Coproducto

Construcción teórica de categorías

En teoría de categorías , el coproducto , o suma categórica , es una construcción que incluye como ejemplos la unión disjunta de conjuntos y de espacios topológicos , el producto libre de grupos y la suma directa de módulos y espacios vectoriales . El coproducto de una familia de objetos es esencialmente el objeto "menos específico" al que cada objeto de la familia admite un morfismo . Es la noción dual teórica de categorías del producto categórico , lo que significa que la definición es la misma que la del producto pero con todas las flechas invertidas. A pesar de este cambio aparentemente inofensivo en el nombre y la notación, los coproductos pueden ser, y suelen ser, dramáticamente diferentes de los productos.

Definición

Sean una categoría y sean objetos de Un objeto se llama coproducto de y escrito o , a veces, simplemente si existen morfismos y satisfacen la siguiente propiedad universal : para cualquier objeto y cualquier morfismo y existe un morfismo único tal que y Ese es decir, el siguiente diagrama conmuta : ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2},}$ ${\displaystyle X_{1}\sqcup X_{2},}$ ${\displaystyle X_{1}\oplus X_{2},}$ ${\displaystyle X_{1}+X_{2},}$ ${\displaystyle i_{1}:X_{1}\to X_{1}\sqcup X_{2}}$ ${\displaystyle i_{2}:X_{2}\to X_{1}\sqcup X_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{1}:X_{1}\to Y}$ ${\displaystyle f_{2}:X_{2}\to Y,}$ ${\displaystyle f:X_{1}\sqcup X_{2}\to Y}$ ${\displaystyle f_{1}=f\circ i_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}=f\circ i_{2}.}$

La única flecha que hace conmutar este diagrama puede denotarse o Los morfismos y se denominan inyecciones canónicas , aunque no necesitan ser inyecciones ni siquiera mónicas . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{1}\sqcup f_{2},}$ ${\displaystyle f_{1}\oplus f_{2},}$ ${\displaystyle f_{1}+f_{2},}$ ${\displaystyle \left[f_{1},f_{2}\right].}$ ${\displaystyle i_{1}}$ ${\displaystyle i_{2}}$

La definición de coproducto se puede extender a una familia arbitraria de objetos indexados por un conjunto. El coproducto de la familia es un objeto junto con una colección de morfismos tales que, para cualquier objeto y cualquier colección de morfismos existe un morfismo único tal que Es decir, el siguiente diagrama conmuta para cada uno : ${\displaystyle J.}$ ${\displaystyle \left\{X_{j}:j\in J\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i_{j}:X_{j}\to X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{j}:X_{j}\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f_{j}=f\circ i_{j}.}$ ${\displaystyle j\in J}$

El coproducto de la familia a menudo se denota o ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{X_{j}\right\}}$ ${\displaystyle \coprod _{j\in J}X_{j}}$ ${\displaystyle \bigoplus _{j\in J}X_{j}.}$

A veces, el morfismo puede indicarse para indicar su dependencia de los individuos . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \coprod _{j\in J}f_{j}}$ ${\displaystyle f_{j}}$

Ejemplos

El coproducto en la categoría de conjuntos es simplemente la unión disjunta siendo los mapas i _j los mapas de inclusión . A diferencia de los productos directos , no todos los coproductos en otras categorías se basan obviamente en la noción de conjuntos, porque las uniones no se comportan bien con respecto a las operaciones de preservación (por ejemplo, la unión de dos grupos no tiene por qué ser un grupo), por lo que los coproductos en diferentes categorías Las categorías pueden ser dramáticamente diferentes entre sí. Por ejemplo, el coproducto en la categoría de grupos , llamado producto gratuito , es bastante complicado. Por otro lado, en la categoría de grupos abelianos (e igualmente para espacios vectoriales ), el coproducto, llamado suma directa , consta de los elementos del producto directo que tienen sólo un número finito de términos distintos de cero. (Por lo tanto, coincide exactamente con el producto directo en el caso de un número finito de factores).

Dado un anillo conmutativo R , el coproducto en la categoría de R -álgebras conmutativas es el producto tensorial . En la categoría de R -álgebras (no conmutativas) , el coproducto es un cociente del álgebra tensorial (ver producto libre de álgebras asociativas ).

En el caso de espacios topológicos , los coproductos son uniones disjuntas con sus topologías de unión disjuntas . Es decir, se trata de una unión disjunta de los conjuntos subyacentes, y los conjuntos abiertos son conjuntos abiertos en cada uno de los espacios , en un sentido bastante evidente. En la categoría de espacios puntiagudos , fundamental en la teoría de la homotopía , el coproducto es la suma de cuñas (que equivale a unir una colección de espacios con puntos base en un punto base común).

El concepto de unión disjunta subyace secretamente a los ejemplos anteriores: la suma directa de grupos abelianos es el grupo generado por la unión "casi" disjunta (unión disjunta de todos los elementos distintos de cero, junto con un cero común), de manera similar para los espacios vectoriales: el espacio abarcado por la unión "casi" disjunta; el producto gratuito para grupos se genera por el conjunto de todas las letras de una unión similar "casi disjunta" donde no se permite que dos elementos de conjuntos diferentes conmuten. Este patrón es válido para cualquier variedad en el sentido del álgebra universal .

El coproducto en la categoría de espacios de Banach con mapas cortos es la suma l 1 , que no puede conceptualizarse tan fácilmente como una suma "casi disjunta", pero tiene una bola unitaria generada casi de manera inconexa por la bola unitaria que son los cofactores. ^[1]

El coproducto de una categoría poset es la operación de unión .

Discusión

La construcción de coproducto dada anteriormente es en realidad un caso especial de colimit en la teoría de categorías. El coproducto en una categoría se puede definir como el colímite de cualquier funtor de una categoría discreta en . No todas las familias tendrán un coproducto en general, pero si lo tienen, entonces el coproducto es único en un sentido fuerte: si y son dos coproductos de la familia , entonces (según la definición de coproductos) existe un isomorfismo único tal que para cada . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$ ${\displaystyle i_{j}:X_{j}\rightarrow X}$ ${\displaystyle k_{j}:X_{j}\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f\circ i_{j}=k_{j}}$ ${\displaystyle j\in J}$

Como ocurre con cualquier propiedad universal , el coproducto puede entenderse como un morfismo universal. Sea el funtor diagonal que asigna a cada objeto el par ordenado y a cada morfismo el par . Entonces el coproducto in viene dado por un morfismo universal al funtor del objeto in . ${\displaystyle \Delta :C\rightarrow C\times C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,X\right)}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \left(f,f\right)}$ ${\displaystyle X+Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \left(X,Y\right)}$ ${\displaystyle C\times C}$

El coproducto indexado por el conjunto vacío (es decir, un coproducto vacío ) es el mismo que un objeto inicial en . ${\displaystyle C}$

Si es un conjunto tal que existen todos los coproductos de las familias indexadas , entonces es posible elegir los productos de manera compatible para que el coproducto se convierta en un functor . El coproducto de la familia a menudo se denota por ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C^{J}\rightarrow C}$ ${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$

${\displaystyle \coprod _{j\in J}X_{j}}$

y los mapas se conocen como inyecciones naturales . ${\displaystyle i_{j}}$

Denotando el conjunto de todos los morfismos desde a in (es decir, un conjunto hom en ), tenemos un isomorfismo natural ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}\left(U,V\right)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}\left(\coprod _{j\in J}X_{j},Y\right)\cong \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} _{C}(X_{j},Y)}$

dado por la biyección que mapea cada tupla de morfismos

${\displaystyle (f_{j})_{j\in J}\in \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} (X_{j},Y)}$

(un producto en Set , la categoría de conjuntos , que es el producto cartesiano , por lo que es una tupla de morfismos) al morfismo

${\displaystyle \coprod _{j\in J}f_{j}\in \operatorname {Hom} \left(\coprod _{j\in J}X_{j},Y\right).}$

Que este mapa es una sobreyección se desprende de la conmutatividad del diagrama: cualquier morfismo es el coproducto de la tupla ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (f\circ i_{j})_{j\in J}.}$

Que se trate de una inyección se desprende de la construcción universal que estipula la unicidad de tales mapas. La naturalidad del isomorfismo también es consecuencia del diagrama. Así, el functor hom contravariante convierte los coproductos en productos. Dicho de otra manera, el hom-functor, visto como un funtor de la categoría opuesta a Set , es continuo; conserva límites (un coproducto en es un producto en ). ${\displaystyle C^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\operatorname {op} }}$

Si es un conjunto finito , por ejemplo , entonces el coproducto de objetos a menudo se denota por . Supongamos que todos los coproductos finitos existen en C , los funtores de coproducto se han elegido como se indicó anteriormente y 0 denota el objeto inicial de C correspondiente al coproducto vacío. Entonces tenemos isomorfismos naturales. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J=\lbrace 1,\ldots ,n\rbrace }$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle X_{1}\oplus \ldots \oplus X_{n}}$

${\displaystyle X\oplus (Y\oplus Z)\cong (X\oplus Y)\oplus Z\cong X\oplus Y\oplus Z}$

${\displaystyle X\oplus 0\cong 0\oplus X\cong X}$

${\displaystyle X\oplus Y\cong Y\oplus X.}$

Estas propiedades son formalmente similares a las de un monoide conmutativo ; una categoría con coproductos finitos es un ejemplo de categoría monoidal simétrica .

Si la categoría tiene un objeto cero , entonces tenemos un morfismo único (ya que es terminal ) y por lo tanto un morfismo . Como también es inicial, tenemos un isomorfismo canónico como en el párrafo anterior. Así tenemos morfismos y , por los cuales inferimos un morfismo canónico . Esto puede extenderse por inducción a un morfismo canónico desde cualquier coproducto finito al producto correspondiente. En general, este morfismo no tiene por qué ser un isomorfismo; en Grp es un epimorfismo propio mientras que en Set _* (la categoría de conjuntos puntiagudos ) es un monomorfismo propio . En cualquier categoría preaditiva , este morfismo es un isomorfismo y el objeto correspondiente se conoce como biproducto . Una categoría con todos los subproductos finitos se conoce como categoría semiaditiva . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X\rightarrow Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow Z\oplus Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z\oplus Y\cong Y}$ ${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow X}$ ${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow X\times Y}$

Si todas las familias de objetos indexados por tienen coproductos en , entonces el coproducto comprende un functor . Tenga en cuenta que, al igual que el producto, este functor es covariante . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{J}\rightarrow C}$

Ver también

• Producto
• Límites y colimites
• coecualizador
• límite directo

Referencias

1. Qiaochu Yuan (23 de junio de 2012). "Espacios de Banach (y métricas de Lawvere y categorías cerradas)". Precisión molesta .

• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 5 (2ª ed.). Nueva York, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Zbl  0906.18001.

enlaces externos

• Página web interactiva que genera ejemplos de coproductos en la categoría de conjuntos finitos. Escrito por Jocelyn Paine.