grupo hopfiano

En matemáticas , un grupo hopfiano es un grupo G para el cual todo epimorfismo

GRAMO → GRAMO

es un isomorfismo . De manera equivalente, un grupo es hopfiano si y sólo si no es isomorfo a ninguno de sus cocientes propios . ^[1]

Un grupo G es co-hopfiano si todo monomorfismo

GRAMO → GRAMO

es un isomorfismo. De manera equivalente, G no es isomorfo a ninguno de sus subgrupos propios .

Ejemplos de grupos hopfianos

Todo grupo finito , mediante un argumento de conteo elemental.
De manera más general, cada grupo policíclico por finito .
Cualquier grupo libre generado finitamente .
El grupo aditivo Q de racionales .
Cualquier grupo residualmente finito generado finitamente .
Cualquier grupo hiperbólico de palabras .

Ejemplos de grupos no hopfianos

Grupos cuasicíclicos .
El grupo aditivo R de los números reales . ^[2]
El grupo B de Baumslag-Solitar (2,3). (En general B ( m , n ) no es hopfiano si y solo si existen primos p , q con p | m , q | n y p ∤ n , q ∤ m ) ^[3]

Propiedades

Collins (1969) demostró que es un problema indecidible determinar, dada una presentación finita de un grupo, si el grupo es hopfiano. A diferencia de la indecidibilidad de muchas propiedades de grupos, esto no es una consecuencia del teorema de Adian-Rabin , porque Hopficicity no es una propiedad de Markov , como lo demostraron Miller y Schupp (1971).

Referencias

^ Florián Bouyer. "Definición 7.6". Presentación de Grupos (PDF) . Universidad de Warwick. Un grupo G es no hopfiano si existe 1 ≠ N ◃ G tal que G/N ≅ G
^ Clark, Pete L. (17 de febrero de 2012). "¿Se puede encontrar siempre un endomorfismo sobreyectivo de grupos tal que no sea inyectivo?". Intercambio de pila de matemáticas . Esto se debe a que ( R ,+) no tiene torsión y es divisible y, por lo tanto, es un espacio vectorial Q. Entonces, dado que todo espacio vectorial tiene una base, según el axioma de elección, es isomorfo a la suma directa de copias de ( Q ,+) indexadas por un conjunto de cardinalidad continua. Esto deja clara la propiedad hopfiana.
^ Florián Bouyer. "Teorema 7.7". Presentación de Grupos (PDF) . Universidad de Warwick.

Collins, DJ (1969). "Sobre el reconocimiento de los grupos Hopf". Archiv der Mathematik . 20 (3): 235–240. doi :10.1007/BF01899291. S2CID 119354919.
Johnson, DL (1990). Presentaciones de grupos . Textos estudiantiles de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 15. Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 35.ISBN 0-521-37203-8.
Miller, CF; Schupp, PE (1971). "Incrustaciones en grupos hopfianos". Revista de Álgebra . 17 (2): 171. doi :10.1016/0021-8693(71)90028-7.

enlaces externos

Grupo hopfiano en PlanetMath .
Grupo no Hopf en la Enciclopedia de Matemáticas