adjunto hermitiano

Transpuesta conjugada de un operador en infinitas dimensiones

En matemáticas , específicamente en teoría de operadores , cada operador lineal en un espacio de producto interno define un operador adjunto (o adjunto ) hermitiano en ese espacio de acuerdo con la regla ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle ,}$

¿Dónde está el producto interno en el espacio vectorial ? ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

El adjunto también puede denominarse conjugado hermitiano o simplemente hermitiano ^[1] en honor a Charles Hermite . A menudo se denota con A ^† en campos como la física , especialmente cuando se usa junto con la notación de soporte en mecánica cuántica . En dimensiones finitas donde los operadores pueden representarse mediante matrices , el adjunto hermitiano viene dado por la transpuesta conjugada (también conocida como transpuesta hermitiana).

La definición anterior de operador adjunto se extiende palabra por palabra a operadores lineales acotados en espacios de Hilbert . La definición se ha ampliado aún más para incluir operadores ilimitados densamente definidos , cuyo dominio es topológicamente denso , pero no necesariamente igual a, ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H.}$

Definición informal

Considere un mapa lineal entre espacios de Hilbert . Sin cuidar ningún detalle, el operador adjunto es el operador lineal (en la mayoría de los casos definido de forma única) que cumple ${\displaystyle A:H_{1}\to H_{2}}$ ${\displaystyle A^{*}:H_{2}\to H_{1}}$

${\displaystyle \left\langle Ah_{1},h_{2}\right\rangle _{H_{2}}=\left\langle h_{1},A^{*}h_{2}\right\rangle _{H_{1}},}$

donde está el producto interno en el espacio de Hilbert , que es lineal en la primera coordenada y lineal conjugado en la segunda coordenada. Tenga en cuenta el caso especial en el que ambos espacios de Hilbert son idénticos y es un operador en ese espacio de Hilbert. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{H_{i}}}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle A}$

Cuando se cambia el producto interno por el emparejamiento dual , se puede definir el adjunto, también llamado transposición , de un operador , donde están los espacios de Banach con las normas correspondientes . Aquí (nuevamente sin considerar ningún tecnicismo), su operador adjunto se define como con ${\displaystyle A:E\to F}$ ${\displaystyle E,F}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{E},\|\cdot \|_{F}}$ ${\displaystyle A^{*}:F^{*}\to E^{*}}$

${\displaystyle A^{*}f=f\circ A:u\mapsto f(Au),}$

Es decir, para . ${\displaystyle \left(A^{*}f\right)(u)=f(Au)}$ ${\displaystyle f\in F^{*},u\in E}$

La definición anterior en el marco del espacio de Hilbert es en realidad sólo una aplicación del caso del espacio de Banach cuando se identifica un espacio de Hilbert con su dual. Entonces es natural que también podamos obtener el adjunto de un operador , donde es un espacio de Hilbert y es un espacio de Banach. El dual se define entonces como tal que ${\displaystyle A:H\to E}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A^{*}:E^{*}\to H}$ ${\displaystyle A^{*}f=h_{f}}$

${\displaystyle \langle h_{f},h\rangle _{H}=f(Ah).}$

Definición de operadores ilimitados entre espacios de Banach

Sean espacios de Banach . Supongamos que y , y supongamos que es un operador lineal (posiblemente ilimitado) que está densamente definido (es decir, es denso en ). Entonces su operador adjunto se define de la siguiente manera. El dominio es ${\displaystyle \left(E,\|\cdot \|_{E}\right),\left(F,\|\cdot \|_{F}\right)}$ ${\displaystyle A:D(A)\to F}$ ${\displaystyle D(A)\subset E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D(A)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A^{*}}$

${\displaystyle D\left(A^{*}\right):=\left\{g\in F^{*}:~\exists c\geq 0:~{\mbox{ for all }}u\in D(A):~|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}\right\}.}$

Ahora para arbitrario pero fijo lo configuramos con . Por elección y definición de , f es (uniformemente) continua en as . Luego, según el teorema de Hahn-Banach , o alternativamente mediante extensión por continuidad, esto produce una extensión de , llamada , definida en todos . Este tecnicismo es necesario para obtenerlo posteriormente como operador en lugar de Observar también que esto no significa que se pueda extender a todos, sino que la extensión solo funcionó para elementos específicos . ${\displaystyle g\in D(A^{*})}$ ${\displaystyle f:D(A)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(u)=g(Au)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle D(A^{*})}$ ${\displaystyle D(A)}$ ${\displaystyle |f(u)|=|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle D\left(A^{*}\right)\to E^{*}}$ ${\displaystyle D\left(A^{*}\right)\to (D(A))^{*}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle g\in D\left(A^{*}\right)}$

Ahora, podemos definir el adjunto de como ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{*}:F^{*}\supset D(A^{*})&\to E^{*}\\g&\mapsto A^{*}g={\hat {f}}.\end{aligned}}}$

La identidad fundamental que define es, por tanto,

${\displaystyle g(Au)=\left(A^{*}g\right)(u)}$para ${\displaystyle u\in D(A).}$

Definición de operadores acotados entre espacios de Hilbert

Supongamos que H es un espacio de Hilbert complejo , con producto interno . Considere un operador lineal continuo A  : H → H (para operadores lineales, la continuidad equivale a ser un operador acotado ). Entonces el adjunto de A es el operador lineal continuo A ^∗  : H → H que satisface ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle \quad {\mbox{for all }}x,y\in H.}$

La existencia y unicidad de este operador se deriva del teorema de representación de Riesz . ^[2]

Esto puede verse como una generalización de la matriz adjunta de una matriz cuadrada que tiene una propiedad similar que involucra el producto interno complejo estándar.

Propiedades

Las siguientes propiedades del adjunto hermitiano de operadores acotados son inmediatas: ^[2]

1. Involutividad : A ^∗∗ = A
2. Si A es invertible, entonces también lo es A ^∗ , con ${\textstyle \left(A^{*}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{*}}$
3. Linealidad conjugada :
   • ( A + B ) ^∗ = A ^∗ + B ^∗
   • ( λA ) ^∗ = λ A ^∗ , donde λ denota el conjugado complejo del número complejo λ
4. " Antidistributividad ": ( AB ) ^∗ = B ^∗ A ^∗

Si definimos la norma del operador de A por

${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}:=\sup \left\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\right\}}$

entonces

${\displaystyle \left\|A^{*}\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}.}$^[2]

Además,

${\displaystyle \left\|A^{*}A\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}^{2}.}$^[2]

Se dice que una norma que satisface esta condición se comporta como un "valor mayor", extrapolando del caso de operadores autoadjuntos.

El conjunto de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert complejo H junto con la operación adjunta y la norma del operador forman el prototipo de un álgebra C* .

Adjunto de operadores ilimitados densamente definidos entre espacios de Hilbert

Definición

Sea lineal el producto interno en el primer argumento. Un operador A densamente definido desde un espacio de Hilbert complejo H hacia sí mismo es un operador lineal cuyo dominio D ( A ) es un subespacio lineal denso de H y cuyos valores se encuentran en H. ^[3] Por definición, el dominio D ( A ^∗ ) de su adjunto A ^∗ es el conjunto de todos los y ∈ H para los cuales existe un z ∈ H que satisface ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,z\rangle \quad {\mbox{for all }}x\in D(A).}$

Debido a la densidad de y al teorema de representación de Riesz , está definido de forma única y, por definición, ^[4] ${\displaystyle D(A)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle A^{*}y=z.}$

Propiedades 1.–5. mantener con cláusulas apropiadas sobre dominios y codominios . ^{[ se necesita aclaración ]} Por ejemplo, la última propiedad ahora establece que ( AB ) ^∗ es una extensión de B ^∗ A ^∗ si A , B y AB son operadores densamente definidos. ^[5]

ker A * =(estoy A) ⊥

Para cada uno, el funcional lineal es idénticamente cero y, por tanto, ${\displaystyle y\in \ker A^{*},}$ ${\displaystyle x\mapsto \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }$ ${\displaystyle y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }.}$

Por el contrario, el supuesto que hace que el funcional sea idénticamente cero. Dado que lo funcional es obviamente acotado, la definición de asegura que El hecho de que, para cada muestra que dado eso es denso. ${\displaystyle y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }}$ ${\displaystyle x\mapsto \langle Ax,y\rangle }$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle y\in D(A^{*}).}$ ${\displaystyle x\in D(A),}$ ${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle =0}$ ${\displaystyle A^{*}y\in D(A)^{\perp }={\overline {D(A)}}^{\perp }=\{0\},}$ ${\displaystyle D(A)}$

Esta propiedad muestra que es un subespacio topológicamente cerrado incluso cuando no lo es. ${\displaystyle \operatorname {ker} A^{*}}$ ${\displaystyle D(A^{*})}$

Interpretación geométrica

Si y son espacios de Hilbert, entonces es un espacio de Hilbert con el producto interno ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}\oplus H_{2}}$

${\displaystyle {\bigl \langle }(a,b),(c,d){\bigr \rangle }_{H_{1}\oplus H_{2}}{\stackrel {\text{def}}{=}}\langle a,c\rangle _{H_{1}}+\langle b,d\rangle _{H_{2}},}$

dónde y ${\displaystyle a,c\in H_{1}}$ ${\displaystyle b,d\in H_{2}.}$

Sea el mapeo simpléctico , es decir, entonces el gráfico ${\displaystyle J\colon H\oplus H\to H\oplus H}$ ${\displaystyle J(\xi ,\eta )=(-\eta ,\xi ).}$

${\displaystyle G(A^{*})=\{(x,y)\mid x\in D(A^{*}),\ y=A^{*}x\}\subseteq H\oplus H}$

de es el complemento ortogonal de ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle JG(A):}$

${\displaystyle G(A^{*})=(JG(A))^{\perp }=\{(x,y)\in H\oplus H:{\bigl \langle }(x,y),(-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }_{H\oplus H}=0\;\;\forall \xi \in D(A)\}.}$

La afirmación se desprende de las equivalencias.

${\displaystyle {\bigl \langle }(x,y),(-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }=0\quad \Leftrightarrow \quad \langle A\xi ,x\rangle =\langle \xi ,y\rangle ,}$

y

${\displaystyle {\Bigl [}\forall \xi \in D(A)\ \ \langle A\xi ,x\rangle =\langle \xi ,y\rangle {\Bigr ]}\quad \Leftrightarrow \quad x\in D(A^{*})\ \&\ y=A^{*}x.}$

Corolarios

A ^* está cerrado

Un operador es cerrado si la gráfica está topológicamente cerrada en La gráfica del operador adjunto es el complemento ortogonal de un subespacio y, por lo tanto, es cerrada. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G(A)}$ ${\displaystyle H\oplus H.}$ ${\displaystyle G(A^{*})}$ ${\displaystyle A^{*}}$

A ^* está densamente definido ⇔ A se puede cerrar

Un operador se puede cerrar si el cierre topológico del gráfico es el gráfico de una función. Dado que es un subespacio lineal (cerrado), la palabra "función" puede reemplazarse por "operador lineal". Por la misma razón, se puede cerrar si y sólo si a menos que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G^{\text{cl}}(A)\subseteq H\oplus H}$ ${\displaystyle G(A)}$ ${\displaystyle G^{\text{cl}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (0,v)\notin G^{\text{cl}}(A)}$ ${\displaystyle v=0.}$

El adjunto está densamente definido si y sólo si se puede cerrar. Esto se desprende del hecho de que, por cada ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle v\in H,}$

${\displaystyle v\in D(A^{*})^{\perp }\ \Leftrightarrow \ (0,v)\in G^{\text{cl}}(A),}$

lo cual, a su vez, se prueba a través de la siguiente cadena de equivalencias:

${\displaystyle {\begin{aligned}v\in D(A^{*})^{\perp }&\Longleftrightarrow (v,0)\in G(A^{*})^{\perp }\Longleftrightarrow (v,0)\in (JG(A))^{\text{cl}}=JG^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,-v)=J^{-1}(v,0)\in G^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,v)\in G^{\text{cl}}(A).\end{aligned}}}$

A ^** = A ^cl

El cierre de un operador es el operador cuya gráfica es si esta gráfica representa una función. Como se indicó anteriormente, la palabra "función" puede sustituirse por "operador". Además, significa que ${\displaystyle A^{\text{cl}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G^{\text{cl}}(A)}$ ${\displaystyle A^{**}=A^{\text{cl}},}$ ${\displaystyle G(A^{**})=G^{\text{cl}}(A).}$

Para probar esto, observe que es decir, para cada hecho, ${\displaystyle J^{*}=-J,}$ ${\displaystyle \langle Jx,y\rangle _{H\oplus H}=-\langle x,Jy\rangle _{H\oplus H},}$ ${\displaystyle x,y\in H\oplus H.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle J(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}&=\langle (-x_{2},x_{1}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}=\langle -x_{2},y_{1}\rangle _{H}+\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}\\&=\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}+\langle x_{2},-y_{1}\rangle _{H}=\langle (x_{1},x_{2}),-J(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}.\end{aligned}}}$

En particular, para todos y cada uno de los subespacios si y sólo si Así, y Sustituyendo se obtiene ${\displaystyle y\in H\oplus H}$ ${\displaystyle V\subseteq H\oplus H,}$ ${\displaystyle y\in (JV)^{\perp }}$ ${\displaystyle Jy\in V^{\perp }.}$ ${\displaystyle J[(JV)^{\perp }]=V^{\perp }}$ ${\displaystyle [J[(JV)^{\perp }]]^{\perp }=V^{\text{cl}}.}$ ${\displaystyle V=G(A),}$ ${\displaystyle G^{\text{cl}}(A)=G(A^{**}).}$

A ^* = (A ^cl ) ^*

Para un operador que se puede cerrar, lo que significa que, de hecho, ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{*}=\left(A^{\text{cl}}\right)^{*},}$ ${\displaystyle G(A^{*})=G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right).}$

${\displaystyle G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right)=\left(JG^{\text{cl}}(A)\right)^{\perp }=\left(\left(JG(A)\right)^{\text{cl}}\right)^{\perp }=(JG(A))^{\perp }=G(A^{*}).}$

Contraejemplo donde el adjunto no está densamente definido

Sea donde está la medida lineal. Seleccione una función medible, acotada y no idéntica a cero y seleccione Definir ${\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} ,l),}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle f\notin L^{2},}$ ${\displaystyle \varphi _{0}\in L^{2}\setminus \{0\}.}$

${\displaystyle A\varphi =\langle f,\varphi \rangle \varphi _{0}.}$

De ello se deduce que el subespacio contiene todas las funciones con soporte compacto. Dado que está densamente definido. Para todos y ${\displaystyle D(A)=\{\varphi \in L^{2}\mid \langle f,\varphi \rangle \neq \infty \}.}$ ${\displaystyle D(A)}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{[-n,n]}\cdot \varphi \ {\stackrel {L^{2}}{\to }}\ \varphi ,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi \in D(A)}$ ${\displaystyle \psi \in D(A^{*}),}$

${\displaystyle \langle \varphi ,A^{*}\psi \rangle =\langle A\varphi ,\psi \rangle =\langle \langle f,\varphi \rangle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle f,\varphi \rangle \cdot \langle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle \varphi ,\langle \varphi _{0},\psi \rangle f\rangle .}$

Por lo tanto, la definición de operador adjunto requiere que Dado que esto sólo es posible si Por esta razón, por lo tanto, no está densamente definido y es idénticamente cero. Como resultado, no se puede cerrar y no tiene un segundo operador adjunto. ${\displaystyle A^{*}\psi =\langle \varphi _{0},\psi \rangle f.}$ ${\displaystyle \mathop {\text{Im}} A^{*}\subseteq H=L^{2}.}$ ${\displaystyle f\notin L^{2},}$ ${\displaystyle \langle \varphi _{0},\psi \rangle =0.}$ ${\displaystyle D(A^{*})=\{\varphi _{0}\}^{\perp }.}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle D(A^{*}).}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{**}.}$

Operadores hermitianos

Un operador acotado A  : H → H se llama hermitiano o autoadjunto si

${\displaystyle A=A^{*}}$

que es equivalente a

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle {\mbox{ for all }}x,y\in H.}$^[6]

En cierto sentido, estos operadores desempeñan el papel de los números reales (siendo iguales a su propio "conjugado complejo") y forman un espacio vectorial real . Sirven como modelo de observables de valor real en mecánica cuántica . Consulte el artículo sobre operadores autoadjuntos para obtener un tratamiento completo.

Adjuntos de operadores lineales conjugados

Para un operador lineal conjugado, la definición de adjunto debe ajustarse para compensar la conjugación compleja. Un operador adjunto del operador lineal conjugado A en un espacio de Hilbert complejo H es un operador lineal conjugado A ^∗  : H → H con la propiedad:

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle ={\overline {\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }}\quad {\text{for all }}x,y\in H.}$

Otros adjuntos

La ecuacion

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }$

es formalmente similar a las propiedades definitorias de pares de funtores adjuntos en la teoría de categorías , y de aquí es de donde los funtores adjuntos obtuvieron su nombre.

Ver también

• Conceptos matemáticos
  • operador hermitiano
  • Norma (matemáticas)
  • Transposición de mapas lineales
  • transposición conjugada
• Aplicaciones físicas
  • Operador (física)
  • †-álgebra

Referencias

1. Molinero, David AB (2008). Mecánica cuántica para científicos e ingenieros . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs.262, 280.
2. Reed y Simon 2003, págs. 186-187; Rudin 1991, §12.9
3. Consulte operador ilimitado para obtener más detalles.
4. Reed y Simon 2003, pág. 252; Rudin 1991, §13.1
5. Rudin 1991, Thm 13.2
6. Reed y Simon 2003, págs.187; Rudin 1991, §12.11

• Brezis, Haim (2011), Análisis funcional, espacios de Sobolev y ecuaciones diferenciales parciales (primera ed.), Springer, ISBN 978-0-387-70913-0.
• Caña, Michael; Simon, Barry (2003), Análisis funcional , Elsevier, ISBN 981-4141-65-8.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.