En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , una categoría preaditiva es otro nombre para una Ab-categoría , es decir, una categoría que se enriquece con la categoría de grupos abelianos , Ab . Es decir, una Ab-categoría C es una categoría tal que cada hom-conjunto Hom( A , B ) en C tiene la estructura de un grupo abeliano, y la composición de morfismos es bilineal , en el sentido de que la composición de morfismos se distribuye sobre la operación de grupo. En fórmulas: y donde + es la operación de grupo.
Algunos autores han utilizado el término categoría aditiva para categorías preaditivas, pero esta página reserva este término para ciertas categorías preaditivas especiales (ver § Casos especiales más abajo).
El ejemplo más obvio de una categoría preaditiva es la propia categoría Ab . Más precisamente, Ab es una categoría monoidal cerrada . Nótese que la conmutatividad es crucial aquí; asegura que la suma de dos homomorfismos de grupo sea nuevamente un homomorfismo. Por el contrario, la categoría de todos los grupos no es cerrada. Véase Categoría medial.
Otros ejemplos comunes:
Estos le darán una idea de qué tener en cuenta; para ver más ejemplos, siga los enlaces a § Casos especiales a continuación.
Como cada conjunto hom Hom( A , B ) es un grupo abeliano, tiene un elemento cero 0. Este es el morfismo cero de A a B . Como la composición de morfismos es bilineal, la composición de un morfismo cero y cualquier otro morfismo (en cualquier lado) debe ser otro morfismo cero. Si piensas en la composición como análoga a la multiplicación, entonces esto dice que la multiplicación por cero siempre da como resultado un producto de cero, lo cual es una intuición familiar. Extendiendo esta analogía, el hecho de que la composición sea bilineal en general se convierte en la distributividad de la multiplicación sobre la adición.
Centrándonos en un único objeto A en una categoría preaditiva, estos hechos dicen que el conjunto hom de endomorfismos Hom( A , A ) es un anillo , si definimos la multiplicación en el anillo como composición. Este anillo es el anillo de endomorfismos de A . A la inversa, cada anillo (con identidad ) es el anillo de endomorfismos de algún objeto en alguna categoría preaditiva. De hecho, dado un anillo R , podemos definir una categoría preaditiva R para que tenga un único objeto A , sea Hom( A , A ) R , y sea la composición la multiplicación del anillo. Dado que R es un grupo abeliano y la multiplicación en un anillo es bilineal (distributiva), esto hace que R sea una categoría preaditiva. Los teóricos de categorías a menudo pensarán en el anillo R y la categoría R como dos representaciones diferentes de la misma cosa, de modo que un teórico de categorías particularmente perverso podría definir un anillo como una categoría preaditiva con exactamente un objeto (de la misma manera que un monoide puede verse como una categoría con un solo objeto, y olvidar la estructura aditiva del anillo nos da un monoide).
De esta manera, las categorías preaditivas pueden verse como una generalización de los anillos. Muchos conceptos de la teoría de anillos, como los ideales , los radicales de Jacobson y los anillos factoriales , pueden generalizarse de manera sencilla a este contexto. Al intentar escribir estas generalizaciones, se debe pensar en los morfismos de la categoría preaditiva como los "elementos" del "anillo generalizado".
Si y son categorías preaditivas, entonces un funtor es aditivo si también se enriquece sobre la categoría . Es decir, es aditivo si y solo si , dados cualesquiera objetos y de , la función es un homomorfismo de grupo . La mayoría de los funtores estudiados entre categorías preaditivas son aditivos.
Para dar un ejemplo simple, si los anillos y están representados por las categorías preaditivas de un objeto y , entonces un homomorfismo de anillo de a está representado por un funtor aditivo de a , y viceversa.
Si y son categorías y es preaditivo, entonces la categoría de funtores también es preaditiva, porque las transformaciones naturales se pueden sumar de forma natural. Si también es preaditivo, entonces la categoría de funtores aditivos y todas las transformaciones naturales entre ellos también es preaditiva.
El último ejemplo conduce a una generalización de módulos sobre anillos: Si es una categoría preaditiva, entonces se llama categoría de módulo sobre . [ cita requerida ] Cuando es la categoría preaditiva de un objeto correspondiente al anillo , esto se reduce a la categoría ordinaria de (izquierda) -módulos . Nuevamente, virtualmente todos los conceptos de la teoría de módulos se pueden generalizar a este contexto.
De manera más general, se puede considerar una categoría C enriquecida con la categoría monoidal de módulos sobre un anillo conmutativo R , llamada categoría R -lineal . En otras palabras, cada hom-conjunto en C tiene la estructura de un R -módulo, y la composición de morfismos es R -bilineal.
Al considerar funtores entre dos categorías R -lineales, a menudo se restringe a aquellos que son R -lineales, es decir, aquellos que inducen mapas R -lineales en cada conjunto hom.
Todo producto finito en una categoría preaditiva debe ser también un coproducto , y viceversa. De hecho, los productos finitos y los coproductos en categorías preaditivas pueden caracterizarse por la siguiente condición de biproducto :
Este biproducto se escribe a menudo A 1 ⊕ ··· ⊕ A n , tomando prestada la notación de la suma directa . Esto se debe a que el biproducto en categorías preaditivas bien conocidas como Ab es la suma directa. Sin embargo, aunque las sumas directas infinitas tienen sentido en algunas categorías, como Ab , los biproductos infinitos no tienen sentido (véase Categoría de grupos abelianos § Propiedades ).
La condición de biproducto en el caso n = 0 se simplifica drásticamente; B es un biproducto nulo si y solo si el morfismo identidad de B es el morfismo cero de B a sí mismo, o equivalentemente si el conjunto hom Hom( B , B ) es el anillo trivial . Nótese que debido a que un biproducto nulo será tanto terminal (un producto nulo) como inicial (un coproducto nulo), de hecho será un objeto cero . De hecho, el término "objeto cero" se originó en el estudio de categorías preaditivas como Ab , donde el objeto cero es el grupo cero .
Una categoría preaditiva en la que existe cada subproducto (incluido un objeto cero) se denomina aditiva . En ese tema se pueden encontrar más datos sobre los subproductos que son útiles principalmente en el contexto de las categorías aditivas.
Como los hom-sets en una categoría preaditiva tienen morfismos cero, la noción de núcleo y conúcleo tiene sentido. Es decir, si f : A → B es un morfismo en una categoría preaditiva, entonces el núcleo de f es el ecualizador de f y el morfismo cero de A a B , mientras que el conúcleo de f es el coecualizador de f y este morfismo cero. A diferencia de lo que ocurre con los productos y coproductos, el núcleo y el conúcleo de f generalmente no son iguales en una categoría preaditiva.
Al especializarse en categorías preaditivas de grupos abelianos o módulos sobre un anillo, esta noción de núcleo coincide con la noción ordinaria de núcleo de un homomorfismo, si se identifica el núcleo ordinario K de f : A → B con su incrustación K → A . Sin embargo, en una categoría preaditiva general pueden existir morfismos sin núcleos y/o conúcleos.
Existe una relación conveniente entre el núcleo y el co-núcleo y la estructura del grupo abeliano en los conjuntos hom. Dados los morfismos paralelos f y g , el ecualizador de f y g es simplemente el núcleo de g − f , si existe alguno, y el hecho análogo es cierto para los co-ecualizadores. El término alternativo "núcleo de diferencia" para los ecualizadores binarios deriva de este hecho.
Una categoría preaditiva en la que existen todos los subproductos, núcleos y conúcleos se denomina preabeliana . En ese tema se pueden encontrar más datos sobre los núcleos y conúcleos en categorías preaditivas que son principalmente útiles en el contexto de las categorías preabelianas.
La mayoría de estos casos especiales de categorías preaditivas ya se han mencionado anteriormente, pero se han reunido aquí como referencia.
Las categorías preaditivas más comúnmente estudiadas son de hecho categorías abelianas; por ejemplo, Ab es una categoría abeliana.
