El matemático Irving Kaplansky es conocido por proponer numerosas conjeturas en varias ramas de las matemáticas, entre las que se incluye una lista de diez conjeturas sobre las álgebras de Hopf . Se las conoce habitualmente como conjeturas de Kaplansky .
Sea K un cuerpo y G un grupo libre de torsión . La conjetura del divisor cero de Kaplansky establece:
Dos conjeturas relacionadas se conocen como, respectivamente, conjetura idempotente de Kaplansky :
y la conjetura unitaria de Kaplansky (que originalmente fue hecha por Graham Higman y popularizada por Kaplansky):
La conjetura del divisor de cero implica la conjetura idempotente y está implícita en la conjetura de la unidad. A partir de 2021, las conjeturas del divisor de cero y la idempotente están abiertas. Sin embargo, la conjetura de la unidad fue refutada en la característica 2 por Giles Gardam al exhibir un contraejemplo explícito en un grupo cristalográfico , a saber, el grupo fundamental de la variedad de Hantzsche-Wendt ; véase también el grupo de Fibonacci . [1] [2] [3] Una preimpresión posterior de Gardam afirma que esencialmente el mismo elemento también da un contraejemplo en la característica 0 (encontrar una inversa es computacionalmente mucho más complicado en esta configuración, de ahí el retraso entre el primer resultado y el segundo). [4]
Existen pruebas tanto de la conjetura idempotente como de la conjetura del divisor cero para grandes clases de grupos. Por ejemplo, la conjetura del divisor cero es conocida para todos los grupos elementales amenables libres de torsión (una clase que incluye todos los grupos virtualmente resolubles), ya que se sabe que sus álgebras de grupo son dominios de Ore . [5] De ello se deduce que la conjetura se cumple de manera más general para todos los grupos elementales amenables libres de torsión residual. Nótese que cuando es un cuerpo de característica cero, entonces la conjetura del divisor cero está implícita en la conjetura de Atiyah , que también se ha establecido para grandes clases de grupos.
La conjetura idempotente tiene una generalización, la conjetura idempotente de Kadison , también conocida como conjetura de Kadison-Kaplansky, para elementos del grupo reducido C*-álgebra . En este contexto, se sabe que si la conjetura de Farrell-Jones es válida para K [ G ] , entonces también lo es la conjetura idempotente. Esta última se ha resuelto positivamente para una clase extremadamente grande de grupos, incluidos, por ejemplo, todos los grupos hiperbólicos .
También se sabe que la conjetura de la unidad se cumple en muchos grupos, pero sus soluciones parciales son mucho menos robustas que las otras dos (como lo demuestra el contraejemplo mencionado anteriormente). No se sabe que esta conjetura se deduzca de ningún enunciado analítico como las otras dos, por lo que los casos en los que se sabe que se cumple se han establecido todos mediante un enfoque combinatorio directo que implica la denominada propiedad de productos únicos. Gracias al trabajo de Gardam mencionado anteriormente, ahora se sabe que no es cierta en general.
Esta conjetura establece que todo homomorfismo algebraico desde el álgebra de Banach C ( X ) (funciones continuas de valor complejo en X , donde X es un espacio de Hausdorff compacto ) hacia cualquier otra álgebra de Banach, es necesariamente continua . La conjetura es equivalente a la afirmación de que toda norma algebraica en C ( X ) es equivalente a la norma uniforme usual . (El propio Kaplansky había demostrado anteriormente que toda norma algebraica completa en C ( X ) es equivalente a la norma uniforme.)
A mediados de la década de 1970, H. Garth Dales y J. Esterle demostraron independientemente que, si además se supone la validez de la hipótesis del continuo , existen espacios de Hausdorff compactos X y homomorfismos discontinuos desde C ( X ) hasta alguna álgebra de Banach, lo que da contraejemplos a la conjetura.
En 1976, RM Solovay (basándose en el trabajo de H. Woodin) presentó un modelo de ZFC ( teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel + axioma de elección ) en el que la conjetura de Kaplansky es verdadera. La conjetura de Kaplansky es, por tanto, un ejemplo de un enunciado indecidible en ZFC .
En 1953, Kaplansky propuso la conjetura de que los valores finitos de u -invariantes sólo pueden ser potencias de 2. [ 6] [7]
En 1989, la conjetura fue refutada por Alexander Merkurjev , quien demostró campos con u -invariantes de cualquier m par . [6] En 1999, Oleg Izhboldin construyó un campo con u -invariante m = 9 que fue el primer ejemplo de un u -invariante impar. [8] En 2006, Alexander Vishik demostró campos con u -invariantes para cualquier entero k a partir de 3. [9]
