Baumslag – grupo solitario

Una hoja del gráfico de Cayley del grupo Baumslag-Solitar BS(1, 2) . Los bordes rojos corresponden a a y los bordes azules corresponden a b .

Las hojas del gráfico de Cayley del grupo Baumslag-Solitar BS(1, 2) encajan en un árbol binario infinito .

Visualización comparando la hoja y el árbol binario del gráfico de Cayley . Los bordes rojo y azul corresponden a y , respectivamente. ${\displaystyle {\text{BS}}(1,2)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

En el campo matemático de la teoría de grupos , los grupos Baumslag-Solitar son ejemplos de grupos de dos generadores y un relador que desempeñan un papel importante en la teoría combinatoria de grupos y la teoría geométrica de grupos como (contra)ejemplos y casos de prueba. Se dan por la presentación del grupo.

${\displaystyle \left\langle a,b\ :\ ba^{m}b^{-1}=a^{n}\right\rangle .}$

Para cada número entero myn , el grupo Baumslag-Solitar se denota como BS( m , n ) . La relación en la presentación se llama relación Baumslag-Solitar .

Algunos de los diversos BS ( m , n ) son grupos bien conocidos. BS(1, 1) es el grupo abeliano libre en dos generadores , y BS(1, −1) es el grupo fundamental de la botella de Klein .

Los grupos fueron definidos por Gilbert Baumslag y Donald Solitar en 1962 para proporcionar ejemplos de grupos no hopfianos . Los grupos contienen grupos residualmente finitos , grupos hopfianos que no son residualmente finitos y grupos no hopfianos.

Representación lineal

Definir

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},\qquad B={\begin{pmatrix}{\frac {n}{m}}&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

El grupo de matrices G generado por A y B es una imagen homomórfica de BS( m , n ) , a través del homomorfismo inducido por

${\displaystyle a\mapsto A,\qquad b\mapsto B.}$

Vale la pena señalar que, en general, esto no será un isomorfismo. Por ejemplo, si BS( m , n ) no es residualmente finito (es decir, si no es el caso de que | m | = 1 , | n | = 1 , o | m | = | n | ^[1] ), no puede ser isomorfo a un grupo lineal generado finitamente , que se sabe que es residualmente finito según un teorema de Anatoly Maltsev . ^[2]

Ver también

• mosaico binario
• resolver geometría

Notas

1. Consulte Grupos de un relacionador finitos no residuales de Stephen Meskin para obtener una prueba de la condición de finitud residual
2. Anatoliĭ Ivanovich Mal'cev, "Sobre la representación fiel de grupos infinitos mediante matrices" Traducciones de la American Mathematical Society (2), 45 (1965), págs. 1-18

Referencias

• DJ Collins (2001) [1994], "Grupo Baumslag-Solitar", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Gilbert Baumslag y Donald Solitar, Algunos grupos no hopfianos de dos generadores y un relator , Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense 68 (1962), 199-201. Señor 0142635