propiedad universal

Caracterización de la propiedad de las construcciones matemáticas.

El diagrama típico de la definición de un morfismo universal.

En matemáticas , más concretamente en teoría de categorías , una propiedad universal es una propiedad que caracteriza hasta un isomorfismo el resultado de unas construcciones. Por tanto, las propiedades universales se pueden utilizar para definir algunos objetos independientemente del método elegido para construirlos. Por ejemplo, las definiciones de los números enteros a partir de los números naturales , de los números racionales a partir de los números enteros, de los números reales a partir de los números racionales y de los anillos polinomiales a partir del campo de sus coeficientes se pueden hacer en términos de propiedades universales. En particular, el concepto de propiedad universal permite una prueba sencilla de que todas las construcciones de números reales son equivalentes: basta demostrar que satisfacen la misma propiedad universal.

Técnicamente, una propiedad universal se define en términos de categorías y functores mediante un morfismo universal (ver § Definición formal, más abajo). Los morfismos universales también se pueden pensar de manera más abstracta como objetos iniciales o terminales de una categoría de coma (ver § Conexión con categorías de coma, más abajo).

Las propiedades universales ocurren en casi todas partes en matemáticas, y el uso del concepto permite el uso de propiedades generales de propiedades universales para probar fácilmente algunas propiedades que de otro modo necesitarían verificaciones aburridas. Por ejemplo, dado un anillo conmutativo R , el campo de fracciones del anillo cociente de R por un ideal primo p puede identificarse con el campo residual de la localización de R en p ; es decir (todas estas construcciones pueden definirse mediante propiedades universales). ${\displaystyle R_{p}/pR_{p}\cong \operatorname {Frac} (R/p)}$

Otros objetos que pueden definirse por propiedades universales incluyen: todos los objetos libres , productos directos y sumas directas , grupos libres , celosías libres , grupo de Grothendieck , compleción de un espacio métrico , compleción de un anillo , compleción de Dedekind-MacNeille , topologías de productos , Stone –Compactificación de Čech , productos tensoriales , límite inverso y límite directo , núcleos y núcleos , grupos de cocientes , espacios vectoriales cocientes y otros espacios cocientes .

Motivación

Antes de dar una definición formal de propiedades universales, ofrecemos algunas motivaciones para estudiar tales construcciones.

• Los detalles concretos de una construcción determinada pueden ser confusos, pero si la construcción satisface una propiedad universal, uno puede olvidar todos esos detalles: todo lo que hay que saber sobre la construcción ya está contenido en la propiedad universal. Las pruebas suelen ser breves y elegantes si se utiliza la propiedad universal en lugar de los detalles concretos. Por ejemplo, el álgebra tensorial de un espacio vectorial es un poco complicado de construir, pero mucho más fácil de abordar gracias a su propiedad universal.
• Las propiedades universales definen objetos de forma única hasta un isomorfismo único . ^[1] Por lo tanto, una estrategia para demostrar que dos objetos son isomorfos es demostrar que satisfacen la misma propiedad universal.
• Las construcciones universales son de naturaleza funtorial: si se puede realizar la construcción para cada objeto en una categoría C, entonces se obtiene un funtor en C. Además, este funtor es un adjunto derecho o izquierdo del funtor U utilizado en la definición de la propiedad universal. ^[2]
• Las propiedades universales ocurren en todas partes en matemáticas. Al comprender sus propiedades abstractas, se obtiene información sobre todas estas construcciones y se puede evitar repetir el mismo análisis para cada caso individual.

Definicion formal

Para comprender la definición de construcción universal, es importante mirar ejemplos. Las construcciones universales no se definieron de la nada, sino que se definieron después de que los matemáticos comenzaron a notar un patrón en muchas construcciones matemáticas (ver ejemplos a continuación). Por lo tanto, la definición puede no tener sentido al principio, pero quedará clara cuando se la reconcilie con ejemplos concretos.

Sea un functor entre categorías y . En lo que sigue, seamos un objeto de , y seamos objetos de , y seamos un morfismo en . ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle h:A\to A'}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Luego, el funtor se asigna , y en , y en . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F(A)}$ ${\displaystyle F(A')}$ ${\displaystyle F(h)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Un morfismo universal de a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ es un par único que tiene la siguiente propiedad, comúnmente denominada propiedad universal : ${\displaystyle (A,u:X\to F(A))}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Para cualquier morfismo de la forma en , existe un morfismo único en tal que el siguiente diagrama conmuta : ${\displaystyle f:X\to F(A')}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle h:A\to A'}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

El diagrama típico de la definición de un morfismo universal.

Podemos dualizar este concepto categórico. Un morfismo universal de a ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ es un par único que satisface la siguiente propiedad universal: ${\displaystyle (A,u:F(A)\to X)}$

Para cualquier morfismo de la forma en , existe un morfismo único en tal que el siguiente diagrama conmuta: ${\displaystyle f:F(A')\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle h:A'\to A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

La flecha más importante aquí es la que establece la propiedad universal. ${\displaystyle u:F(A)\to X}$

Tenga en cuenta que en cada definición las flechas están invertidas. Ambas definiciones son necesarias para describir construcciones universales que aparecen en matemáticas; pero también surgen debido a la dualidad inherente presente en la teoría de categorías. En cualquier caso, decimos que el par que se comporta como arriba satisface una propiedad universal. ${\displaystyle (A,u)}$

Conexión con categorías de coma

Los morfismos universales se pueden describir de manera más concisa como objetos iniciales y terminales en una categoría de coma (es decir, una en la que los morfismos se consideran objetos por derecho propio).

Sea un functor y un objeto de . Luego recuerde que la categoría de coma es la categoría donde ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle (X\downarrow F)}$

• Los objetos son pares de la forma , ¿dónde está un objeto en ${\displaystyle (B,f:X\to F(B))}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• Un morfismo de a viene dado por un morfismo de tal manera que el diagrama conmuta: ${\displaystyle (B,f:X\to F(B))}$ ${\displaystyle (B',f':X\to F(B'))}$ ${\displaystyle h:B\to B'}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Un morfismo en la categoría de coma viene dado por el morfismo que también hace que el diagrama conmute. ${\displaystyle h:B\to B'}$

Ahora supongamos que el objeto en es inicial. Entonces, para cada objeto , existe un morfismo único tal que el siguiente diagrama conmuta. ${\displaystyle (A,u:X\to F(A))}$ ${\displaystyle (X\downarrow F)}$ ${\displaystyle (A',f:X\to F(A'))}$ ${\displaystyle h:A\to A'}$

Esto demuestra la conexión entre un diagrama universal y un objeto inicial en una categoría de coma.

Tenga en cuenta que la igualdad aquí simplemente significa que los diagramas son iguales. También tenga en cuenta que el diagrama en el lado derecho de la igualdad es exactamente el mismo que el que se ofrece al definir un morfismo universal de a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ . Por tanto, vemos que un morfismo universal de a es equivalente a un objeto inicial en la categoría coma . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (X\downarrow F)}$

Por el contrario, recuerde que la categoría de coma es la categoría donde ${\displaystyle (F\downarrow X)}$

• Los objetos son pares de la forma donde hay un objeto en ${\displaystyle (B,f:F(B)\to X)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• Un morfismo de a viene dado por un morfismo de tal manera que el diagrama conmuta: ${\displaystyle (B,f:F(B)\to X)}$ ${\displaystyle (B',f':F(B')\to X)}$ ${\displaystyle h:B\to B'}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Esto simplemente demuestra la definición de un morfismo en una categoría de coma.

Supongamos que es un objeto terminal en . Entonces, para cada objeto , existe un morfismo único tal que los siguientes diagramas conmutan. ${\displaystyle (A,u:F(A)\to X)}$ ${\displaystyle (F\downarrow X)}$ ${\displaystyle (A',f:F(A')\to X)}$ ${\displaystyle h:A'\to A}$

Esto muestra que un objeto terminal en una categoría de coma específica corresponde a un morfismo universal.

El diagrama en el lado derecho de la igualdad es el mismo diagrama que se muestra al definir un morfismo universal de a ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ . Por lo tanto, un morfismo universal de a corresponde con un objeto terminal en la categoría de coma . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (F\downarrow X)}$

Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos para resaltar la idea general. El lector puede construir muchos otros ejemplos consultando los artículos mencionados en la introducción.

Álgebras tensoriales

Sea la categoría de espacios vectoriales -Vect sobre un campo y sea la categoría de álgebras -Alg sobre (se supone unital y asociativo ). Dejar ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle U}$ : -Alg → -Vect ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Sea el funtor olvidadizo que asigna a cada álgebra su espacio vectorial subyacente.

Dado cualquier espacio vectorial podemos construir el álgebra tensorial . El álgebra tensorial se caracteriza por el hecho: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T(V)}$

"Cualquier aplicación lineal desde hasta un álgebra se puede extender de forma única a un homomorfismo de álgebra desde hasta ". ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T(V)}$ ${\displaystyle A}$

Esta afirmación es una propiedad inicial del álgebra tensorial ya que expresa el hecho de que el par , donde está el mapa de inclusión, es un morfismo universal del espacio vectorial al funtor . ${\displaystyle (T(V),i)}$ ${\displaystyle i:V\to U(T(V))}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$

Dado que esta construcción funciona para cualquier espacio vectorial , concluimos que es un funtor de -Vect a -Alg . Esto significa que se deja adjunto al funtor olvidadizo (consulte la sección siguiente sobre la relación con los funtores adjuntos). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$

Productos

Un producto categórico puede caracterizarse por una construcción universal. Para ser más concretos, se puede considerar el producto cartesiano en Set , el producto directo en Grp o la topología del producto en Top , donde existen productos.

Sean y sean objetos de una categoría con productos finitos. El producto de y es un objeto × junto con dos morfismos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \pi _{1}}$ : ${\displaystyle X\times Y\to X}$

${\displaystyle \pi _{2}}$ : ${\displaystyle X\times Y\to Y}$

tal que para cualquier otro objeto de y morfismos y existe un morfismo único tal que y . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle f:Z\to X}$ ${\displaystyle g:Z\to Y}$ ${\displaystyle h:Z\to X\times Y}$ ${\displaystyle f=\pi _{1}\circ h}$ ${\displaystyle g=\pi _{2}\circ h}$

Para entender esta caracterización como una propiedad universal, tome la categoría como la categoría del producto y defina el funtor diagonal. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle \Delta :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$

por y . Entonces es un morfismo universal de a el objeto de : si hay algún morfismo de a , entonces debe ser igual a un morfismo de a seguido de . Como diagrama conmutativo: ${\displaystyle \Delta (X)=(X,X)}$ ${\displaystyle \Delta (f:X\to Y)=(f,f)}$ ${\displaystyle (X\times Y,(\pi _{1},\pi _{2}))}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (f,g)}$ ${\displaystyle (Z,Z)}$ ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle \Delta (h:Z\to X\times Y)=(h,h)}$ ${\displaystyle \Delta (Z)=(Z,Z)}$ ${\displaystyle \Delta (X\times Y)=(X\times Y,X\times Y)}$ ${\displaystyle (\pi _{1},\pi _{2})}$

Diagrama conmutativo que muestra cómo los productos tienen una propiedad universal.

Para el ejemplo del producto cartesiano en Set , el morfismo comprende las dos proyecciones y . Dado cualquier conjunto y funciones, el mapa único tal que el diagrama requerido conmuta está dado por . ^[3] ${\displaystyle (\pi _{1},\pi _{2})}$ ${\displaystyle \pi _{1}(x,y)=x}$ ${\displaystyle \pi _{2}(x,y)=y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle h=\langle x,y\rangle (z)=(f(z),g(z))}$

Límites y colimites

Los productos categóricos son un tipo particular de límite en la teoría de categorías. Se puede generalizar el ejemplo anterior a límites y colimits arbitrarios.

Sean y sean categorías con una categoría de índice pequeña y sea la categoría de functor correspondiente . El funtor diagonal ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$

${\displaystyle \Delta :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$

es el funtor que asigna cada objeto al funtor constante (es decir, para cada in y para cada in ) y cada morfismo a la transformación natural definida como, para cada objeto de , el componente ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \Delta (N):{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \Delta (N)(X)=N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle \Delta (N)(f)=1_{N}}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle f:N\to M}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \Delta (f):\Delta (N)\to \Delta (M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$

$${\displaystyle \Delta (f)(X):\Delta (N)(X)\to \Delta (M)(X)=f:N\to M}$$

${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:N\to M}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$

Dado un functor (considerado como un objeto en ), el límite de , si existe, no es más que un morfismo universal de a . Dualmente, el colimit de es un morfismo universal de a . ${\displaystyle F:{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Delta }$

Propiedades

Existencia y unicidad

Definir una cantidad no garantiza su existencia. Dado un functor y un objeto de , puede existir o no un morfismo universal de a . Sin embargo, si existe un morfismo universal, entonces es esencialmente único. Específicamente, es único hasta un isomorfismo único : si es otro par, entonces existe un isomorfismo único tal que . Esto se ve fácilmente sustituyendo en la definición de morfismo universal. ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (A,u)}$ ${\displaystyle (A',u')}$ ${\displaystyle k:A\to A'}$ ${\displaystyle u'=F(k)\circ u}$ ${\displaystyle (A,u')}$

Es la pareja la que es esencialmente única en este sentido. El objeto en sí es único sólo hasta el isomorfismo. De hecho, si es un morfismo universal y hay cualquier isomorfismo, entonces el par , donde también es un morfismo universal. ${\displaystyle (A,u)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A,u)}$ ${\displaystyle k:A\to A'}$ ${\displaystyle (A',u')}$ ${\displaystyle u'=F(k)\circ u}$

Formulaciones equivalentes

La definición de morfismo universal se puede reformular de diversas formas. Sea un funtor y sea un objeto de . Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

• ${\displaystyle (A,u)}$es un morfismo universal de a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$
• ${\displaystyle (A,u)}$es un objeto inicial de la categoría de coma ${\displaystyle (X\downarrow F)}$
• ${\displaystyle (A,F(\bullet )\circ u)}$es una representación de , donde sus componentes están definidos por ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(X,F(-))}$ ${\displaystyle (F(\bullet )\circ u)_{B}:{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B)\to {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(X,F(B))}$

$${\displaystyle (F(\bullet )\circ u)_{B}(f:A\to B):X\to F(B)=F(f)\circ u:X\to F(B)}$$

para cada objeto en ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

Las declaraciones duales también son equivalentes:

• ${\displaystyle (A,u)}$es un morfismo universal de a ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle (A,u)}$es un objeto terminal de la categoría de coma ${\displaystyle (F\downarrow X)}$
• ${\displaystyle (A,u\circ F(\bullet ))}$es una representación de , donde sus componentes están definidos por ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(F(-),X)}$ ${\displaystyle (u\circ F(\bullet ))_{B}:{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(B,A)\to {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(F(B),X)}$

$${\displaystyle (u\circ F(\bullet ))_{B}(f:B\to A):F(B)\to X=u\circ F(f):F(B)\to X}$$

para cada objeto en ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

Relación con funtores adjuntos

Supongamos que es un morfismo universal de a y es un morfismo universal de a . Por la propiedad universal de los morfismos universales, dado cualquier morfismo existe un morfismo único tal que el siguiente diagrama conmuta: ${\displaystyle (A_{1},u_{1})}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (A_{2},u_{2})}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle h:X_{1}\to X_{2}}$ ${\displaystyle g:A_{1}\to A_{2}}$

Los morfismos universales pueden comportarse como una transformación natural entre functores en condiciones adecuadas.

Si todo objeto de admite un morfismo universal , entonces la asignación y define un functor . Luego, los mapas definen una transformación natural de (el functor de identidad en ) a . Los functores son entonces un par de functores adjuntos , con adjunto izquierdo a y adjunto derecho a . ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X_{i}\mapsto A_{i}}$ ${\displaystyle h\mapsto g}$ ${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle 1_{\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle F\circ G}$ ${\displaystyle (F,G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

Declaraciones similares se aplican a la situación dual de los morfismos terminales de . Si tales morfismos existen para cada uno, se obtiene un funtor que es adjunto por la derecha (también lo es por la izquierda ). ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

De hecho, todos los pares de functores adjuntos surgen de construcciones universales de esta manera. Sea y un par de funtores adjuntos con unidad y counidad (consulte el artículo sobre funtores adjuntos para conocer las definiciones). Entonces tenemos un morfismo universal para cada objeto en y : ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

• Para cada objeto en , hay un morfismo universal de a . Es decir, para todos existe un único para el cual conmutan los siguientes diagramas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (F(X),\eta _{X})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f:X\to G(Y)}$ ${\displaystyle g:F(X)\to Y}$
• Para cada objeto en , hay un morfismo universal de a . Es decir, para todos existe un único para el cual conmutan los siguientes diagramas. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle (G(Y),\epsilon _{Y})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle g:F(X)\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to G(Y)}$

La unidad y la cuenta de una adjunción, que son transformaciones naturales entre functores, son un ejemplo importante de morfismos universales.

Las construcciones universales son más generales que los pares de funtores adjuntos: una construcción universal es como un problema de optimización; da lugar a un par adjunto si y sólo si este problema tiene una solución para cada objeto de (equivalentemente, cada objeto de ). ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Historia

Pierre Samuel presentó las propiedades universales de diversas construcciones topológicas en 1948. Posteriormente, Bourbaki las utilizó ampliamente . El concepto estrechamente relacionado de funtores adjuntos fue introducido de forma independiente por Daniel Kan en 1958.

Ver también

• Portal de matemáticas

• Objeto libre
• Transformación natural
• funtor adjunto
• Mónada (teoría de categorías)
• Variedad de álgebras
• Categoría cerrada cartesiana

Notas

1. Jacobson (2009), Proposición 1.6, p. 44.
2. Véase, por ejemplo, Polcino y Sehgal (2002), p. 133. ejercicio 1, sobre la propiedad universal de los anillos de grupo .
3. Fong, Brendan; Spivak, David I. (12 de octubre de 2018). "Siete bocetos de composicionalidad: una invitación a la teoría de categorías aplicada". arXiv : 1803.05316 [matemáticas.CT].

Referencias

• Paul Cohn , Álgebra universal (1981), D.Reidel Publishing, Holanda. ISBN 90-277-1213-1 . 
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas 5 (2ª ed.). Saltador. ISBN 0-387-98403-8.
• Borceux, F. Manual de álgebra categórica: vol 1 Teoría de categorías básicas (1994) Cambridge University Press, (Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones) ISBN 0-521-44178-1 
• N. Bourbaki, Livre II: Algèbre (1970), Hermann, ISBN 0-201-00639-1 . 
• Miliés, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K.. Introducción a los anillos grupales . Álgebras y aplicaciones, Volumen 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0 
• Jacobson. Álgebra básica II. Dover. 2009. ISBN 0-486-47187-X 

enlaces externos

• nLab, un proyecto wiki sobre matemáticas, física y filosofía con énfasis en el punto de vista n -categórico
• André Joyal , CatLab, un proyecto wiki dedicado a la exposición de las matemáticas categóricas
• Hillman, Chris (2001). Una cartilla categórica . CiteSeerX  10.1.1.24.3264 :Introducción formal a la teoría de categorías.
• J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Categorías abstractas y concretas: la alegría de los gatos
• Enciclopedia de Filosofía de Stanford : "Teoría de categorías", por Jean-Pierre Marquis. Amplia bibliografía.
• Lista de conferencias académicas sobre teoría de categorías
• Baez, John, 1996, "El cuento de las n categorías". Una introducción informal a las categorías de orden superior.
• WildCats es un paquete de teoría de categorías para Mathematica . Manipulación y visualización de objetos, morfismos , categorías, funtores , transformaciones naturales , propiedades universales .
• The catsters, un canal de YouTube sobre teoría de categorías.
• Archivo de vídeos de charlas grabadas relevantes para categorías, lógica y fundamentos de la física.
• Página web interactiva que genera ejemplos de construcciones categóricas en la categoría de conjuntos finitos.