En geometría , un mosaico binario (a veces llamado mosaico de Böröczky ) [1] es un mosaico del plano hiperbólico , que se asemeja a un árbol cuaternario sobre el modelo de semiplano de Poincaré del plano hiperbólico. Los mosaicos son congruentes, cada uno adyacente a otros cinco. Pueden ser pentágonos convexos o formas no convexas con cuatro lados, alternativamente segmentos de línea y arcos horocíclicos , que se encuentran en cuatro ángulos rectos.
Hay una cantidad incontable de teselas binarias distintas para una forma de tesela dada. Todas son débilmente aperiódicas , lo que significa que pueden tener un grupo de simetría unidimensional pero no una familia de simetrías bidimensional. Existen teselaciones binarias con teselas de área arbitrariamente pequeña.
Los teselados binarios fueron estudiados matemáticamente por primera vez en 1974 por Károly Böröczky . Teselados estrechamente relacionados se han utilizado desde fines de la década de 1930 en el diagrama de Smith para ingeniería de radio y aparecen en un grabado de 1957 de MC Escher .
Un mosaico de una superficie es un recubrimiento de la superficie por formas geométricas , llamadas baldosas, sin superposiciones ni espacios. Un ejemplo es el mosaico familiar del plano euclidiano por cuadrados , que se encuentran borde con borde, [2] como se ve por ejemplo en muchos baños. [3] Cuando todas las baldosas tienen la misma forma y tamaño (son todas congruentes ), el mosaico se llama mosaico monoédrico , y la forma de las baldosas se llama protoazulejo del mosaico. [2] Los mosaicos binarios son mosaicos monoédricos del plano hiperbólico , un tipo de geometría no euclidiana con diferentes nociones de longitud, área, congruencia y simetría que el plano euclidiano. [4]
Dos modelos comunes para el plano hiperbólico son el modelo de disco de Poincaré y el modelo de semiplano de Poincaré . En estos, los puntos del plano hiperbólico se modelan mediante puntos en el plano euclidiano, en un disco abierto o el semiplano sobre una línea horizontal respectivamente. Las líneas hiperbólicas se modelan mediante aquellos círculos euclidianos y líneas que cruzan el límite del modelo perpendicularmente . Los puntos límite del modelo se denominan puntos ideales , y se dice que una línea hiperbólica que pasa por un punto ideal es asintótica a él. El modelo de semiplano tiene un punto ideal más, el punto en el infinito , asintótico a todas las líneas verticales. Otra clase importante de curvas hiperbólicas, llamadas horociclos , se modelan como círculos que son tangentes al límite del modelo, o como líneas horizontales en el modelo de semiplano. Los horociclos son asintóticos a su punto de tangencia, o al punto en el infinito si no tienen ninguno. [5] [6]
En una versión del mosaico binario, cada mosaico es una forma delimitada por dos líneas hiperbólicas y dos horociclos. Estas cuatro curvas deben ser asintóticas al mismo punto ideal, con los dos horociclos a una distancia hiperbólica entre sí. Con estas opciones, el mosaico tiene cuatro ángulos rectos, como un rectángulo, con sus lados alternando entre segmentos de líneas hiperbólicas y arcos de horociclos. La elección de como la distancia entre los dos horociclos hace que uno de los dos arcos de horociclos (el más alejado del punto asintótico) tenga el doble de longitud hiperbólica que el arco opuesto. Las copias de esta forma, que se encuentran borde con borde a lo largo de los lados de sus segmentos de línea, pueden cubrir con mosaicos la región en forma de losa o medialuna entre dos horociclos. Una familia anidada de estas losas o medialunas puede cubrir con mosaicos todo el plano hiperbólico, alineadas de modo que el arco largo de cada mosaico en una losa esté cubierto por los arcos cortos de dos mosaicos en la siguiente losa. El resultado es un mosaico binario. [1]
En el modelo de semiplano de Poincaré de geometría hiperbólica, cada mosaico puede modelarse como un cuadrado o rectángulo paralelo al eje. [4] [7] En este modelo, los rayos a través de los lados verticales de un mosaico modelan líneas hiperbólicas, asintóticas al punto en el infinito, y las líneas a través de los lados horizontales de un mosaico modelan horociclos, asintóticos al mismo punto. [5] La longitud hiperbólica de un arco de un horociclo horizontal es su longitud euclidiana dividida por su coordenada , mientras que la distancia hiperbólica entre puntos con la misma coordenada es el logaritmo de la relación de sus coordenadas . [6] A partir de estos hechos se puede calcular que los horociclos sucesivos de un mosaico binario, a una distancia hiperbólica , están modelados por líneas horizontales cuya distancia euclidiana desde el eje se duplica en cada paso, y que los dos semiarcos inferiores de un mosaico binario son cada uno iguales al arco superior.
Una versión alternativa y combinatoriamente equivalente del mosaico coloca sus vértices en los mismos puntos, pero los conecta mediante segmentos de línea hiperbólicos en lugar de arcos de horociclos, de modo que cada mosaico se convierte en un pentágono convexo hiperbólico. Esto hace que el mosaico sea un mosaico pentagonal apropiado . [7] [8] Las líneas hiperbólicas a través de los lados no verticales de estos mosaicos se modelan en el modelo de semiplano por semicírculos centrados en el eje y, y los lados forman arcos de estos semicírculos. [6]
En el mosaico cuadrado del plano euclidiano, cada dos mosaicos se colocan de la misma manera: hay una simetría de todo el mosaico (una traslación ) que lleva un mosaico al otro. Pero un mosaico binario no tiene simetrías que lleven cada mosaico a cada uno de los demás mosaicos. Por ejemplo, para los cuatro mosaicos dos niveles por debajo de cualquier mosaico dado, ninguna simetría lleva un mosaico del medio a un mosaico exterior. Además, solo hay una manera de teselar el plano euclidiano con mosaicos cuadrados que se encuentran borde con borde, pero hay incontables mosaicos binarios borde con borde. [1] El prototipo del mosaico binario se puede modificar para forzar el mosaico a que sea borde con borde, agregando pequeñas protuberancias a algunos lados y hendiduras coincidentes a otros. [4]
Algunas teselas binarias tienen un grupo de simetría infinito unidimensional. Por ejemplo, cuando una tesela binaria se ve en el modelo de semiplano, puede ser posible escalar el modelo por cualquier potencia de dos sin cambiar la tesela. Cuando esto es posible, la tesela tiene infinitas simetrías, una por cada potencia de dos. [1] Sin embargo, ninguna tesela binaria tiene un grupo de simetría bidimensional. Esto se puede expresar matemáticamente diciendo que no es posible encontrar un conjunto finito de teselas tal que todas las teselas puedan mapearse al conjunto finito por una simetría de la tesela. Más técnicamente, ninguna tesela binaria tiene un grupo de simetría cocompacto . [4]
Como una tesela en la que todos sus teselados no son completamente periódicos, el proto-teselado de un teselado binario resuelve un análogo del problema de Einstein en el plano hiperbólico. Este problema requiere un único proto-teselado que se distribuya en teselados solo aperiódicamente; mucho después del descubrimiento de los teselados binarios, se resolvió en el plano euclidiano con el descubrimiento de los teselados "sombrero" y "espectro". Sin embargo, los teselados binarios son solo débilmente aperiódicos , lo que significa que ningún teselado tiene un grupo bidimensional de simetrías. Debido a que pueden tener simetrías unidimensionales, los teselados binarios no son fuertemente aperiódicos . [9]
En los teselados binarios, más que tener todas las teselas con la misma forma, todas las primeras coronas de las teselas tienen la misma forma (posiblemente después de una reflexión). La primera corona es el conjunto de teselas que tocan una sola tesela central. Aquí, las coronas se consideran iguales si son reflexiones unas de otras. Para los teselados del plano euclidiano, tener todas las primeras coronas iguales implica que el teselado es periódico e isoédrico , lo que significa que todas las teselas son simétricas entre sí. Los teselados binarios muestran que, en el plano hiperbólico, un teselado puede tener coronas congruentes sin ser isoédrico. [10]
Los mosaicos duales de los mosaicos binarios se forman eligiendo un punto de referencia dentro de cada mosaico de un mosaico binario y conectando pares de puntos de referencia de mosaicos que comparten un borde entre sí. No son monoédricos: los mosaicos binarios tienen vértices donde se encuentran tres o cuatro mosaicos y, correspondientemente, los mosaicos duales tienen algunos mosaicos que son triángulos y algunos mosaicos que son cuadriláteros. El hecho de que los mosaicos binarios sean no periódicos sino monoédricos (tienen una sola forma de mosaico) traduce un hecho equivalente sobre los mosaicos duales: son no periódicos pero monocoronales , tienen el mismo patrón de mosaicos que rodean cada vértice. [7]
Los mosaicos binarios fueron estudiados matemáticamente por primera vez en 1974 por Károly Böröczky . [4] [11] [12] Böröczky estaba investigando la densidad de un conjunto de puntos planos discretos, el número promedio de puntos por unidad de área. Esta cantidad se utiliza, por ejemplo, para estudiar los conjuntos de Danzer . Para los puntos colocados uno por mosaico en un mosaico monoédrico del plano euclidiano, la densidad es inversa al área del mosaico. Pero para el plano hiperbólico, surgen problemas paradójicos. [4] [12] Los mosaicos de un mosaico binario se pueden agrupar en subunidades de tres mosaicos, y cada subunidad consta de un mosaico encima de dos más (como se ve en el modelo de semiplano de Poincaré). Los puntos centrados dentro del mosaico superior de cada subunidad tienen un punto por subunidad, para una densidad aparente igual a un tercio del área de un mosaico binario. Sin embargo, los mismos puntos y el mismo mosaico binario pueden reagruparse de una manera diferente, con dos puntos por subunidad, centrados en los dos mosaicos inferiores de cada subunidad, con el doble de densidad aparente. Este ejemplo muestra que no es posible determinar la densidad de un conjunto de puntos hiperbólicos a partir de mosaicos de esta manera. [12] [13]
Otra aplicación involucra el área de las teselas en un mosaico monoédrico. Al definir los mosaicos binarios, hay un parámetro libre, la distancia entre los lados verticales de las teselas. Todas las teselas en un mosaico único tienen áreas hiperbólicas iguales, pero si esta distancia cambia, el área (igual) de todas las teselas también cambiará, en proporción. Elegir que esta distancia sea arbitrariamente pequeña muestra que el plano hiperbólico tiene mosaicos de teselas congruentes de área arbitrariamente pequeña. [11]
Jarkko Kari ha utilizado un sistema de coloraciones de mosaicos a partir de un mosaico binario, análogo a los mosaicos de Wang , para demostrar que determinar si un sistema dado de protomoselados hiperbólicos puede teselar el plano hiperbólico es un problema indecidible . [8] Se han utilizado subdivisiones de un mosaico binario que reemplazan cada mosaico por un gráfico de cuadrícula para obtener límites estrictos en la complejidad de grano fino de los algoritmos de gráficos . [14] Se han utilizado estructuras de datos recursivas que se asemejan a árboles cuádruples, basadas en mosaico binario, para consultas aproximadas de vecinos más cercanos en el plano hiperbólico. [15]
Un grabado de 1957 de MC Escher , Regular Division of the Plane VI , tiene este mosaico como su estructura subyacente, con cada mosaico cuadrado de un mosaico binario (como se ve en su forma de árbol cuaternario) subdividido en tres triángulos rectángulos isósceles . [16] Es uno de varios grabados de Escher basados en el modelo de semiplano del plano hiperbólico. [17] El grabado en sí reemplaza cada triángulo por un lagarto estilizado. [16]
El diagrama de Smith , un método gráfico de visualización de parámetros en ingeniería de radio , se asemeja a un mosaico binario en el modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico, y ha sido analizado por sus conexiones con la geometría hiperbólica y con los mosaicos hiperbólicos de Escher. [18] Fue desarrollado por primera vez a fines de la década de 1930 por Tōsaku Mizuhashi, [19] Phillip Hagar Smith , [20] y Amiel R. Volpert. [21]
El grafo de Cayley del grupo Baumslag–Solitar tiene los elementos del grupo como vértices, conectados por aristas que representan la multiplicación por los elementos generadores estándar de este grupo. Este grafo se puede descomponer en "láminas", cuyos vértices y aristas forman un mosaico binario. En cada nivel de un mosaico binario, hay dos opciones para continuar el mosaico en el siguiente nivel superior. Dos láminas cualesquiera coincidirán durante una cierta cantidad de niveles hasta que se separen entre sí siguiendo diferentes opciones en uno de estos niveles, lo que da a las láminas la estructura de un árbol binario infinito. [22] [23]
Un mosaico relacionado del plano hiperbólico de Roger Penrose puede interpretarse como formado por pares adyacentes de mosaicos binarios, uno encima del otro, cuyas uniones forman mosaicos en forma de L. Al igual que el mosaico binario, es débilmente aperiódico. [24] Charles Radin describe otra modificación del mosaico binario en el que se añade una protuberancia angular a los dos lados inferiores de cada mosaico, con una sangría correspondiente cortada desde el lado superior de cada mosaico. Estos mosaicos modificados pueden formar los mosaicos binarios habituales, pero también pueden usarse para formar mosaicos diferentes que reemplacen cada cara de un mosaico apeirogonal por el subconjunto de un mosaico binario que se encuentra dentro de un horociclo. (Para los horociclos horizontales en el semiplano de Poincaré, el interior está por encima del horociclo). Estos mosaicos binarios y apeirogonales mixtos evitan las paradojas de densidad del mosaico binario. [4]
El gráfico dual de un mosaico binario tiene un vértice para cada mosaico y una arista para cada par de mosaicos que comparten una arista. Toma la forma de un árbol binario infinito (que se extiende infinitamente tanto hacia arriba como hacia abajo, sin una raíz) con conexiones de lado a lado agregadas entre los nodos del árbol en el mismo nivel entre sí. [1] Una estructura análoga para árboles binarios completos finitos , con las conexiones de lado a lado en cada nivel extendidas desde caminos hasta ciclos, se ha estudiado como una topología de red en computación paralela , el árbol en anillo . [25] Los árboles en anillo también se han estudiado en términos de sus propiedades métricas hiperbólicas en conexión con redes de mundo pequeño . [26] Omitir las conexiones de lado a lado da una incrustación de un árbol binario infinito como un árbol hiperbólico . [15]
