Topología de Nisnevich

Estructura en geometría algebraica.

En geometría algebraica , la topología de Nisnevich , a veces llamada topología completamente descompuesta , es una topología de Grothendieck en la categoría de esquemas que se ha utilizado en la teoría K algebraica , la teoría de la homotopía A¹ y la teoría de motivos . Fue introducido originalmente por Yevsey Nisnevich, quien estaba motivado por la teoría de Adeles .

Definición

Un morfismo de esquemas se llama morfismo de Nisnevich si es un morfismo étale tal que para cada punto (posiblemente no cerrado) x ∈ X , existe un punto y ∈ Y en la fibra f ⁻¹ ( x ) tal que el inducido mapa de campos de residuos k ( x ) → k ( y ) es un isomorfismo. De manera equivalente, f debe ser plana , no ramificada , localmente de presentación finita, y para cada punto x ∈ X , debe existir un punto y en la fibra f ⁻¹ ( x ) tal que k ( x ) → k ( y ) sea un isomorfismo. ${\displaystyle f:Y\to X}$

Una familia de morfismos { u _α  : X _α → X } es una cubierta de Nisnevich si cada morfismo en la familia es étale y para cada punto (posiblemente no cerrado) x ∈ X , existe α y un punto y ∈ X _α st u _α ( y ) = x y el mapa inducido de campos de residuos k ( x ) → k ( y ) es un isomorfismo. Si la familia es finita, esto equivale a que el morfismo de a X sea un morfismo de Nisnevich. Las coberturas de Nisnevich son las familias de cobertura de una pretopología en la categoría de esquemas y morfismos de esquemas. Esto genera una topología llamada topología de Nisnevich . La categoría de esquemas con topología de Nisnevich se anota como Nis . ${\displaystyle \coprod u_{\alpha }}$ ${\displaystyle \coprod X_{\alpha }}$

El pequeño sitio Nisnevich de X tiene como categoría subyacente la misma que el pequeño sitio étale, es decir, los objetos son esquemas U con un morfismo étale fijo U → X y los morfismos son morfismos de esquemas compatibles con los mapas fijos de X. Las coberturas admisibles son morfismos de Nisnevich.

El gran sitio de Nisnevich de X tiene esquemas de categorías subyacentes con un mapa fijo para X y morfismos de los esquemas X. La topología es la dada por los morfismos de Nisnevich.

La topología de Nisnevich tiene varias variantes que se adaptan al estudio de variedades singulares. Las coberturas en estas topologías incluyen resoluciones de singularidades o formas más débiles de resolución.

• La topología cdh permite morfismos biracionales adecuados como coberturas.
• La topología h permite las alteraciones de De Jong como coberturas.
• La topología l′ permite morfismos como en la conclusión del teorema de uniformización local de Gabber.

Las topologías cdh y l′ son incomparables con la topología étale , y la topología h es más fina que la topología étale.

Condiciones equivalentes para una cobertura Nisnevich

Supongamos que la categoría consta de esquemas suaves sobre un esquema qcqs (cuasi compacto y cuasi separado), entonces la definición original debida a Nisnevich ^{[1] Observación 3.39} , que es equivalente a la definición anterior, para una familia de morfismos de esquemas para ser una cubierta de Nisnevich es si ${\displaystyle \{p_{\alpha }:U_{\alpha }\to X\}_{\alpha \in A}}$

1. Todo es étale; y ${\displaystyle p_{\alpha }}$
2. Para todos los campos , en el nivel de puntos, el coproducto (teórico de conjuntos) de todos los morfismos de cobertura es sobreyectivo. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p_{k}:\coprod _{\alpha }U_{\alpha }(k)\to X(k)}$ ${\displaystyle p_{\alpha }}$

La siguiente condición equivalente adicional para las coberturas de Nisnevich se debe a Lurie ^{[ cita requerida ]} : La topología de Nisnevich es generada por todas las familias finitas de morfismos étale tales que hay una secuencia finita de subesquemas cerrados presentados finitamente. ${\displaystyle \{p_{\alpha }:U_{\alpha }\to X\}_{\alpha \in A}}$

${\displaystyle \varnothing =Z_{n+1}\subseteq Z_{n}\subseteq \cdots \subseteq Z_{1}\subseteq Z_{0}=X}$

tal que para , ${\displaystyle 0\leq m\leq n}$

${\displaystyle \coprod _{\alpha \in A}p_{\alpha }^{-1}(Z_{m}-Z_{m+1})\to Z_{m}-Z_{m+1}}$

admite un apartado.

Tenga en cuenta que al evaluar estos morfismos en puntos, esto implica que el mapa es una sobreyección. Por el contrario, tomar la secuencia trivial da el resultado en la dirección opuesta. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Z_{0}=X}$

Motivación

Una de las motivaciones clave ^[2] para introducir la topología de Nisnevich en la cohomología motívica es el hecho de que una cubierta abierta de Zariski no produce una resolución de gavillas de Zariski ^[3]. ${\displaystyle \pi :U\to X}$

${\displaystyle \cdots \to \mathbf {Z} _{tr}(U\times _{X}U)\to \mathbf {Z} _{tr}(U)\to \mathbf {Z} _{tr}(X)\to 0}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {Z} _{tr}(Y)(Z):={\text{Hom}}_{cor}(Z,Y)}$

es el functor representable sobre la categoría de presheaves con transferencias. Para la topología de Nisnevich, los anillos locales son henselianos, y una cubierta finita de un anillo henseliano viene dada por un producto de anillos henselianos, lo que muestra exactitud.

Anillos locales en la topología de Nisnevich

Si x es un punto de un esquema X , entonces el anillo local de x en la topología de Nisnevich es la Henselización del anillo local de x en la topología de Zariski. Esto difiere de la topología de Etale donde los anillos locales son henselizaciones estrictas . Uno de los puntos importantes entre los dos casos se puede ver al observar un anillo local con campo residual . En este caso, los campos de residuos de la Henselización y la Henselización estricta difieren ^[4] ${\displaystyle (R,{\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle {\begin{aligned}(R,{\mathfrak {p}})^{h}&\rightsquigarrow \kappa \\(R,{\mathfrak {p}})^{sh}&\rightsquigarrow \kappa ^{sep}\end{aligned}}}$

entonces el campo residual de la Henselización estricta da el cierre separable del campo residual original . ${\displaystyle \kappa }$

Ejemplos de revestimiento de Nisnevich

Considere la portada étale dada por

${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,t,t^{-1}]/(x^{2}-t))\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])}$

Si observamos el morfismo asociado de los campos residuales para el punto genérico de la base, vemos que se trata de una extensión de grado 2.

${\displaystyle \mathbb {C} (t)\to {\frac {\mathbb {C} (t)[x]}{(x^{2}-t)}}}$

Esto implica que esta portada étale no es Nisnevich. Podemos agregar el morfismo étale para obtener una cobertura de Nisnevich ya que existe un isomorfismo de puntos para el punto genérico de . ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}-\{0,1\}\to \mathbb {A} ^{1}-\{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}-\{0\}}$

Cobertura condicional

Si tomamos como esquema sobre un campo , entonces una cobertura ^{[1] pg 21} dada por ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}i:\mathbb {A} ^{1}-\{a\}\hookrightarrow \mathbb {A} ^{1}\\f:\mathbb {A} ^{1}-\{0\}\to \mathbb {A} ^{1}\end{aligned}}}$

donde está la inclusión y , entonces esta cobertura es Nisnevich si y sólo si tiene solución encima . De lo contrario, la cobertura no puede ser una sobreposición de puntos. En este caso, el revestimiento es sólo un revestimiento Etale. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f(x)=x^{k}}$ ${\displaystyle x^{k}=a}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Revestimientos Zariski

Cada Zariski que cubre ^{[1] página 21} es Nisnevich, pero lo contrario no se cumple en general. ^[5] Esto se puede probar fácilmente usando cualquiera de las definiciones, ya que los campos residuales siempre serán un isomorfismo independientemente de la cobertura de Zariski y, por definición, una cobertura de Zariski dará una sobreyección de puntos. Además, las inclusiones de Zariski son siempre morfismos de Etale.

Aplicaciones

Nisnevich introdujo su topología para proporcionar una interpretación cohomológica del conjunto de clases de un esquema de grupo afín, que originalmente se definió en términos adélicos. Lo usó para probar parcialmente una conjetura de Alexander Grothendieck y Jean-Pierre Serre que establece que un torsor racionalmente trivial bajo un esquema de grupo reductivo sobre un esquema de base noetheriano regular integral es localmente trivial en la topología de Zariski . Una de las propiedades clave de la topología de Nisnevich es la existencia de una secuencia espectral descendente . Sea X un esquema noetheriano de dimensión finita de Krull, y sea G _n ( X ) los grupos K de Quillen de la categoría de haces coherentes en X . Si es la gavilla de estos grupos con respecto a la topología de Nisnevich, existe una secuencia espectral convergente ${\displaystyle {\tilde {G}}_{n}^{\,{\text{cd}}}(X)}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(X_{\text{cd}},{\tilde {G}}_{q}^{\,{\text{cd}}})\Rightarrow G_{q-p}(X)}$

para p ≥ 0 , q ≥ 0 y p - q ≥ 0 . Si es un número primo no igual a la característica de X , entonces existe una secuencia espectral convergente análoga para K-grupos con coeficientes en . ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /\ell \mathbf {Z} }$

La topología de Nisnevich también ha encontrado aplicaciones importantes en la teoría K algebraica , la teoría de la homotopía A¹ y la teoría de los motivos . ^{[6] [7]}

Ver también

• Prehaz con transferencias
• Motivos mixtos (matemáticas)
• A¹ teoría de la homotopía
• anillo henseliano

Referencias

1. Antieau, Benjamín; Elmanto, Elden (7 de noviembre de 2016). "Una introducción a la teoría de la homotopía motívica inestable". arXiv : 1605.00929 [matemáticas.AG].
2. Bloch, Spencer. Conferencias sobre ciclos algebraicos . Cambridge. págs.ix.
3. Apuntes de conferencias sobre cohomología motívica . ejemplo 6.13, páginas 39-40.
4. "Sección 10.154 (0BSK): Henselización y henselización estricta: el proyecto Stacks". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 25 de enero de 2021 .
5. "contraejemplos: una portada de Nisnevich que no es Zariski". Desbordamiento matemático . Consultado el 25 de enero de 2021 .
6. Voevodsky, Vladimir. «Categorías trianguladas de motivos sobre un campo k» (PDF) . Revista de teoría K. Proposición 3.1.3.
7. "Topología de Nisnevich" (PDF) . Archivado desde el original el 23 de septiembre de 2017.{{cite web}}: Mantenimiento CS1: bot: estado de la URL original desconocido ( enlace )

• Nisnevich, Yevsey A. (1989). "La topología completamente descompuesta en esquemas y secuencias espectrales de descenso asociadas en la teoría K algebraica". En JF Jardine y VP Snaith (ed.). Teoría K algebraica: conexiones con geometría y topología. Actas del Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN celebradas en Lake Louise, Alberta, del 7 al 11 de diciembre de 1987 . Serie C de Institutos de Ciencias Avanzadas de la OTAN: Ciencias Físicas y Matemáticas. vol. 279. Dordrecht: Grupo de editores académicos de Kluwer. págs. 241–342., disponible en el sitio web de Nisnevich

• Levine, Marc (2008), Teoría de la homotopía motívica (PDF)