Fijar una categoría Sean y sean objetos de Un producto de y es un objeto típicamente denotado equipado con un par de morfismos que satisfacen la siguiente propiedad universal :
Para cada objeto y cada par de morfismos existe un morfismo único tal que el siguiente diagrama conmuta :
La existencia de un producto puede depender de o de y Si existe, es único hasta el isomorfismo canónico, debido a la propiedad universal, por lo que se puede hablar del producto . Esto tiene el siguiente significado: si es otro producto, existe un isomorfismo único tal que y .
Los morfismos y se denominan proyecciones canónicas o morfismos de proyección ; la letra se alitera con proyección. Dado y el morfismo único se llama producto de morfismos y y se denota
Producto de una familia arbitraria
En lugar de dos objetos, podemos comenzar con una familia arbitraria de objetos indexados por un conjunto
Dada una familia de objetos, un producto de la familia es un objeto equipado con morfismos que satisfacen la siguiente propiedad universal:
Para cada objeto y cada familia de morfismos indexados existe un morfismo único tal que los siguientes diagramas conmutan para todos
El producto se denota Si luego se denota y el producto de morfismos se denota
Definición ecuacional
Alternativamente, el producto puede definirse mediante ecuaciones. Así, por ejemplo, para el producto binario:
La existencia de está garantizada por la existencia de la operación.
La conmutatividad de los diagramas anteriores está garantizada por la igualdad: para todos y todos
La unicidad de está garantizada por la igualdad: para todos [1]
como limite
El producto es un caso especial de límite . Esto puede verse utilizando una categoría discreta (una familia de objetos sin ningún morfismo, aparte de sus morfismos de identidad) como diagrama requerido para la definición del límite. Los objetos discretos servirán como índice de los componentes y proyecciones. Si consideramos este diagrama como un functor, es un funtor del conjunto de índices considerado como una categoría discreta. La definición del producto coincide entonces con la definición del límite, siendo un cono y las proyecciones siendo el límite (cono limitante).
propiedad universal
Así como el límite es un caso especial de la construcción universal , también lo es el producto. Comenzando con la definición dada para la propiedad universal de los límites , tome como categoría discreta con dos objetos, de modo que sea simplemente la categoría de producto. El funtor diagonal asigna a cada objeto el par ordenado y a cada morfismo el par . El producto en está dado por un morfismo universal del funtor al objeto en Este morfismo universal consta de un objeto de y un morfismo que contiene proyecciones.
Ejemplos
En la categoría de conjuntos , el producto (en el sentido teórico de la categoría) es el producto cartesiano. Dada una familia de conjuntos el producto se define como
En la categoría de relaciones , el producto viene dado por la unión disjunta . (Esto puede resultar un poco sorprendente dado que la categoría de conjuntos es una subcategoría de la categoría de relaciones).
Un conjunto parcialmente ordenado puede tratarse como una categoría, utilizando la relación de orden como morfismos. En este caso los productos y coproductos corresponden a límites inferiores mayores ( cumple ) y límites superiores mínimos ( uniones ).
Discusión
Un ejemplo en el que el producto no existe: En la categoría de campos, el producto no existe, ya que no hay ningún campo con homomorfismos a ambos y
Otro ejemplo: Un producto vacío (es decir, es el conjunto vacío ) es lo mismo que un objeto terminal , y algunas categorías, como la categoría de grupos infinitos, no tienen un objeto terminal: dado cualquier grupo infinito hay infinitos morfismos por lo que no pueden ser terminales.
Si es un conjunto tal que existen todos los productos de las familias indexadas , entonces se puede tratar cada producto como un funtor [3] La forma en que este functor asigna objetos es obvia. El mapeo de morfismos es sutil, porque el producto de los morfismos definidos anteriormente no encaja. Primero, considere el funtor producto binario, que es un bifunctor . Porque deberíamos encontrar un morfismo. Elegimos esta operación sobre morfismos se llama producto cartesiano de morfismos . [4] En segundo lugar, considere el functor del producto general. Para las familias debemos encontrar un morfismo. Elegimos el producto de morfismos.
Una categoría en la que cada conjunto finito de objetos tiene un producto a veces se denomina categoría cartesiana [4]
(aunque algunos autores usan esta frase en el sentido de "una categoría con todos los límites finitos").
El producto es asociativo . Supongamos que es una categoría cartesiana, los funtores de producto se han elegido como se indicó anteriormente y denotan un objeto terminal de. Entonces tenemos isomorfismos naturales.
Para cualquier objeto de una categoría con productos y coproductos finitos, existe un morfismo canónico donde el signo más aquí denota el coproducto . Para ver esto, observe que la propiedad universal del coproducto garantiza la existencia de flechas únicas que completan el siguiente diagrama (las flechas inducidas están discontinuas):
La propiedad universal del producto garantiza un morfismo único inducido por las flechas discontinuas en el diagrama anterior. Una categoría distributiva es aquella en la que este morfismo es en realidad un isomorfismo. Así, en una categoría distributiva, existe el isomorfismo canónico
Retroceso categórico : finalización más general de un cuadrado conmutativo dados dos morfismos con el mismo codominioPages displaying short descriptions of redirect targets
Referencias
^ Lambek J., Scott PJ (1988). Introducción a la lógica categórica de orden superior . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 304.
^ Qiaochu Yuan (23 de junio de 2012). "Espacios de Banach (y métricas de Lawvere y categorías cerradas)". Precisión molesta .
^ Carril, S. Mac (1988). Categorías para el matemático trabajador (1ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 37.ISBN0-387-90035-7.
^ ab Michael Barr, Charles Wells (1999). Teoría de categorías: notas de clase para ESSLLI. pag. 62. Archivado desde el original el 13 de abril de 2011.
Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Categorías abstractas y concretas (PDF) . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6.
Barr, Michael; Charles Wells (1999). Teoría de categorías para ciencias de la computación (PDF) . Les Publications CRM Montreal (publicación PM023). Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016 . Consultado el 21 de marzo de 2016 .Capítulo 5.
Definición 2.1.1 en Borceux, Francis (1994). Manual de álgebra categórica . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones 50–51, 53 [es decir, 52]. vol. 1. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 39.ISBN 0-521-44178-1.
enlaces externos
Página web interactiva que genera ejemplos de productos de la categoría de conjuntos finitos. Escrito por Jocelyn Paine.