zeta )K(\zeta ,z)\,\mathrm {d} \mu (\zeta )\,.}$$

Un espacio de Bergman es un ejemplo de un espacio de Hilbert con núcleo reproductor , que es un espacio de Hilbert de funciones junto con un núcleo K ( ζ , z ) que verifica una propiedad reproductora análoga a esta. El espacio de Hardy H ² ( D ) también admite un núcleo reproductor, conocido como núcleo de Szegő . ^[37] Los núcleos reproductores también son comunes en otras áreas de las matemáticas. Por ejemplo, en el análisis armónico , el núcleo de Poisson es un núcleo reproductor para el espacio de Hilbert de funciones armónicas integrables al cuadrado en la bola unitaria . Que este último sea un espacio de Hilbert es una consecuencia del teorema del valor medio para funciones armónicas.

Aplicaciones

Muchas de las aplicaciones de los espacios de Hilbert aprovechan el hecho de que estos permiten generalizar conceptos geométricos simples, como la proyección y el cambio de base, a partir de su configuración dimensional finita habitual. En particular, la teoría espectral de operadores lineales autoadjuntos continuos en un espacio de Hilbert generaliza la descomposición espectral habitual de una matriz , y esto suele desempeñar un papel importante en las aplicaciones de la teoría a otras áreas de las matemáticas y la física.

Teoría de Sturm-Liouville

Los armónicos de una cuerda vibrante. Estas son funciones propias de un problema de Sturm-Liouville asociado. Los valores propios 1, ⁠1/2⁠ , ⁠1/3⁠ , ... forman la serie armónica (musical) .

En la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias , se utilizan métodos espectrales en un espacio de Hilbert adecuado para estudiar el comportamiento de los valores propios y las funciones propias de las ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, el problema de Sturm-Liouville surge en el estudio de los armónicos de las ondas en una cuerda de violín o un tambor, y es un problema central en las ecuaciones diferenciales ordinarias . ^[38] El problema es una ecuación diferencial de la forma para una función desconocida y en un intervalo [ a , b ] , que satisface las condiciones de contorno homogéneas generales de Robin Las funciones p , q y w se dan de antemano, y el problema es encontrar la función y y las constantes λ para las que la ecuación tiene una solución. El problema solo tiene soluciones para ciertos valores de λ , llamados valores propios del sistema, y ​​esto es una consecuencia del teorema espectral para operadores compactos aplicado al operador integral definido por la función de Green para el sistema. Además, otra consecuencia de este resultado general es que los valores propios λ del sistema pueden ordenarse en una secuencia creciente que tiende al infinito. ^{[39] [nb 2]} $${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[p(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}\alpha y(a)+\alpha 'y'(a)&=0\\\beta y(b)+\beta 'y'(b)&=0\,.\end{cases}}}$$

Ecuaciones diferenciales parciales

Los espacios de Hilbert forman una herramienta básica en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales . ^[31] Para muchas clases de ecuaciones diferenciales parciales, como las ecuaciones elípticas lineales , es posible considerar una solución generalizada (conocida como solución débil ) ampliando la clase de funciones. Muchas formulaciones débiles involucran la clase de funciones de Sobolev , que es un espacio de Hilbert. Una formulación débil adecuada se reduce a un problema geométrico, el problema analítico de encontrar una solución o, a menudo lo que es más importante, demostrar que existe una solución y es única para datos de contorno dados. Para ecuaciones elípticas lineales, un resultado geométrico que asegura una solubilidad única para una gran clase de problemas es el teorema de Lax-Milgram . Esta estrategia forma el rudimento del método de Galerkin (un método de elementos finitos ) para la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales. ^[40]

Un ejemplo típico es la ecuación de Poisson −Δ u = g con condiciones de contorno de Dirichlet en un dominio acotado Ω en R ² . La formulación débil consiste en hallar una función u tal que, para todas las funciones continuamente diferenciables v en Ω que se anulan en el contorno: $${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v=\int _{\Omega }gv\,.}$$

Esto se puede reformular en términos del espacio de Hilbert H¹
₀(Ω) que consiste en funciones u tales que u , junto con sus derivadas parciales débiles, son integrables al cuadrado en Ω y se anulan en el límite. La cuestión se reduce entonces a encontrar u en este espacio tal que para todo v en este espacio $${\displaystyle a(u,v)=b(v)}$$

donde a es una forma bilineal continua y b es una funcional lineal continua , dadas respectivamente por $${\displaystyle a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v,\quad b(v)=\int _{\Omega }gv\,.}$$

Como la ecuación de Poisson es elíptica , se deduce de la desigualdad de Poincaré que la forma bilineal a es coercitiva . El teorema de Lax-Milgram asegura entonces la existencia y unicidad de las soluciones de esta ecuación. ^[41]

Los espacios de Hilbert permiten formular de forma similar muchas ecuaciones diferenciales parciales elípticas, y el teorema de Lax-Milgram es entonces una herramienta básica para su análisis. Con modificaciones adecuadas, se pueden aplicar técnicas similares a ecuaciones diferenciales parciales parabólicas y a ciertas ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas . ^[42]

Teoría ergódica

La trayectoria de una bola de billar en el estadio Bunimovich está descrita por un sistema dinámico ergódico .

El campo de la teoría ergódica es el estudio del comportamiento a largo plazo de los sistemas dinámicos caóticos . El caso protípico de un campo al que se aplica la teoría ergódica es la termodinámica , en la que, aunque el estado microscópico de un sistema es extremadamente complicado (es imposible entender el conjunto de colisiones individuales entre partículas de materia), el comportamiento promedio durante intervalos de tiempo suficientemente largos es manejable. Las leyes de la termodinámica son afirmaciones sobre dicho comportamiento promedio. En particular, una formulación de la ley cero de la termodinámica afirma que, en escalas de tiempo suficientemente largas, la única medición funcionalmente independiente que se puede hacer de un sistema termodinámico en equilibrio es su energía total, en forma de temperatura . ^[43]

Un sistema dinámico ergódico es aquel para el cual, aparte de la energía —medida por el hamiltoniano— no hay otras cantidades conservadas funcionalmente independientes en el espacio de fases . Más explícitamente, supongamos que la energía E es fija, y sea Ω _E el subconjunto del espacio de fases que consiste en todos los estados de energía E (una superficie de energía), y sea T _t el operador de evolución en el espacio de fases. El sistema dinámico es ergódico si cada función medible invariante en Ω _E es constante casi en todas partes . ^[44] Una función invariante f es aquella para la cual para todo w en Ω _E y todo tiempo t . El teorema de Liouville implica que existe una medida μ en la superficie de energía que es invariante bajo la traslación temporal . Como resultado, la traslación temporal es una transformación unitaria del espacio de Hilbert L ² (Ω _E , μ ) que consiste en funciones integrables al cuadrado en la superficie de energía Ω _E con respecto al producto interno $${\displaystyle f(T_{t}w)=f(w)}$$ $${\displaystyle \left\langle f,g\right\rangle _{L^{2}\left(\Omega _{E},\mu \right)}=\int _{E}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \mu \,.}$$

El teorema ergódico medio de von Neumann ^[24] establece lo siguiente:

• Si U _t es un semigrupo de un parámetro (fuertemente continuo) de operadores unitarios en un espacio de Hilbert H , y P es la proyección ortogonal sobre el espacio de puntos fijos comunes de U _t , { x ∈ H | U _t x = x , ∀ t > 0} , entonces $${\displaystyle Px=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}U_{t}x\,\mathrm {d} t\,.}$$

Para un sistema ergódico, el conjunto fijo de la evolución temporal consta únicamente de las funciones constantes, por lo que el teorema ergódico implica lo siguiente: ^[45] para cualquier función f ∈ L ² (Ω _E , μ ) , $${\displaystyle {\underset {T\to \infty }{L^{2}-\lim }}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(T_{t}w)\,\mathrm {d} t=\int _{\Omega _{E}}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)\,.}$$

Es decir, el promedio a largo plazo de un observable f es igual a su valor esperado sobre una superficie de energía.

Análisis de Fourier

Superposición de funciones base de ondas sinusoidales (abajo) para formar una onda de diente de sierra (arriba)

Armónicos esféricos , una base ortonormal para el espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado en la esfera, que se muestra graficada a lo largo de la dirección radial

Uno de los objetivos básicos del análisis de Fourier es descomponer una función en una combinación lineal (posiblemente infinita) de funciones base dadas: la serie de Fourier asociada . La serie de Fourier clásica asociada a una función f definida en el intervalo [0, 1] es una serie de la forma donde $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi in\theta }}$$ $${\displaystyle a_{n}=\int _{0}^{1}f(\theta )\;\!e^{-2\pi in\theta }\,\mathrm {d} \theta \,.}$$

En la figura se muestra el ejemplo de la suma de los primeros términos de una serie de Fourier para una función de diente de sierra. Las funciones base son ondas sinusoidales con longitudes de onda ⁠la/norte⁠ (para un entero n ) más corto que la longitud de onda λ del propio diente de sierra (excepto para n = 1 , laonda fundamental ).

Un problema importante en las series de Fourier clásicas es en qué sentido converge la serie de Fourier, si es que lo hace, a la función f . Los métodos del espacio de Hilbert proporcionan una posible respuesta a esta pregunta. ^[46] Las funciones e _n ( θ ) = e ^{2π inθ} forman una base ortogonal del espacio de Hilbert L ² ([0, 1]) . En consecuencia, cualquier función integrable al cuadrado puede expresarse como una serie $${\displaystyle f(\theta )=\sum _{n}a_{n}e_{n}(\theta )\,,\quad a_{n}=\langle f,e_{n}\rangle }$$

y, además, esta serie converge en el sentido del espacio de Hilbert (es decir, en la media L 2 ).

El problema también puede estudiarse desde el punto de vista abstracto: cada espacio de Hilbert tiene una base ortonormal , y cada elemento del espacio de Hilbert puede escribirse de forma única como una suma de múltiplos de estos elementos base. Los coeficientes que aparecen en estos elementos base a veces se conocen de forma abstracta como los coeficientes de Fourier del elemento del espacio. ^[47] La ​​abstracción es especialmente útil cuando es más natural utilizar diferentes funciones base para un espacio como L ² ([0, 1]) . En muchas circunstancias, es deseable no descomponer una función en funciones trigonométricas, sino más bien en polinomios ortogonales o wavelets , por ejemplo, ^[48] y en dimensiones superiores en armónicos esféricos . ^[49]

Por ejemplo, si e _n son funciones base ortonormales de L ² [0, 1] , entonces una función dada en L ² [0, 1] puede aproximarse como una combinación lineal finita ^[50]. $${\displaystyle f(x)\approx f_{n}(x)=a_{1}e_{1}(x)+a_{2}e_{2}(x)+\cdots +a_{n}e_{n}(x)\,.}$$

Los coeficientes { a _j } se seleccionan para hacer que la magnitud de la diferencia ‖ f − f _n ‖ ² sea lo más pequeña posible. Geométricamente, la mejor aproximación es la proyección ortogonal de f sobre el subespacio que consiste en todas las combinaciones lineales de { e _j } , y se puede calcular mediante ^[51] $${\displaystyle a_{j}=\int _{0}^{1}{\overline {e_{j}(x)}}f(x)\,\mathrm {d} x\,.}$$

Que esta fórmula minimice la diferencia ‖ f − f _n ‖ ² es una consecuencia de la desigualdad de Bessel y de la fórmula de Parseval.

En varias aplicaciones a problemas físicos, una función puede descomponerse en funciones propias físicamente significativas de un operador diferencial (típicamente el operador de Laplace ): esto forma la base para el estudio espectral de funciones, en referencia al espectro del operador diferencial. ^[52] Una aplicación física concreta involucra el problema de escuchar la forma de un tambor : dados los modos fundamentales de vibración que un parche de tambor es capaz de producir, ¿se puede inferir la forma del tambor mismo? ^[53] La formulación matemática de esta pregunta involucra los valores propios de Dirichlet de la ecuación de Laplace en el plano, que representan los modos fundamentales de vibración en analogía directa con los números enteros que representan los modos fundamentales de vibración de la cuerda del violín.

La teoría espectral también subyace a ciertos aspectos de la transformada de Fourier de una función. Mientras que el análisis de Fourier descompone una función definida en un conjunto compacto en el espectro discreto del laplaciano (que corresponde a las vibraciones de una cuerda de violín o un tambor), la transformada de Fourier de una función es la descomposición de una función definida en todo el espacio euclidiano en sus componentes en el espectro continuo del laplaciano. La transformada de Fourier también es geométrica, en un sentido que se precisa mediante el teorema de Plancherel , que afirma que es una isometría de un espacio de Hilbert (el "dominio del tiempo") con otro (el "dominio de la frecuencia"). Esta propiedad de isometría de la transformada de Fourier es un tema recurrente en el análisis armónico abstracto (ya que refleja la conservación de la energía para la transformada de Fourier continua), como lo demuestra, por ejemplo, el teorema de Plancherel para funciones esféricas que ocurren en el análisis armónico no conmutativo .

Mecánica cuántica

Los orbitales de un electrón en un átomo de hidrógeno son funciones propias de la energía .

En la formulación matemáticamente rigurosa de la mecánica cuántica , desarrollada por John von Neumann , ^[54] los estados posibles (más precisamente, los estados puros ) de un sistema mecánico cuántico están representados por vectores unitarios (llamados vectores de estado ) que residen en un espacio de Hilbert separable complejo, conocido como el espacio de estados , bien definido hasta un número complejo de norma 1 (el factor de fase ). En otras palabras, los estados posibles son puntos en la proyectivización de un espacio de Hilbert, usualmente llamado espacio proyectivo complejo . La naturaleza exacta de este espacio de Hilbert depende del sistema; por ejemplo, los estados de posición y momento para una sola partícula no relativista de espín cero es el espacio de todas las funciones integrables al cuadrado , mientras que los estados para el espín de un solo protón son elementos unitarios del espacio de Hilbert complejo bidimensional de espinores . Cada observable está representado por un operador lineal autoadjunto que actúa sobre el espacio de estados. Cada estado propio de un observable corresponde a un vector propio del operador, y el valor propio asociado corresponde al valor del observable en ese estado propio. ^[55]

El producto interno entre dos vectores de estado es un número complejo conocido como amplitud de probabilidad . Durante una medición ideal de un sistema mecánico cuántico, la probabilidad de que un sistema colapse desde un estado inicial dado a un estado propio particular está dada por el cuadrado del valor absoluto de las amplitudes de probabilidad entre los estados inicial y final. ^[56] Los posibles resultados de una medición son los valores propios del operador, lo que explica la elección de operadores autoadjuntos, ya que todos los valores propios deben ser reales. La distribución de probabilidad de un observable en un estado dado se puede encontrar calculando la descomposición espectral del operador correspondiente. ^[57]

En un sistema general, los estados no suelen ser puros, sino que se representan como mezclas estadísticas de estados puros o estados mixtos, dadas por matrices de densidad : operadores autoadjuntos de traza uno en un espacio de Hilbert. ^[58] Además, en el caso de los sistemas mecánicos cuánticos generales, los efectos de una única medición pueden influir en otras partes de un sistema de una manera que se describe en cambio mediante una medida con valor de operador positivo . Por lo tanto, la estructura tanto de los estados como de los observables en la teoría general es considerablemente más complicada que la idealización para los estados puros. ^[59]

Teoría de la probabilidad

En teoría de probabilidad , los espacios de Hilbert también tienen diversas aplicaciones. Aquí, un espacio de Hilbert fundamental es el espacio de variables aleatorias en un espacio de probabilidad dado , que tiene clase (primer y segundo momentos finitos ). Una operación común en estadística es la de centrar una variable aleatoria restando su esperanza . Por lo tanto, si es una variable aleatoria, entonces es su centrado. En la visión del espacio de Hilbert, esta es la proyección ortogonal de sobre el núcleo del operador de esperanza, que es un funcional lineal continuo en el espacio de Hilbert (de hecho, el producto interno con la variable aleatoria constante 1), y por lo tanto este núcleo es un subespacio cerrado. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X-E(X)}$ ${\displaystyle X}$

La esperanza condicional tiene una interpretación natural en el espacio de Hilbert. ^[60] Supóngase que se da un espacio de probabilidad, donde es un álgebra sigma en el conjunto , y es una medida de probabilidad en el espacio de medida . Si es un subálgebra sigma de , entonces la esperanza condicional es la proyección ortogonal de sobre el subespacio de que consiste en las funciones -medibles. Si la variable aleatoria en es independiente del álgebra sigma , entonces la esperanza condicional , es decir, su proyección sobre las funciones -medibles es constante. Equivalentemente, la proyección de su centrado es cero. ${\displaystyle (\Omega ,P,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle E[X|{\mathcal {F}}]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega ,P)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega ,P)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle E(X|{\mathcal {F}})=E(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

En particular, si dos variables aleatorias y (en ) son independientes, entonces las variables aleatorias centradas y son ortogonales. (Esto significa que las dos variables tienen covarianza cero: no están correlacionadas ). En ese caso, el teorema de Pitágoras en el núcleo del operador de expectativa implica que las varianzas de y satisfacen la identidad: a veces llamado teorema de Pitágoras de las estadísticas, y es importante en la regresión lineal . ^[61] Como lo expresa Stapleton (1995), "el análisis de varianza puede verse como la descomposición de la longitud al cuadrado de un vector en la suma de las longitudes al cuadrado de varios vectores, utilizando el Teorema de Pitágoras". ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega ,P)}$ ${\displaystyle X-E(X)}$ ${\displaystyle Y-E(Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle \operatorname {Var} (X+Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y),}$$

La teoría de las martingalas se puede formular en espacios de Hilbert. Una martingala en un espacio de Hilbert es una secuencia de elementos de un espacio de Hilbert tal que, para cada n , es la proyección ortogonal de sobre la envoltura lineal de . ^[62] Si son variables aleatorias, esto reproduce la definición habitual de una martingala (discreta): la esperanza de , condicionada a , es igual a . ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n+1}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{n+1}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$

Los espacios de Hilbert también se utilizan en los fundamentos del cálculo de Itô . ^{[63] A cualquier} martingala integrable al cuadrado , es posible asociar una norma de Hilbert en el espacio de clases de equivalencia de procesos progresivamente medibles con respecto a la martingala (usando la variación cuadrática de la martingala como medida). La integral de Itô se puede construir definiéndola primero para procesos simples y luego explotando su densidad en el espacio de Hilbert. Un resultado notable es entonces la isometría de Itô , que atestigua que para cualquier martingala M que tenga una medida de variación cuadrática , y cualquier proceso progresivamente medible H : siempre que la expectativa en el lado derecho sea finita. ${\displaystyle d\langle M\rangle _{t}}$ $${\displaystyle E\left[\left(\int _{0}^{t}H_{s}dM_{s}\right)^{2}\right]=E\left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}d\langle M\rangle _{s}\right]}$$

Una aplicación más profunda de los espacios de Hilbert que es especialmente importante en la teoría de los procesos gaussianos es un intento, debido a Leonard Gross y otros, de dar sentido a ciertas integrales formales sobre espacios de dimensión infinita como la integral de trayectoria de Feynman de la teoría cuántica de campos . El problema con una integral como esta es que no hay una medida de Lebesgue de dimensión infinita . La noción de un espacio de Wiener abstracto permite construir una medida en un espacio de Banach B que contiene un espacio de Hilbert H , llamado espacio de Cameron-Martin , como un subconjunto denso, a partir de una medida de conjunto cilíndrico finitamente aditiva en H. La medida resultante en B es contablemente aditiva e invariante bajo la traslación de elementos de H , y esto proporciona una forma matemáticamente rigurosa de pensar en la medida de Wiener como una medida gaussiana en el espacio de Sobolev . ^[64] ${\displaystyle H^{1}([0,\infty ))}$

Percepción del color

Cualquier color físico verdadero puede representarse mediante una combinación de colores espectrales puros . Como los colores físicos pueden estar compuestos por cualquier número de colores espectrales, el espacio de colores físicos puede representarse adecuadamente mediante un espacio de Hilbert sobre colores espectrales. Los humanos tienen tres tipos de células cónicas para la percepción del color, por lo que los colores perceptibles pueden representarse mediante un espacio euclidiano tridimensional. La correspondencia lineal de muchos a uno desde el espacio de Hilbert de colores físicos al espacio euclidiano de colores perceptibles por los humanos explica por qué los humanos pueden percibir muchos colores físicos distintos como idénticos (por ejemplo, luz amarilla pura frente a una mezcla de luz roja y verde, véase metamerismo ). ^{[65] [66]}

Propiedades

Identidad pitagórica

Dos vectores u y v en un espacio de Hilbert H son ortogonales cuando ⟨ u , v ⟩ = 0 . La notación para esto es u ⊥ v . De manera más general, cuando S es un subconjunto en H , la notación u ⊥ S significa que u es ortogonal a cada elemento de S .

Cuando u y v son ortogonales, se tiene $${\displaystyle \|u+v\|^{2}=\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,u\rangle +2\,\operatorname {Re} \langle u,v\rangle +\langle v,v\rangle =\|u\|^{2}+\|v\|^{2}\,.}$$

Por inducción sobre n , esto se extiende a cualquier familia u ₁ , ..., u _n de n vectores ortogonales, $${\displaystyle \left\|u_{1}+\cdots +u_{n}\right\|^{2}=\left\|u_{1}\right\|^{2}+\cdots +\left\|u_{n}\right\|^{2}.}$$

Mientras que la identidad pitagórica tal como se enuncia es válida en cualquier espacio de producto interno, se requiere completitud para la extensión de la identidad pitagórica a series. ^[67] Una serie Σ u _k de vectores ortogonales converge en H si y solo si la serie de cuadrados de normas converge, y además, la suma de una serie de vectores ortogonales es independiente del orden en el que se toma. $${\displaystyle {\Biggl \|}\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}{\Biggr \|}^{2}=\sum _{k=0}^{\infty }\left\|u_{k}\right\|^{2}\,.}$$

Identidad y polarización del paralelogramo

Geométricamente, la identidad del paralelogramo afirma que AC ² + BD ² = 2(AB ² + AD ² ) . En palabras, la suma de los cuadrados de las diagonales es el doble de la suma de los cuadrados de dos lados adyacentes.

Por definición, todo espacio de Hilbert es también un espacio de Banach . Además, en todo espacio de Hilbert se cumple la siguiente identidad de paralelogramo : ^[68] $${\displaystyle \|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2{\bigl (}\|u\|^{2}+\|v\|^{2}{\bigr )}\,.}$$

Por el contrario, cada espacio de Banach en el que se cumple la identidad del paralelogramo es un espacio de Hilbert, y el producto interno está determinado de forma única por la norma por la identidad de polarización . ^[69] Para espacios de Hilbert reales, la identidad de polarización es $${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}{\bigr )}\,.}$$

Para espacios de Hilbert complejos, es $${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}+i\|u+iv\|^{2}-i\|u-iv\|^{2}{\bigr )}\,.}$$

La ley del paralelogramo implica que cualquier espacio de Hilbert es un espacio de Banach uniformemente convexo . ^[70]

Mejor aproximación

En esta subsección se emplea el teorema de proyección de Hilbert . Si C es un subconjunto convexo cerrado no vacío de un espacio de Hilbert H y x es un punto en H , existe un único punto y ∈ C que minimiza la distancia entre x y los puntos en C , ^[71] $${\displaystyle y\in C\,,\quad \|x-y\|=\operatorname {dist} (x,C)=\min {\bigl \{}\|x-z\|\mathrel {\big |} z\in C{\bigr \}}\,.}$$

Esto es equivalente a decir que hay un punto con norma mínima en el conjunto convexo trasladado D = C − x . La prueba consiste en mostrar que toda secuencia minimizadora ( d _n ) ⊂ D es de Cauchy (usando la identidad del paralelogramo) y por lo tanto converge (usando completitud) a un punto en D que tiene norma mínima. De manera más general, esto se cumple en cualquier espacio de Banach uniformemente convexo. ^[72]

Cuando este resultado se aplica a un subespacio cerrado F de H , se puede demostrar que el punto y ∈ F más cercano a x se caracteriza por ^[73] $${\displaystyle y\in F\,,\quad x-y\perp F\,.}$$

Este punto y es la proyección ortogonal de x sobre F , y la función P _F  : x → y es lineal (véase Complementos y proyecciones ortogonales). Este resultado es especialmente significativo en matemáticas aplicadas , especialmente en análisis numérico , donde forma la base de los métodos de mínimos cuadrados . ^[74]

En particular, cuando F no es igual a H , se puede encontrar un vector v distinto de cero ortogonal a F (seleccionando x ∉ F y v = x − y ). Se obtiene un criterio muy útil al aplicar esta observación al subespacio cerrado F generado por un subconjunto S de H .

Un subconjunto S de H abarca un subespacio vectorial denso si (y sólo si) el vector 0 es el único vector v ∈ H ortogonal a S .

Dualidad

El espacio dual H * es el espacio de todas las funciones lineales continuas desde el espacio H hasta el cuerpo base. Lleva una norma natural, definida por Esta norma satisface la ley del paralelogramo , y por lo tanto el espacio dual es también un espacio de producto interno donde este producto interno puede definirse en términos de esta norma dual utilizando la identidad de polarización . El espacio dual también es completo, por lo que es un espacio de Hilbert por derecho propio. Si e _• = ( e _i ) _{i ∈ I} es una base ortonormal completa para H, entonces el producto interno en el espacio dual de cualesquiera dos es donde todos, excepto un número contable, de los términos en esta serie son cero. $${\displaystyle \|\varphi \|=\sup _{\|x\|=1,x\in H}|\varphi (x)|\,.}$$ ${\displaystyle f,g\in H^{*}}$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle _{H^{*}}=\sum _{i\in I}f(e_{i}){\overline {g(e_{i})}}}$$

El teorema de representación de Riesz proporciona una descripción conveniente del espacio dual. Para cada elemento u de H , existe un elemento único φ _u de H * , definido por donde además, $${\displaystyle \varphi _{u}(x)=\langle x,u\rangle }$$ ${\displaystyle \left\|\varphi _{u}\right\|=\left\|u\right\|.}$

El teorema de representación de Riesz establece que la función de H en H * definida por u ↦ φ _u es sobreyectiva , lo que hace que esta función sea un isomorfismo antilineal isométrico . ^[75] Por lo tanto, para cada elemento φ del dual H * existe uno y solo un u _φ en H tal que para todo x ∈ H . El producto interno en el espacio dual H * satisface $${\displaystyle \langle x,u_{\varphi }\rangle =\varphi (x)}$$ $${\displaystyle \langle \varphi ,\psi \rangle =\langle u_{\psi },u_{\varphi }\rangle \,.}$$

La inversión del orden en el lado derecho restablece la linealidad en φ a partir de la antilinealidad de u _φ . En el caso real, el isomorfismo antilineal de H a su dual es en realidad un isomorfismo, y por lo tanto los espacios de Hilbert reales son naturalmente isomorfos a sus propios duales.

El vector representativo u _φ se obtiene de la siguiente manera. Cuando φ ≠ 0 , el núcleo F = Ker( φ ) es un subespacio vectorial cerrado de H , no igual a H , por lo tanto existe un vector v distinto de cero ortogonal a F . El vector u es un múltiplo escalar adecuado λv de v . El requisito de que φ ( v ) = ⟨ v , u ⟩ produce $${\displaystyle u=\langle v,v\rangle ^{-1}\,{\overline {\varphi (v)}}\,v\,.}$$

Esta correspondencia φ ↔ u se explota mediante la notación bra–ket popular en física . ^[76] Es común en física asumir que el producto interno, denotado por ⟨ x | y ⟩ , es lineal por la derecha. El resultado ⟨ x | y ⟩ puede verse como la acción de la función lineal ⟨ x | (el bra ) sobre el vector | y ⟩ (el ket ). $${\displaystyle \langle x|y\rangle =\langle y,x\rangle \,.}$$

El teorema de representación de Riesz se basa fundamentalmente no sólo en la presencia de un producto interno, sino también en la completitud del espacio. De hecho, el teorema implica que el dual topológico de cualquier espacio de producto interno puede identificarse con su completitud. ^[77] Una consecuencia inmediata del teorema de representación de Riesz es también que un espacio de Hilbert H es reflexivo , lo que significa que la función natural de H en su espacio dual doble es un isomorfismo.

Secuencias débilmente convergentes

En un espacio de Hilbert H , una secuencia { x _n } es débilmente convergente a un vector x ∈ H cuando para cada v ∈ H . $${\displaystyle \lim _{n}\langle x_{n},v\rangle =\langle x,v\rangle }$$

Por ejemplo, cualquier secuencia ortonormal { f _n } converge débilmente a 0, como consecuencia de la desigualdad de Bessel. Toda secuencia débilmente convergente { x _n } está acotada, por el principio de acotación uniforme .

Por el contrario, toda sucesión acotada en un espacio de Hilbert admite subsecuencias débilmente convergentes ( teorema de Alaoglu ). ^[78] Este hecho puede utilizarse para demostrar resultados de minimización para funcionales convexos continuos , de la misma manera que se utiliza el teorema de Bolzano-Weierstrass para funciones continuas en R ^d . Entre varias variantes, una afirmación simple es la siguiente: ^[79]

Si f  : H → R es una función continua convexa tal que f ( x ) tiende a +∞ cuando ‖ x ‖ tiende a ∞ , entonces f admite un mínimo en algún punto x ₀ ∈ H .

Este hecho (y sus diversas generalizaciones) son fundamentales para los métodos directos en el cálculo de variaciones . Los resultados de minimización para funcionales convexos también son una consecuencia directa del hecho ligeramente más abstracto de que los subconjuntos convexos cerrados y acotados en un espacio de Hilbert H son débilmente compactos , ya que H es reflexivo. La existencia de subsecuencias débilmente convergentes es un caso especial del teorema de Eberlein-Šmulian .

Propiedades del espacio de Banach

Cualquier propiedad general de los espacios de Banach sigue siendo válida para los espacios de Hilbert. El teorema de aplicación abierta establece que una transformación lineal sobreyectiva continua de un espacio de Banach a otro es una aplicación abierta, lo que significa que envía conjuntos abiertos a conjuntos abiertos. Un corolario es el teorema inverso acotado , que una función lineal continua y biyectiva de un espacio de Banach a otro es un isomorfismo (es decir, una aplicación lineal continua cuya inversa también es continua). Este teorema es considerablemente más simple de demostrar en el caso de los espacios de Hilbert que en los espacios de Banach generales. ^[80] El teorema de aplicación abierta es equivalente al teorema del grafo cerrado , que afirma que una función lineal de un espacio de Banach a otro es continua si y solo si su grafo es un conjunto cerrado . ^[81] En el caso de los espacios de Hilbert, esto es básico en el estudio de operadores no acotados (véase operador cerrado ).

El teorema (geométrico) de Hahn-Banach afirma que un conjunto convexo cerrado puede separarse de cualquier punto exterior a él por medio de un hiperplano del espacio de Hilbert. Esta es una consecuencia inmediata de la propiedad de mejor aproximación: si y es el elemento de un conjunto convexo cerrado F más próximo a x , entonces el hiperplano de separación es el plano perpendicular al segmento xy que pasa por su punto medio. ^[82]

Operadores en espacios de Hilbert

Operadores acotados

Los operadores lineales continuos A  : H ₁ → H ₂ de un espacio de Hilbert H ₁ a un segundo espacio de Hilbert H ₂ están acotados en el sentido de que asignan conjuntos acotados a conjuntos acotados. ^[83] Por el contrario, si un operador está acotado, entonces es continuo. El espacio de tales operadores lineales acotados tiene una norma , la norma del operador dada por $${\displaystyle \lVert A\rVert =\sup {\bigl \{}\|Ax\|\mathrel {\big |} \|x\|\leq 1{\bigr \}}\,.}$$

La suma y la composición de dos operadores lineales acotados es a su vez acotada y lineal. Para y en H ₂ , la función que envía x ∈ H ₁ a ⟨ Ax , y ⟩ es lineal y continua, y según el teorema de representación de Riesz puede por tanto representarse en la forma para algún vector A * y en H ₁ . Esto define otro operador lineal acotado A * : H ₂ → H ₁ , el adjunto de A . El adjunto satisface A ** = A . Cuando se utiliza el teorema de representación de Riesz para identificar cada espacio de Hilbert con su espacio dual continuo, se puede demostrar que el adjunto de A es idéntico a la transpuesta ^t A  : H ₂ * → H ₁ * de A , que por definición envía al funcional $${\displaystyle \left\langle x,A^{*}y\right\rangle =\langle Ax,y\rangle }$$ ${\displaystyle \psi \in H_{2}^{*}}$ ${\displaystyle \psi \circ A\in H_{1}^{*}.}$

El conjunto B( H ) de todos los operadores lineales acotados en H (es decir, los operadores H → H ), junto con las operaciones de adición y composición, la norma y la operación adjunta, es una C*-álgebra , que es un tipo de álgebra de operadores .

Un elemento A de B( H ) se llama 'autoadjunto' o 'hermítico' si A * = A . Si A es hermítico y ⟨ Ax , x ⟩ ≥ 0 para cada x , entonces A se llama 'no negativo', escrito A ≥ 0 ; si la igualdad se cumple solo cuando x = 0 , entonces A se llama 'positivo'. El conjunto de operadores autoadjuntos admite un orden parcial , en el que A ≥ B si A − B ≥ 0 . Si A tiene la forma B * B para algún B , entonces A es no negativo; si B es invertible, entonces A es positivo. Una recíproca también es cierta en el sentido de que, para un operador no negativo A , existe una única raíz cuadrada no negativa B tal que $${\displaystyle A=B^{2}=B^{*}B\,.}$$

En un sentido precisado por el teorema espectral , los operadores autoadjuntos pueden considerarse de manera útil como operadores que son "reales". Un elemento A de B( H ) se llama normal si A * A = AA * . Los operadores normales se descomponen en la suma de un operador autoadjunto y un múltiplo imaginario de un operador autoadjunto que conmutan entre sí. Los operadores normales también pueden considerarse de manera útil en términos de sus partes reales e imaginarias. $${\displaystyle A={\frac {A+A^{*}}{2}}+i{\frac {A-A^{*}}{2i}}}$$

Un elemento U de B( H ) se llama unitario si U es invertible y su inverso está dado por U * . Esto también se puede expresar exigiendo que U sea sobre y ⟨ Ux , Uy ⟩ = ⟨ x , y ⟩ para todo x , y ∈ H . Los operadores unitarios forman un grupo bajo composición, que es el grupo de isometría de H .

Un elemento de B( H ) es compacto si envía conjuntos acotados a conjuntos relativamente compactos . De manera equivalente, un operador acotado T es compacto si, para cualquier secuencia acotada { x _k } , la secuencia { Tx _k } tiene una subsecuencia convergente. Muchos operadores integrales son compactos y, de hecho, definen una clase especial de operadores conocidos como operadores de Hilbert–Schmidt que son especialmente importantes en el estudio de ecuaciones integrales . Los operadores de Fredholm se diferencian de un operador compacto por un múltiplo de la identidad y se caracterizan de manera equivalente como operadores con un núcleo y conúcleo de dimensión finita . El índice de un operador de Fredholm T se define por $${\displaystyle \operatorname {index} T=\dim \ker T-\dim \operatorname {coker} T\,.}$$

El índice es invariante en homotopía y juega un papel importante en la geometría diferencial a través del teorema del índice de Atiyah-Singer .

Operadores ilimitados

Los operadores no acotados también son manejables en espacios de Hilbert y tienen aplicaciones importantes en la mecánica cuántica . ^[84] Un operador no acotado T en un espacio de Hilbert H se define como un operador lineal cuyo dominio D ( T ) es un subespacio lineal de H . A menudo, el dominio D ( T ) es un subespacio denso de H , en cuyo caso T se conoce como un operador densamente definido .

El operador adjunto de un operador ilimitado densamente definido se define esencialmente de la misma manera que para los operadores acotados. Los operadores ilimitados autoadjuntos desempeñan el papel de observables en la formulación matemática de la mecánica cuántica. Ejemplos de operadores ilimitados autoadjuntos en el espacio de Hilbert L ² ( R ) son: ^[85]

• Una extensión adecuada del operador diferencial donde i es la unidad imaginaria y f es una función diferenciable de soporte compacto. $${\displaystyle (Af)(x)=-i{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)\,,}$$
• El operador de multiplicación por x : $${\displaystyle (Bf)(x)=xf(x)\,.}$$

Estos corresponden a los observables de momento y posición , respectivamente. Ni A ni B están definidos en todo H , ya que en el caso de A no es necesario que exista la derivada, y en el caso de B la función producto no necesita ser integrable al cuadrado. En ambos casos, el conjunto de argumentos posibles forma subespacios densos de L ² ( R ) .

Construcciones

Sumas directas

Dos espacios de Hilbert H ₁ y H ₂ se pueden combinar en otro espacio de Hilbert, llamado suma directa (ortogonal) , ^[86] y denotado $${\displaystyle H_{1}\oplus H_{2}\,,}$$

que consiste en el conjunto de todos los pares ordenados ( x ₁ , x ₂ ) donde x _i ∈ H _i , i = 1, 2 y producto interno definido por $${\displaystyle {\bigl \langle }(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}){\bigr \rangle }_{H_{1}\oplus H_{2}}=\left\langle x_{1},y_{1}\right\rangle _{H_{1}}+\left\langle x_{2},y_{2}\right\rangle _{H_{2}}\,.}$$

De manera más general, si H _i es una familia de espacios de Hilbert indexados por i ∈ I , entonces la suma directa de H _i , denotada por consiste en el conjunto de todas las familias indexadas en el producto cartesiano de H _i tales que $${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}H_{i}}$$ $${\displaystyle x=(x_{i}\in H_{i}\mid i\in I)\in \prod _{i\in I}H_{i}}$$ $${\displaystyle \sum _{i\in I}\|x_{i}\|^{2}<\infty \,.}$$

El producto interno se define por $${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{i\in I}\left\langle x_{i},y_{i}\right\rangle _{H_{i}}\,.}$$

Cada uno de los H _i está incluido como un subespacio cerrado en la suma directa de todos los H _i . Además, los H _i son ortogonales entre sí. Por el contrario, si hay un sistema de subespacios cerrados, V _i , i ∈ I , en un espacio de Hilbert H , que son ortogonales entre sí y cuya unión es densa en H , entonces H es canónicamente isomorfo a la suma directa de V _i . En este caso, H se denomina suma directa interna de V _i . Una suma directa (interna o externa) también está equipada con una familia de proyecciones ortogonales E _i sobre el i ésimo sumando directo H _i . Estas proyecciones son operadores acotados, autoadjuntos e idempotentes que satisfacen la condición de ortogonalidad. $${\displaystyle E_{i}E_{j}=0,\quad i\neq j\,.}$$

El teorema espectral para operadores autoadjuntos compactos en un espacio de Hilbert H establece que H se descompone en una suma directa ortogonal de los espacios propios de un operador, y también da una descomposición explícita del operador como una suma de proyecciones sobre los espacios propios. La suma directa de los espacios de Hilbert también aparece en mecánica cuántica como el espacio de Fock de un sistema que contiene un número variable de partículas, donde cada espacio de Hilbert en la suma directa corresponde a un grado adicional de libertad para el sistema mecánico cuántico. En teoría de la representación , el teorema de Peter-Weyl garantiza que cualquier representación unitaria de un grupo compacto en un espacio de Hilbert se descompone como la suma directa de representaciones de dimensión finita.

Productos tensoriales

Si x ₁ , y ₁ ∊ H ₁ y x ₂ , y ₂ ∊ H ₂ , entonces se define un producto interno sobre el producto tensorial (ordinario) de la siguiente manera. Sobre tensores simples , sea $${\displaystyle \langle x_{1}\otimes x_{2},\,y_{1}\otimes y_{2}\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle \,\langle x_{2},y_{2}\rangle \,.}$$

Esta fórmula se extiende entonces por sesquilinealidad a un producto interno en H ₁ ⊗ H ₂ . El producto tensorial de Hilbert de H ₁ y H ₂ , a veces denotado por H ₁ H ₂ ${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$ , es el espacio de Hilbert obtenido al completar H ₁ ⊗ H ₂ para la métrica asociada a este producto interno. ^[87]

Un ejemplo lo proporciona el espacio de Hilbert L ² ([0, 1]) . El producto tensorial hilbertiano de dos copias de L ² ([0, 1]) es isométrico y linealmente isomorfo al espacio L ² ([0, 1] ² ) de funciones integrables al cuadrado en el cuadrado [0, 1] ² . Este isomorfismo envía un tensor simple f ₁ ⊗ f ₂ a la función en el cuadrado. $${\displaystyle (s,t)\mapsto f_{1}(s)\,f_{2}(t)}$$

Este ejemplo es típico en el siguiente sentido. ^[88] Asociado a cada producto tensorial simple x ₁ ⊗ x ₂ está el operador de rango uno de H^∗
₁a H _​​2 que mapea un x * ∈ H dado^∗
₁como $${\displaystyle x^{*}\mapsto x^{*}(x_{1})x_{2}\,.}$$

This mapping defined on simple tensors extends to a linear identification between H₁ ⊗ H₂ and the space of finite rank operators from H^∗
₁ to H₂. This extends to a linear isometry of the Hilbertian tensor product H₁ ${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$ H₂ with the Hilbert space HS(H^∗
₁, H₂) of Hilbert–Schmidt operators from H^∗
₁ to H₂.

Orthonormal bases

The notion of an orthonormal basis from linear algebra generalizes over to the case of Hilbert spaces.^[89] In a Hilbert space H, an orthonormal basis is a family {e_k}_{k ∈ B} of elements of H satisfying the conditions:

1. Orthogonality: Every two different elements of B are orthogonal: ⟨e_k, e_j⟩ = 0 for all k, j ∈ B with k ≠ j.
2. Normalization: Every element of the family has norm 1: ‖e_k‖ = 1 for all k ∈ B.
3. Completeness: The linear span of the family e_k, k ∈ B, is dense in H.

A system of vectors satisfying the first two conditions basis is called an orthonormal system or an orthonormal set (or an orthonormal sequence if B is countable). Such a system is always linearly independent.

Despite the name, an orthonormal basis is not, in general, a basis in the sense of linear algebra (Hamel basis). More precisely, an orthonormal basis is a Hamel basis if and only if the Hilbert space is a finite-dimensional vector space.^[90]

Completeness of an orthonormal system of vectors of a Hilbert space can be equivalently restated as:

for every v ∈ H, if ⟨v, e_k⟩ = 0 for all k ∈ B, then v = 0.

This is related to the fact that the only vector orthogonal to a dense linear subspace is the zero vector, for if S is any orthonormal set and v is orthogonal to S, then v is orthogonal to the closure of the linear span of S, which is the whole space.

Examples of orthonormal bases include:

• the set {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} forms an orthonormal basis of R³ with the dot product;
• the sequence { f_n | n ∈ Z} with f_n(x) = exp(2πinx) forms an orthonormal basis of the complex space L²([0, 1]);

In the infinite-dimensional case, an orthonormal basis will not be a basis in the sense of linear algebra; to distinguish the two, the latter basis is also called a Hamel basis. That the span of the basis vectors is dense implies that every vector in the space can be written as the sum of an infinite series, and the orthogonality implies that this decomposition is unique.

Sequence spaces

The space ${\displaystyle \ell _{2}}$ of square-summable sequences of complex numbers is the set of infinite sequences^[9] $${\displaystyle (c_{1},c_{2},c_{3},\dots )}$$of real or complex numbers such that $${\displaystyle \left|c_{1}\right|^{2}+\left|c_{2}\right|^{2}+\left|c_{3}\right|^{2}+\cdots <\infty \,.}$$

This space has an orthonormal basis: $${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=(1,0,0,\dots )\\e_{2}&=(0,1,0,\dots )\\&\ \ \vdots \end{aligned}}}$$

This space is the infinite-dimensional generalization of the ${\displaystyle \ell _{2}^{n}}$ space of finite-dimensional vectors. It is usually the first example used to show that in infinite-dimensional spaces, a set that is closed and bounded is not necessarily (sequentially) compact (as is the case in all finite dimensional spaces). Indeed, the set of orthonormal vectors above shows this: It is an infinite sequence of vectors in the unit ball (i.e., the ball of points with norm less than or equal one). This set is clearly bounded and closed; yet, no subsequence of these vectors converges to anything and consequently the unit ball in ${\displaystyle \ell _{2}}$ is not compact. Intuitively, this is because "there is always another coordinate direction" into which the next elements of the sequence can evade.

One can generalize the space ${\displaystyle \ell _{2}}$ in many ways. For example, if B is any set, then one can form a Hilbert space of sequences with index set B, defined by^[91] $${\displaystyle \ell ^{2}(B)={\biggl \{}x:B\xrightarrow {x} \mathbb {C} \mathrel {\bigg |} \sum _{b\in B}\left|x(b)\right|^{2}<\infty {\biggr \}}\,.}$$

The summation over B is here defined by $${\displaystyle \sum _{b\in B}\left|x(b)\right|^{2}=\sup \sum _{n=1}^{N}\left|x(b_{n})\right|^{2}}$$the supremum being taken over all finite subsets of B. It follows that, for this sum to be finite, every element of l²(B) has only countably many nonzero terms. This space becomes a Hilbert space with the inner product $${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{b\in B}x(b){\overline {y(b)}}}$$

for all x, y ∈ l²(B). Here the sum also has only countably many nonzero terms, and is unconditionally convergent by the Cauchy–Schwarz inequality.

An orthonormal basis of l²(B) is indexed by the set B, given by

$${\displaystyle e_{b}(b')={\begin{cases}1&{\text{if }}b=b'\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

Bessel's inequality and Parseval's formula

Let f₁, …, f_n be a finite orthonormal system in H. For an arbitrary vector x ∈ H, let $${\displaystyle y=\sum _{j=1}^{n}\langle x,f_{j}\rangle \,f_{j}\,.}$$

Then ⟨x, f_k⟩ = ⟨y, f_k⟩ for every k = 1, …, n. It follows that x − y is orthogonal to each f_k, hence x − y is orthogonal to y. Using the Pythagorean identity twice, it follows that $${\displaystyle \|x\|^{2}=\|x-y\|^{2}+\|y\|^{2}\geq \|y\|^{2}=\sum _{j=1}^{n}{\bigl |}\langle x,f_{j}\rangle {\bigr |}^{2}\,.}$$

Let {f_i}, i ∈ I, be an arbitrary orthonormal system in H. Applying the preceding inequality to every finite subset J of I gives Bessel's inequality:^[92] $${\displaystyle \sum _{i\in I}{\bigl |}\langle x,f_{i}\rangle {\bigr |}^{2}\leq \|x\|^{2},\quad x\in H}$$(according to the definition of the sum of an arbitrary family of non-negative real numbers).

Geometrically, Bessel's inequality implies that the orthogonal projection of x onto the linear subspace spanned by the f_i has norm that does not exceed that of x. In two dimensions, this is the assertion that the length of the leg of a right triangle may not exceed the length of the hypotenuse.

Bessel's inequality is a stepping stone to the stronger result called Parseval's identity, which governs the case when Bessel's inequality is actually an equality. By definition, if {e_k}_{k ∈ B} is an orthonormal basis of H, then every element x of H may be written as $${\displaystyle x=\sum _{k\in B}\left\langle x,e_{k}\right\rangle \,e_{k}\,.}$$

Even if B is uncountable, Bessel's inequality guarantees that the expression is well-defined and consists only of countably many nonzero terms. This sum is called the Fourier expansion of x, and the individual coefficients ⟨x, e_k⟩ are the Fourier coefficients of x. Parseval's identity then asserts that^[93] $${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{k\in B}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}\,.}$$

Conversely,^[93] if {e_k} is an orthonormal set such that Parseval's identity holds for every x, then {e_k} is an orthonormal basis.

Hilbert dimension

As a consequence of Zorn's lemma, every Hilbert space admits an orthonormal basis; furthermore, any two orthonormal bases of the same space have the same cardinality, called the Hilbert dimension of the space.^[94] For instance, since l²(B) has an orthonormal basis indexed by B, its Hilbert dimension is the cardinality of B (which may be a finite integer, or a countable or uncountable cardinal number).

The Hilbert dimension is not greater than the Hamel dimension (the usual dimension of a vector space). The two dimensions are equal if and only if one of them is finite.

As a consequence of Parseval's identity,^[95] if {e_k}_{k ∈ B} is an orthonormal basis of H, then the map Φ : H → l²(B) defined by Φ(x) = ⟨x, e_k⟩_k∈B is an isometric isomorphism of Hilbert spaces: it is a bijective linear mapping such that $${\displaystyle {\bigl \langle }\Phi (x),\Phi (y){\bigr \rangle }_{l^{2}(B)}=\left\langle x,y\right\rangle _{H}}$$for all x, y ∈ H. The cardinal number of B is the Hilbert dimension of H. Thus every Hilbert space is isometrically isomorphic to a sequence space l²(B) for some set B.

Separable spaces

By definition, a Hilbert space is separable provided it contains a dense countable subset. Along with Zorn's lemma, this means a Hilbert space is separable if and only if it admits a countable orthonormal basis. All infinite-dimensional separable Hilbert spaces are therefore isometrically isomorphic to the square-summable sequence space ${\displaystyle \ell ^{2}.}$

In the past, Hilbert spaces were often required to be separable as part of the definition.^[96]

In quantum field theory

Most spaces used in physics are separable, and since these are all isomorphic to each other, one often refers to any infinite-dimensional separable Hilbert space as "the Hilbert space" or just "Hilbert space".^[97] Even in quantum field theory, most of the Hilbert spaces are in fact separable, as stipulated by the Wightman axioms. However, it is sometimes argued that non-separable Hilbert spaces are also important in quantum field theory, roughly because the systems in the theory possess an infinite number of degrees of freedom and any infinite Hilbert tensor product (of spaces of dimension greater than one) is non-separable.^[98] For instance, a bosonic field can be naturally thought of as an element of a tensor product whose factors represent harmonic oscillators at each point of space. From this perspective, the natural state space of a boson might seem to be a non-separable space.^[98] However, it is only a small separable subspace of the full tensor product that can contain physically meaningful fields (on which the observables can be defined). Another non-separable Hilbert space models the state of an infinite collection of particles in an unbounded region of space. An orthonormal basis of the space is indexed by the density of the particles, a continuous parameter, and since the set of possible densities is uncountable, the basis is not countable.^[98]

Orthogonal complements and projections

If S is a subset of a Hilbert space H, the set of vectors orthogonal to S is defined by $${\displaystyle S^{\perp }=\left\{x\in H\mid \langle x,s\rangle =0\ {\text{ for all }}s\in S\right\}\,.}$$

The set S^⊥ is a closed subspace of H (can be proved easily using the linearity and continuity of the inner product) and so forms itself a Hilbert space. If V is a closed subspace of H, then V^⊥ is called the orthogonal complement of V. In fact, every x ∈ H can then be written uniquely as x = v + w, with v ∈ V and w ∈ V^⊥. Therefore, H is the internal Hilbert direct sum of V and V^⊥.

The linear operator P_V : H → H that maps x to v is called the orthogonal projection onto V. There is a natural one-to-one correspondence between the set of all closed subspaces of H and the set of all bounded self-adjoint operators P such that P² = P. Specifically,

Theorem — The orthogonal projection P_V is a self-adjoint linear operator on H of norm ≤ 1 with the property P²
_V = P_V. Moreover, any self-adjoint linear operator E such that E² = E is of the form P_V, where V is the range of E. For every x in H, P_V(x) is the unique element v of V that minimizes the distance ‖x − v‖.

This provides the geometrical interpretation of P_V(x): it is the best approximation to x by elements of V.^[99]

Projections P_U and P_V are called mutually orthogonal if P_UP_V = 0. This is equivalent to U and V being orthogonal as subspaces of H. The sum of the two projections P_U and P_V is a projection only if U and V are orthogonal to each other, and in that case P_U + P_V = P_U+V.^[100] The composite P_UP_V is generally not a projection; in fact, the composite is a projection if and only if the two projections commute, and in that case P_UP_V = P_U∩V.^[101]

By restricting the codomain to the Hilbert space V, the orthogonal projection P_V gives rise to a projection mapping π : H → V; it is the adjoint of the inclusion mapping $${\displaystyle i:V\to H\,,}$$meaning that $${\displaystyle \left\langle ix,y\right\rangle _{H}=\left\langle x,\pi y\right\rangle _{V}}$$for all x ∈ V and y ∈ H.

The operator norm of the orthogonal projection P_V onto a nonzero closed subspace V is equal to 1: $${\displaystyle \|P_{V}\|=\sup _{x\in H,x\neq 0}{\frac {\|P_{V}x\|}{\|x\|}}=1\,.}$$

Every closed subspace V of a Hilbert space is therefore the image of an operator P of norm one such that P² = P. The property of possessing appropriate projection operators characterizes Hilbert spaces:^[102]

• A Banach space of dimension higher than 2 is (isometrically) a Hilbert space if and only if, for every closed subspace V, there is an operator P_V of norm one whose image is V such that P²
  _V = P_V.

While this result characterizes the metric structure of a Hilbert space, the structure of a Hilbert space as a topological vector space can itself be characterized in terms of the presence of complementary subspaces:^[103]

• A Banach space X is topologically and linearly isomorphic to a Hilbert space if and only if, to every closed subspace V, there is a closed subspace W such that X is equal to the internal direct sum V ⊕ W.

The orthogonal complement satisfies some more elementary results. It is a monotone function in the sense that if U ⊂ V, then V^⊥ ⊆ U^⊥ with equality holding if and only if V is contained in the closure of U. This result is a special case of the Hahn–Banach theorem. The closure of a subspace can be completely characterized in terms of the orthogonal complement: if V is a subspace of H, then the closure of V is equal to V^⊥⊥. The orthogonal complement is thus a Galois connection on the partial order of subspaces of a Hilbert space. In general, the orthogonal complement of a sum of subspaces is the intersection of the orthogonal complements:^[104] $${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i}V_{i}{\biggr )}^{\perp }=\bigcap _{i}V_{i}^{\perp }\,.}$$

If the V_i are in addition closed, then $${\displaystyle {\overline {\sum _{i}V_{i}^{\perp }{\vphantom {\Big |}}}}={\biggl (}\bigcap _{i}V_{i}{\biggr )}^{\perp }\,.}$$

Spectral theory

There is a well-developed spectral theory for self-adjoint operators in a Hilbert space, that is roughly analogous to the study of symmetric matrices over the reals or self-adjoint matrices over the complex numbers.^[105] In the same sense, one can obtain a "diagonalization" of a self-adjoint operator as a suitable sum (actually an integral) of orthogonal projection operators.

The spectrum of an operator T, denoted σ(T), is the set of complex numbers λ such that T − λ lacks a continuous inverse. If T is bounded, then the spectrum is always a compact set in the complex plane, and lies inside the disc |z| ≤ ‖T‖. If T is self-adjoint, then the spectrum is real. In fact, it is contained in the interval [m, M] where $${\displaystyle m=\inf _{\|x\|=1}\langle Tx,x\rangle \,,\quad M=\sup _{\|x\|=1}\langle Tx,x\rangle \,.}$$

Moreover, m and M are both actually contained within the spectrum.

The eigenspaces of an operator T are given by $${\displaystyle H_{\lambda }=\ker(T-\lambda )\,.}$$

Unlike with finite matrices, not every element of the spectrum of T must be an eigenvalue: the linear operator T − λ may only lack an inverse because it is not surjective. Elements of the spectrum of an operator in the general sense are known as spectral values. Since spectral values need not be eigenvalues, the spectral decomposition is often more subtle than in finite dimensions.

However, the spectral theorem of a self-adjoint operator T takes a particularly simple form if, in addition, T is assumed to be a compact operator. The spectral theorem for compact self-adjoint operators states:^[106]

• A compact self-adjoint operator T has only countably (or finitely) many spectral values. The spectrum of T has no limit point in the complex plane except possibly zero. The eigenspaces of T decompose H into an orthogonal direct sum: $${\displaystyle H=\bigoplus _{\lambda \in \sigma (T)}H_{\lambda }\,.}$$ Moreover, if E_λ denotes the orthogonal projection onto the eigenspace H_λ, then $${\displaystyle T=\sum _{\lambda \in \sigma (T)}\lambda E_{\lambda }\,,}$$ where the sum converges with respect to the norm on B(H).

This theorem plays a fundamental role in the theory of integral equations, as many integral operators are compact, in particular those that arise from Hilbert–Schmidt operators.

The general spectral theorem for self-adjoint operators involves a kind of operator-valued Riemann–Stieltjes integral, rather than an infinite summation.^[107] The spectral family associated to T associates to each real number λ an operator E_λ, which is the projection onto the nullspace of the operator (T − λ)⁺, where the positive part of a self-adjoint operator is defined by $${\displaystyle A^{+}={\tfrac {1}{2}}{\Bigl (}{\sqrt {A^{2}}}+A{\Bigr )}\,.}$$

The operators E_λ are monotone increasing relative to the partial order defined on self-adjoint operators; the eigenvalues correspond precisely to the jump discontinuities. One has the spectral theorem, which asserts $${\displaystyle T=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,\mathrm {d} E_{\lambda }\,.}$$

The integral is understood as a Riemann–Stieltjes integral, convergent with respect to the norm on B(H). In particular, one has the ordinary scalar-valued integral representation $${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\int _{\mathbb {R} }\lambda \,\mathrm {d} \langle E_{\lambda }x,y\rangle \,.}$$

A somewhat similar spectral decomposition holds for normal operators, although because the spectrum may now contain non-real complex numbers, the operator-valued Stieltjes measure dE_λ must instead be replaced by a resolution of the identity.

A major application of spectral methods is the spectral mapping theorem, which allows one to apply to a self-adjoint operator T any continuous complex function f defined on the spectrum of T by forming the integral $${\displaystyle f(T)=\int _{\sigma (T)}f(\lambda )\,\mathrm {d} E_{\lambda }\,.}$$

The resulting continuous functional calculus has applications in particular to pseudodifferential operators.^[108]

The spectral theory of unbounded self-adjoint operators is only marginally more difficult than for bounded operators. The spectrum of an unbounded operator is defined in precisely the same way as for bounded operators: λ is a spectral value if the resolvent operator $${\displaystyle R_{\lambda }=(T-\lambda )^{-1}}$$

fails to be a well-defined continuous operator. The self-adjointness of T still guarantees that the spectrum is real. Thus the essential idea of working with unbounded operators is to look instead at the resolvent R_λ where λ is nonreal. This is a bounded normal operator, which admits a spectral representation that can then be transferred to a spectral representation of T itself. A similar strategy is used, for instance, to study the spectrum of the Laplace operator: rather than address the operator directly, one instead looks as an associated resolvent such as a Riesz potential or Bessel potential.

A precise version of the spectral theorem in this case is:^[109]

Theorem — Given a densely defined self-adjoint operator T on a Hilbert space H, there corresponds a unique resolution of the identity E on the Borel sets of R, such that $${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\int _{\mathbb {R} }\lambda \,\mathrm {d} E_{x,y}(\lambda )}$$ for all x ∈ D(T) and y ∈ H. The spectral measure E is concentrated on the spectrum of T.

There is also a version of the spectral theorem that applies to unbounded normal operators.

In popular culture

In Gravity's Rainbow (1973), a novel by Thomas Pynchon, one of the characters is called "Sammy Hilbert-Spaess", a pun on "Hilbert Space". The novel refers also to Gödel's incompleteness theorems.^[110]

See also

• Mathematics portal

• Banach space – Normed vector space that is complete
• Fock space – Multi particle state space
• Fundamental theorem of Hilbert spaces
• Hadamard space – geodesically complete metric space of non-positive curvaturePages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Hausdorff space – Type of topological space
• Hilbert algebra
• Hilbert C*-module – Mathematical objects that generalise the notion of Hilbert spaces
• Hilbert manifold – Manifold modelled on Hilbert spaces
• L-semi-inner product – Generalization of inner products that applies to all normed spaces
• Locally convex topological vector space – A vector space with a topology defined by convex open sets
• Operator theory – Mathematical field of study
• Operator topologies – Topologies on the set of operators on a Hilbert space
• Quantum state space – Mathematical space representing physical quantum systems
• Rigged Hilbert space – Construction linking the study of "bound" and continuous eigenvalues in functional analysis
• Topological vector space – Vector space with a notion of nearness

Remarks

1. In some conventions, inner products are linear in their second arguments instead.
2. The eigenvalues of the Fredholm kernel are ⁠1/λ⁠, which tend to zero.

Notes

1. Axler 2014, p. 164 §6.2
2. However, some sources call finite-dimensional spaces with these properties pre-Hilbert spaces, reserving the term "Hilbert space" for infinite-dimensional spaces; see, e.g., Levitan 2001.
3. Marsden 1974, §2.8
4. The mathematical material in this section can be found in any good textbook on functional analysis, such as Dieudonné (1960), Hewitt & Stromberg (1965), Reed & Simon (1980) or Rudin (1987).
5. Schaefer & Wolff 1999, pp. 122–202.
6. Dieudonné 1960, §6.2
7. Roman 2008, p. 327
8. Roman 2008, p. 330 Theorem 13.8
9. Stein & Shakarchi 2005, p. 163
10. Dieudonné 1960
11. Largely from the work of Hermann Grassmann, at the urging of August Ferdinand Möbius (Boyer & Merzbach 1991, pp. 584–586). The first modern axiomatic account of abstract vector spaces ultimately appeared in Giuseppe Peano's 1888 account (Grattan-Guinness 2000, §5.2.2; O'Connor & Robertson 1996).
12. A detailed account of the history of Hilbert spaces can be found in Bourbaki 1987.
13. Schmidt 1908
14. Titchmarsh 1946, §IX.1
15. Lebesgue 1904. Further details on the history of integration theory can be found in Bourbaki (1987) and Saks (2005).
16. Bourbaki 1987.
17. Dunford & Schwartz 1958, §IV.16
18. In Dunford & Schwartz (1958, §IV.16), the result that every linear functional on L²[0,1] is represented by integration is jointly attributed to Fréchet (1907) and Riesz (1907). The general result, that the dual of a Hilbert space is identified with the Hilbert space itself, can be found in Riesz (1934).
19. von Neumann 1929.
20. Kline 1972, p. 1092
21. Hilbert, Nordheim & von Neumann 1927
22. Weyl 1931.
23. Prugovečki 1981, pp. 1–10.
24. von Neumann 1932
25. Peres 1993, pp. 79–99.
26. Murphy 1990, p. 112
27. Murphy 1990, p. 72
28. Halmos 1957, Section 42.
29. Hewitt & Stromberg 1965.
30. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 22". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
31. Bers, John & Schechter 1981.
32. Giusti 2003.
33. Stein 1970
34. Details can be found in Warner (1983).
35. A general reference on Hardy spaces is the book Duren (1970).
36. Krantz 2002, §1.4
37. Krantz 2002, §1.5
38. Young 1988, Chapter 9.
39. Pedersen 1995, §4.4
40. More detail on finite element methods from this point of view can be found in Brenner & Scott (2005).
41. Brezis 2010, section 9.5
42. Evans 1998
43. Pathria (1996), Chapters 2 and 3
44. Einsiedler & Ward (2011), Proposition 2.14.
45. Reed & Simon 1980
46. A treatment of Fourier series from this point of view is available, for instance, in Rudin (1987) or Folland (2009).
47. Halmos 1957, §5
48. Bachman, Narici & Beckenstein 2000
49. Stein & Weiss 1971, §IV.2.
50. Lanczos 1988, pp. 212–213
51. Lanczos 1988, Equation 4-3.10
52. The classic reference for spectral methods is Courant & Hilbert 1953. A more up-to-date account is Reed & Simon 1975.
53. Kac 1966
54. von Neumann 1955
55. Holevo 2001, p. 17
56. Rieffel & Polak 2011, p. 55
57. Peres 1993, p. 101
58. Peres 1993, pp. 73
59. Nielsen & Chuang 2000, p. 90
60. Billingsley (1986), p. 477, ex. 34.13}}
61. Stapleton 1995
62. Hewitt & Stromberg (1965), Exercise 16.45.
63. Karatzas & Shreve 2019, Chapter 3
64. Stroock (2011), Chapter 8.
65. Hermann Weyl (2009), "Mind and nature", Mind and nature: selected writings on philosophy, mathematics, and physics, Princeton University Press.
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67. Reed & Simon 1980, Theorem 12.6
68. Reed & Simon 1980, p. 38
69. Young 1988, p. 23.
70. Clarkson 1936.
71. Rudin 1987, Theorem 4.10
72. Dunford & Schwartz 1958, II.4.29
73. Rudin 1987, Theorem 4.11
74. Blanchet, Gérard; Charbit, Maurice (2014). Digital Signal and Image Processing Using MATLAB. Vol. 1 (Second ed.). New Jersey: Wiley. pp. 349–360. ISBN 978-1848216402.
75. Weidmann 1980, Theorem 4.8
76. Peres 1993, pp. 77–78.
77. Weidmann (1980), Exercise 4.11.
78. Weidmann 1980, §4.5
79. Buttazzo, Giaquinta & Hildebrandt 1998, Theorem 5.17
80. Halmos 1982, Problem 52, 58
81. Rudin 1973
82. Trèves 1967, Chapter 18
83. A general reference for this section is Rudin (1973), chapter 12.
84. See Prugovečki (1981), Reed & Simon (1980, Chapter VIII) and Folland (1989).
85. Prugovečki 1981, III, §1.4
86. Dunford & Schwartz 1958, IV.4.17-18
87. Weidmann 1980, §3.4
88. Kadison & Ringrose 1983, Theorem 2.6.4
89. Dunford & Schwartz 1958, §IV.4.
90. Roman 2008, p. 218
91. Rudin 1987, Definition 3.7
92. For the case of finite index sets, see, for instance, Halmos 1957, §5. For infinite index sets, see Weidmann 1980, Theorem 3.6.
93. Hewitt & Stromberg (1965), Theorem 16.26.
94. Levitan 2001. Many authors, such as Dunford & Schwartz (1958, §IV.4), refer to this just as the dimension. Unless the Hilbert space is finite dimensional, this is not the same thing as its dimension as a linear space (the cardinality of a Hamel basis).
95. Hewitt & Stromberg (1965), Theorem 16.29.
96. Prugovečki 1981, I, §4.2
97. von Neumann (1955) defines a Hilbert space via a countable Hilbert basis, which amounts to an isometric isomorphism with l². The convention still persists in most rigorous treatments of quantum mechanics; see for instance Sobrino 1996, Appendix B.
98. Streater & Wightman 1964, pp. 86–87
99. Young 1988, Theorem 15.3
100. von Neumann 1955, Theorem 16
101. von Neumann 1955, Theorem 14
102. Kakutani 1939
103. Lindenstrauss & Tzafriri 1971
104. Halmos 1957, §12
105. A general account of spectral theory in Hilbert spaces can be found in Riesz & Sz.-Nagy (1990). A more sophisticated account in the language of C*-algebras is in Rudin (1973) or Kadison & Ringrose (1997)
106. See, for instance, Riesz & Sz.-Nagy (1990, Chapter VI) or Weidmann 1980, Chapter 7. This result was already known to Schmidt (1908) in the case of operators arising from integral kernels.
107. Riesz & Sz.-Nagy 1990, §§107–108
108. Shubin 1987
109. Rudin 1973, Theorem 13.30.
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External links

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• 245B, notes 5: Hilbert spaces by Terence Tao