En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , una categoría aditiva es una categoría preaditiva C que admite todos los biproductos finitarios .
Hay dos definiciones equivalentes de una categoría aditiva: una como una categoría dotada de estructura adicional, y otra como una categoría dotada de ninguna estructura adicional pero cuyos objetos y morfismos satisfacen ciertas ecuaciones.
Una categoría C es preaditiva si todos sus hom-conjuntos son grupos abelianos y la composición de morfismos es bilineal ; en otras palabras, C se enriquece sobre la categoría monoidal de grupos abelianos.
En una categoría preaditiva, todo producto finitario (incluido el producto vacío, es decir, un objeto final ) es necesariamente un coproducto (u objeto inicial en el caso de un diagrama vacío), y por lo tanto un biproducto , y a la inversa, todo coproducto finitario es necesariamente un producto (esto es una consecuencia de la definición, no una parte de ella).
Por lo tanto, una categoría aditiva se describe de manera equivalente como una categoría preaditiva que admite todos los productos finitarios, o una categoría preaditiva que admite todos los coproductos finitarios.
Damos una definición alternativa.
Definamos una categoría semiaditiva como una categoría (nota: no una categoría preaditiva) que admite un objeto cero y todos los biproductos binarios . Es entonces un teorema notable que los conjuntos de Hom admiten naturalmente una estructura monoide abeliana . A continuación se ofrece una prueba de este hecho.
Una categoría aditiva puede entonces definirse como una categoría semiaditiva en la que cada morfismo tiene un inverso aditivo . Esto entonces da a los conjuntos Hom una estructura de grupo abeliano en lugar de simplemente una estructura monoide abeliana.
De manera más general, también se consideran categorías R -lineales aditivas para un anillo conmutativo R . Se trata de categorías enriquecidas con respecto a la categoría monoidal de R - módulos y que admiten todos los biproductos finitarios.
El ejemplo original de una categoría aditiva es la categoría de grupos abelianos Ab . El objeto cero es el grupo trivial , la adición de morfismos se da puntualmente y los biproductos se dan por sumas directas .
De manera más general, cada categoría de módulo sobre un anillo R es aditiva y, en particular, la categoría de espacios vectoriales sobre un campo K es aditiva.
El álgebra de matrices sobre un anillo, considerada como una categoría como se describe a continuación, también es aditiva.
Sea C una categoría semiaditiva, es decir, una categoría que tiene todos los biproductos finitarios. Entonces, cada conjunto hom tiene una adición, lo que le confiere la estructura de un monoide abeliano , y tal que la composición de morfismos es bilineal.
Además, si C es aditivo, entonces las dos adiciones en los conjuntos hom deben coincidir. En particular, una categoría semiaditiva es aditiva si y solo si cada morfismo tiene un inverso aditivo.
Esto demuestra que la ley de adición para una categoría aditiva es interna a esa categoría. [1]
Para definir la ley de adición, utilizaremos la convención de que para un biproducto, p k denotará los morfismos de proyección, e i k denotará los morfismos de inyección.
Para cada objeto A , definimos:
Entonces, para k = 1, 2 , tenemos p k ∘ ∆ = 1 A y ∇ ∘ i k = 1 A .
A continuación, dados dos morfismos α k : A → B , existe un morfismo único α 1 ⊕ α 2 : A ⊕ A → B ⊕ B tal que p l ∘ (α 1 ⊕ α 2 ) ∘ i k es igual a α k si k = l , y 0 en caso contrario.
Por lo tanto podemos definir α 1 + α 2 := ∇ ∘ (α 1 ⊕ α 2 ) ∘ ∆ .
Esta adición es a la vez conmutativa y asociativa. La asociatividad se puede ver considerando la composición
Tenemos α + 0 = α , usando que α ⊕ 0 = i 1 ∘ α ∘ p 1 .
También es bilineal, usando por ejemplo que ∆ ∘ β = (β ⊕ β) ∘ ∆ y que (α 1 ⊕ α 2 ) ∘ (β 1 ⊕ β 2 ) = (α 1 ∘ β 1 ) ⊕ (α 2 ∘ β2 ) .
Observamos que para un biproducto A ⊕ B tenemos i 1 ∘ p 1 + i 2 ∘ p 2 = 1 . Usando esto, podemos representar cualquier morfismo A ⊕ B → C ⊕ D como una matriz.
Dados los objetos A 1 , ..., A n y B 1 , ..., B m en una categoría aditiva, podemos representar los morfismos f : A 1 ⊕ ⋅⋅⋅ ⊕ A n → B 1 ⊕ ⋅⋅⋅ ⊕ B m como matrices m -por- n
Utilizando que ∑ k i k ∘ p k = 1 , se deduce que la suma y la composición de matrices obedecen las reglas habituales para la suma y la multiplicación de matrices .
Por tanto, las categorías aditivas pueden considerarse el contexto más general en el que el álgebra de matrices tiene sentido.
Recordemos que los morfismos de un único objeto A hacia sí mismo forman el anillo de endomorfismo End A . Si denotamos el producto n-vez de A consigo mismo por A n , entonces los morfismos de A n a A m son matrices m -por- n con entradas del anillo End A .
Por el contrario, dado cualquier anillo R , podemos formar una categoría Mat ( R ) tomando objetos A n indexados por el conjunto de números naturales (incluyendo ) y dejando que el hom-conjunto de morfismos de A n a A m sea el conjunto de matrices m -por- n sobre R , y donde la composición está dada por la multiplicación de matrices. [2] Entonces Mat ( R ) es una categoría aditiva, y A n es igual a la potencia n -vez ( A 1 ) n .
Esta construcción debe compararse con el resultado de que un anillo es una categoría preaditiva con un solo objeto, como se muestra aquí .
Si interpretamos el objeto A n como el módulo izquierdo R n , entonces esta categoría matricial se convierte en una subcategoría de la categoría de módulos izquierdos sobre R .
Esto puede resultar confuso en el caso especial en el que m o n es cero, porque normalmente no pensamos en matrices con 0 filas o 0 columnas . Sin embargo, este concepto tiene sentido: dichas matrices no tienen entradas y, por lo tanto, están completamente determinadas por su tamaño. Si bien estas matrices son bastante degeneradas, es necesario incluirlas para obtener una categoría aditiva, ya que una categoría aditiva debe tener un objeto cero.
Sin embargo, pensar en estas matrices puede ser útil de una manera: resaltan el hecho de que, dados cualesquiera objetos A y B en una categoría aditiva, hay exactamente un morfismo de A a 0 (así como hay exactamente una matriz de 0 por 1 con entradas en el extremo A ) y exactamente un morfismo de 0 a B (así como hay exactamente una matriz de 1 por 0 con entradas en el extremo B ); esto es simplemente lo que significa decir que 0 es un objeto cero . Además, el morfismo cero de A a B es la composición de estos morfismos, como se puede calcular multiplicando las matrices degeneradas.
Un funtor F : C → D entre categorías preaditivas es aditivo si es un homomorfismo de grupo abeliano en cada conjunto hom en C . Si las categorías son aditivas, entonces un funtor es aditivo si y solo si preserva todos los diagramas de biproductos .
Es decir, si B es un biproducto de A 1 , ... , A n en C con morfismos de proyección p k y morfismos de inyección i j , entonces F ( B ) debería ser un biproducto de F ( A 1 ), ... , F ( A n ) en D con morfismos de proyección F ( p j ) y morfismos de inyección F ( i j ) .
Casi todos los funtores estudiados entre categorías aditivas son aditivos. De hecho, existe un teorema que establece que todos los funtores adjuntos entre categorías aditivas deben ser funtores aditivos (ver aquí ). La mayoría de los funtores interesantes estudiados en la teoría de categorías son adjuntos.
Al considerar funtores entre categorías aditivas R -lineales, uno usualmente se restringe a los funtores R - lineales , es decir, aquellos funtores que dan un homomorfismo de módulo R en cada conjunto hom.
Muchas categorías aditivas que se estudian habitualmente son, de hecho, categorías abelianas; por ejemplo, Ab es una categoría abeliana. Los grupos abelianos libres proporcionan un ejemplo de una categoría que es aditiva pero no abeliana. [3]
