En geometría , un mosaico binario (a veces llamado mosaico de Böröczky ) [1] es un mosaico del plano hiperbólico , que se asemeja a un árbol cuaternario sobre el modelo de semiplano de Poincaré del plano hiperbólico. Los mosaicos son congruentes, cada uno adyacente a otros cinco. Pueden ser pentágonos convexos o formas no convexas con cuatro lados, alternativamente segmentos de línea y arcos horocíclicos , que se encuentran en cuatro ángulos rectos.
Hay una cantidad incontable de teselas binarias distintas para una forma de tesela dada. Todas son débilmente aperiódicas , lo que significa que pueden tener un grupo de simetría unidimensional pero no una familia de simetrías bidimensional. Existen teselaciones binarias con teselas de un área arbitrariamente pequeña.
Los teselados binarios fueron estudiados matemáticamente por primera vez en 1974 por Károly Böröczky . Teselados estrechamente relacionados se han utilizado desde fines de la década de 1930 en el diagrama de Smith para ingeniería de radio y aparecen en un grabado de 1957 de MC Escher .
En una versión del mosaico, cada mosaico es un subconjunto del plano hiperbólico que se encuentra entre dos líneas hiperbólicas y dos horociclos que son todos asintóticos al mismo punto ideal , con los horociclos a distancia uno del otro. La forma resultante tiene cuatro ángulos rectos, como un rectángulo, con sus lados alternando entre segmentos de líneas hiperbólicas y arcos de horociclos. La elección de como la distancia entre los dos horociclos hace que uno de los dos arcos de horociclos (el más alejado del punto asintótico) sea el doble de largo que el otro. Estos mosaicos pueden empaquetarse a lo largo de sus lados de segmento de línea para llenar la región anular entre los dos horociclos y para empaquetar una familia anidada de anillos congruentes entre horociclos igualmente espaciados a cada lado de ellos. Cuando estos empaquetamientos anulares se alinean de manera que cada mitad del arco horocíclico externo de una baldosa en un anillo coincide con el arco horocíclico interno de una baldosa en el siguiente anillo, el resultado es un mosaico binario. [1]
En el modelo de semiplano de Poincaré de geometría hiperbólica, con el punto ideal elegido para ser un punto en el infinito para el semiplano, las líneas hiperbólicas asintóticas a este punto se modelan como rayos verticales, y los horociclos asintóticos a este punto se modelan como líneas horizontales. [2] Esto le da a cada mosaico la forma general en el modelo de un cuadrado o rectángulo paralelo al eje. [3] [4] Para este modelo, la distancia hiperbólica entre puntos con la misma coordenada es su distancia euclidiana dividida por , mientras que la distancia hiperbólica entre puntos con la misma coordenada es el logaritmo de la relación de sus coordenadas. [5] A partir de estos hechos se puede calcular que los horociclos sucesivos de un mosaico binario, a una distancia hiperbólica , se modelan mediante líneas horizontales cuya distancia euclidiana desde el eje se duplica en cada paso, y que los dos semiarcos inferiores de un mosaico binario son cada uno iguales al arco superior.
Una versión alternativa y combinatoriamente equivalente del mosaico coloca sus vértices en los mismos puntos, pero los conecta mediante segmentos de línea hiperbólicos en lugar de segmentos horocíclicos, de modo que cada mosaico se convierte en un pentágono convexo hiperbólico. Esto hace que el mosaico sea un mosaico pentagonal adecuado . [4] [6] Las líneas hiperbólicas a través de los lados no verticales de estos mosaicos se modelan en el modelo de semiplano por semicírculos centrados en el eje y, y los lados forman arcos de estos semicírculos. [5]
Si se consideran únicamente las adyacencias entre mosaicos de diferentes tamaños, omitiendo las adyacencias de lado a lado, este patrón de adyacencia da a los mosaicos de un mosaico binario la estructura de un árbol binario . Los puntos representativos dentro de cada mosaico, conectados de acuerdo con esta estructura de adyacencia, dan una incrustación de un árbol binario infinito como un árbol hiperbólico . [7]
Las teselas de un mosaico binario no son todas simétricas entre sí; por ejemplo, para las cuatro teselas dos niveles por debajo de cualquier tesela dada, ninguna simetría lleva de una tesela del medio a una tesela exterior. Hay una cantidad incontable de teselas diferentes del plano hiperbólico formadas por estas teselas, incluso cuando se las modifica añadiendo protuberancias y hendiduras para obligarlas a encontrarse borde con borde. Ninguna de estas teselas diferentes es periódica (tiene un grupo de simetría cocompacto ), [3] aunque algunas (como aquella en la que existe una línea que está completamente cubierta por los bordes de las teselas) tienen un grupo de simetría infinito unidimensional. [1] Como tesela en la que todas sus teselas no son completamente periódicas, la prototesela de un mosaico binario resuelve un análogo del problema de Einstein en el plano hiperbólico. Sin embargo, es sólo "débilmente aperiódico", lo que significa que ningún teselado tiene un grupo bidimensional de simetrías, en lugar de "fuertemente aperiódico", lo que significaría que ningún teselado tiene un grupo infinito de simetrías. [8]
En los mosaicos binarios, más que tener todas las teselas de la misma forma, todas las primeras coronas de las teselas tienen la misma forma. La primera corona es el conjunto de teselas que tocan una sola tesela central. Aquí, las coronas se consideran iguales si son reflejos entre sí. Para los mosaicos del plano euclidiano, tener todas las primeras coronas iguales implica que el mosaico es periódico e isoédrico , lo que significa que todas las teselas son simétricas entre sí. Los mosaicos binarios proporcionan un fuerte contraejemplo para la propiedad correspondiente en el plano hiperbólico. [9]
En correspondencia con el hecho de que estos mosaicos no son periódicos sino monoédricos (tienen una sola forma de mosaico), los mosaicos duales de estos mosaicos no son periódicos sino monocoronales (tienen el mismo patrón de mosaicos que rodean cada vértice). Estos mosaicos duales se forman eligiendo un punto de referencia dentro de cada mosaico de un mosaico binario y conectando pares de puntos de referencia de mosaicos que comparten un borde entre sí. [4]
Los mosaicos binarios fueron estudiados matemáticamente por primera vez en 1974 por Károly Böröczky . [3] [10] [11] Böröczky estaba investigando la densidad de un conjunto de puntos planos discretos, el número promedio de puntos por unidad de área. Esta cantidad se utiliza, por ejemplo, para estudiar los conjuntos de Danzer . Para los puntos colocados uno por mosaico en un mosaico monoédrico del plano euclidiano, la densidad es inversa al área del mosaico. Pero para el plano hiperbólico, surgen problemas paradójicos. [3] [11] Los mosaicos de un mosaico binario se pueden agrupar en subunidades de tres mosaicos, y cada subunidad consta de un mosaico encima de dos más (como se ve en el modelo de semiplano de Poincaré). Los puntos centrados dentro del mosaico superior de cada subunidad tienen un punto por subunidad, para una densidad aparente igual a un tercio del área de un mosaico binario. Sin embargo, los mismos puntos y el mismo mosaico binario pueden reagruparse de una manera diferente, con dos puntos por subunidad, centrados en los dos mosaicos inferiores de cada subunidad, con el doble de densidad aparente. Este ejemplo muestra que no es posible determinar la densidad de un conjunto de puntos hiperbólicos a partir de mosaicos de esta manera. [11] [12]
Ajustar la distancia entre los dos lados verticales de las teselas en un mosaico binario hace que su área varíe, proporcional a esta distancia. Al hacer que esta distancia sea arbitrariamente pequeña, este mosaico se puede utilizar para mostrar que el plano hiperbólico tiene mosaicos de teselas congruentes de área arbitrariamente pequeña. [10] Jarkko Kari ha utilizado un sistema de coloraciones de teselas de un mosaico binario, análogo a los mosaicos de Wang , para demostrar que determinar si un sistema dado de proto-teselas hiperbólicas puede teselar el plano hiperbólico es un problema indecidible . [6] Las subdivisiones de un mosaico binario que reemplazan cada tesela por un gráfico de cuadrícula se han utilizado para obtener límites estrictos en la complejidad de grano fino de los algoritmos de gráficos . [13] Las estructuras de datos recursivas que se asemejan a árboles cuádruples, basadas en mosaico binario, se han utilizado para consultas aproximadas del vecino más cercano en el plano hiperbólico. [7]
Un grabado de 1957 de MC Escher , Regular Division of the Plane VI , tiene este mosaico como su estructura subyacente, con cada mosaico de un mosaico binario (como se ve en su forma de árbol cuaternario) subdividido en tres triángulos rectángulos. [14] Es uno de varios grabados de Escher basados en el modelo de semiplano del plano hiperbólico. [15] Cuando se interpretan como formas euclidianas en lugar de hiperbólicamente, los mosaicos son cuadrados y los triángulos subdivididos son triángulos rectángulos isósceles. El grabado en sí reemplaza cada triángulo por un lagarto estilizado. [14]
El diagrama de Smith , un método gráfico de visualización de parámetros en ingeniería de radio , se asemeja a un mosaico binario en el modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico, y ha sido analizado por sus conexiones con la geometría hiperbólica y con los mosaicos hiperbólicos de Escher. [16] Fue desarrollado por primera vez a fines de la década de 1930 por Tōsaku Mizuhashi, [17] Phillip Hagar Smith , [18] y Amiel R. Volpert. [19]
El grafo de Cayley del grupo Baumslag–Solitar tiene los elementos del grupo como vértices, conectados por aristas que representan la multiplicación por los elementos generadores estándar de este grupo. Este grafo se puede descomponer en "láminas", cuyos vértices y aristas forman un mosaico binario. En cada nivel de un mosaico binario, hay dos opciones para continuar el mosaico en el siguiente nivel superior. Dos láminas cualesquiera coincidirán durante una cierta cantidad de niveles hasta que se separen entre sí siguiendo diferentes opciones en uno de estos niveles, lo que da a las láminas la estructura de un árbol binario infinito. [20] [21]
Un mosaico relacionado del plano hiperbólico de Roger Penrose puede interpretarse como formado por pares adyacentes de mosaicos binarios, uno sobre el otro, cuyas uniones forman mosaicos en forma de L. Al igual que el mosaico binario, es débilmente aperiódico. [22] Charles Radin describe otra modificación del mosaico binario en el que se añade una protuberancia angular a los dos lados inferiores de cada mosaico, con una sangría correspondiente cortada desde el lado superior de cada mosaico. Estos mosaicos modificados pueden formar los mosaicos binarios habituales, pero también pueden usarse para formar mosaicos diferentes que reemplazan cada cara de un mosaico apeirogonal por parte de un mosaico binario, el mosaico de una horobola sobre una línea horizontal en el modelo de semiplano. Estos mosaicos binarios y apeirogonales mixtos evitan las paradojas de densidad del mosaico binario. [3]
El gráfico dual de un mosaico binario tiene un vértice para cada mosaico y una arista para cada par de mosaicos que comparten una arista. Toma la forma de un árbol binario infinito (que se extiende infinitamente tanto hacia arriba como hacia abajo, sin una raíz) con conexiones de lado a lado agregadas entre los nodos del árbol en el mismo nivel entre sí. [1] Una estructura análoga para árboles binarios completos finitos , con las conexiones de lado a lado en cada nivel extendidas desde caminos hasta ciclos, se ha estudiado como una topología de red en computación paralela , el árbol en anillo . [23] Los árboles en anillo también se han estudiado en términos de sus propiedades métricas hiperbólicas en conexión con redes de mundo pequeño . [24]
