grupo de trenzas

Grupo cuyo funcionamiento es una composición de trenzas

Una trenza normal de cinco hilos. Cada flecha compone dos elementos más de . ${\displaystyle B_{5}}$

En matemáticas , el grupo de trenzas en n hebras (denotado ), también conocido como grupo de trenzas de Artin , ^[1] es el grupo cuyos elementos son clases de equivalencia de n -trenzas (por ejemplo, bajo isotopía ambiental ), y cuya operación de grupo es la composición de trenzas (ver § Introducción). Ejemplos de aplicaciones de grupos de trenzas incluyen la teoría de nudos , donde cualquier nudo puede representarse como el cierre de ciertas trenzas (un resultado conocido como teorema de Alexander ); en física matemática, donde la presentación canónica de Artin del grupo trenzado corresponde a la ecuación de Yang-Baxter (ver § Propiedades básicas); y en invariantes monodromía de geometría algebraica . ^[2] ${\displaystyle B_{n}}$

Introducción

En esta introducción, sea n = 4 ; la generalización a otros valores de n será sencilla. Considere dos conjuntos de cuatro elementos colocados sobre una mesa, con los elementos de cada conjunto dispuestos en una línea vertical y de manera que un conjunto se encuentre al lado del otro. (En las ilustraciones a continuación, estos son los puntos negros). Usando cuatro hilos, cada elemento del primer conjunto se conecta con un elemento del segundo conjunto para que resulte una correspondencia uno a uno. Esta conexión se llama trenza . A menudo algunos hilos tendrán que pasar por encima o por debajo de otros, y esto es crucial: las dos conexiones siguientes son trenzas diferentes :

Por otro lado, dos conexiones de este tipo que pueden verse iguales "tirando de los hilos" se consideran la misma trenza:

Todos los hilos deben moverse de izquierda a derecha; No se consideran trenzas nudos como los siguientes :

Se pueden componer dos trenzas cualesquiera dibujando la primera junto a la segunda, identificando los cuatro elementos en el medio y conectando las hebras correspondientes:

Otro ejemplo:

La composición de las trenzas σ y τ se escribe como στ .

El conjunto de todas las trenzas de cuatro hebras se denota por . La composición de trenzas anterior es de hecho una operación grupal . El elemento de identidad es la trenza que consta de cuatro hilos horizontales paralelos, y la inversa de una trenza consiste en esa trenza que "deshace" lo que hizo la primera trenza, que se obtiene volteando un diagrama como los de arriba a lo largo de una línea vertical que va a través de su centro. (Los dos primeros ejemplos de trenzas anteriores son inversas entre sí). ${\displaystyle B_{4}}$

Aplicaciones

La teoría de la trenza se ha aplicado recientemente a la mecánica de fluidos , específicamente al campo de la mezcla caótica en flujos de fluidos. El trenzado de trayectorias espacio-temporales (2 + 1) dimensionales formadas por el movimiento de varillas físicas, órbitas periódicas o "barras fantasma" y conjuntos casi invariantes se ha utilizado para estimar la entropía topológica de varios sistemas de fluidos diseñados y naturales. , mediante el uso de la clasificación de Nielsen-Thurston . ^{[3] [4] [5]}

Otro campo de intensa investigación que involucra grupos trenzados y conceptos topológicos relacionados en el contexto de la física cuántica es la teoría y la implementación experimental (conjeturada) de los llamados anyons . Es posible que estos acaben formando la base de la computación cuántica con corrección de errores , por lo que su estudio abstracto tiene actualmente una importancia fundamental en la información cuántica .

Tratamiento formal

Para poner en terreno firme la discusión informal anterior sobre los grupos trenzados, es necesario utilizar el concepto de homotopía de la topología algebraica , definiendo los grupos trenzados como grupos fundamentales de un espacio de configuración . Alternativamente, se puede definir el grupo de trenzas de forma puramente algebraica a través de las relaciones de trenzas, teniendo en cuenta las imágenes sólo para guiar la intuición.

Para explicar cómo reducir un grupo trenzado en el sentido de Artin a un grupo fundamental, consideramos una variedad conexa de dimensión al menos 2. El producto simétrico de copias de significa el cociente de , el producto cartesiano de por la acción de permutación del grupo simétrico en hilos que operan sobre los índices de coordenadas. Es decir, una tupla ordenada está en la misma órbita que cualquier otra que sea una versión reordenada de ella. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Un camino en el producto simétrico -fold es la forma abstracta de discutir puntos de , considerados como una tupla desordenada, trazando cadenas de forma independiente. Como debemos exigir que las cuerdas nunca se atraviesen entre sí, es necesario que pasemos al subespacio del producto simétrico, de órbitas de -tuplas de puntos distintos . Es decir, eliminamos todos los subespacios definidos por condiciones para todos . Esto es invariante bajo el grupo simétrico y es el cociente por el grupo simétrico de las tuplas no excluidas . Bajo la condición de dimensión se conectará. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$ ${\displaystyle 1\leq i<j\leq n}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y}$

Con esta definición, entonces, podemos llamar al grupo trenzado de con cuerdas ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ el grupo fundamental de (para cualquier elección de punto base, esto está bien definido hasta el isomorfismo). El caso donde se encuentra el plano euclidiano es el original de Artin. En algunos casos se puede demostrar que los grupos de mayor homotopía son triviales. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Trenzas cerradas

Cuando X es el plano, la trenza se puede cerrar , es decir, los extremos correspondientes se pueden conectar en pares, para formar un vínculo , es decir, una unión posiblemente entrelazada de bucles posiblemente anudados en tres dimensiones. El número de componentes del enlace puede ser de 1 a n , dependiendo de la permutación de hebras determinada por el enlace. Un teorema de JW Alexander demuestra que cada eslabón puede obtenerse de este modo como el "cierre" de una trenza. Comparar con enlaces de cadena .

Diferentes trenzas pueden dar lugar a un mismo eslabón, del mismo modo que diferentes diagramas de cruce pueden dar lugar a un mismo nudo . En 1935, Andrey Markov Jr. describió dos movimientos en diagramas de trenzas que producen equivalencia en las correspondientes trenzas cerradas. ^[6] En 1997 se publicó una versión de un solo movimiento del teorema de Markov. ^[7]

Vaughan Jones definió originalmente su polinomio como una invariante trenzada y luego demostró que dependía sólo de la clase de la trenza cerrada.

El teorema de Markov da condiciones necesarias y suficientes bajo las cuales los cierres de dos trenzas son eslabones equivalentes. ^[8]

Índice de trenza

El "índice de trenza" es el menor número de cadenas necesarias para hacer una representación de trenza cerrada de un enlace. Es igual al menor número de círculos de Seifert en cualquier proyección de un nudo. ^[9]

Historia

Los grupos de trenzas fueron introducidos explícitamente por Emil Artin en 1925, aunque (como señaló Wilhelm Magnus en 1974 ^[10] ) ya estaban implícitos en el trabajo de Adolf Hurwitz sobre monodromía de 1891.

Los grupos trenzados pueden describirse mediante presentaciones explícitas , como lo demostró Emil Artin en 1947. ^[11] Los grupos trenzados también se entienden mediante una interpretación matemática más profunda: como el grupo fundamental de ciertos espacios de configuración . ^[11]

Como dice Magnus, Hurwitz dio la interpretación de un grupo de trenzas como el grupo fundamental de un espacio de configuración (cf. teoría de las trenzas ), una interpretación que se perdió de vista hasta que fue redescubierta por Ralph Fox y Lee Neuwirth en 1962. ^[12]

Propiedades básicas

Generadores y relaciones

Considere las siguientes tres trenzas:

Cada trenza se puede escribir como una composición de varias de estas trenzas y sus inversas. Es decir, estas tres trenzas generan el grupo . Para ver esto, se escanea una trenza arbitraria de izquierda a derecha en busca de cruces; comenzando por arriba, siempre que se encuentre un cruce de hebras y , o se anote, dependiendo de si la hebra se mueve por debajo o por encima de la hebra . Al llegar al extremo derecho, la trenza se ha escrito como producto de las 's y sus inversas. ${\displaystyle B_{4}}$ ${\displaystyle B_{4}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i+1}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{-1}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i+1}$ ${\displaystyle \sigma }$

Está claro que

(i) , ${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{3}=\sigma _{3}\sigma _{1}}$

mientras que las dos relaciones siguientes no son tan obvias:

(iia) , ${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}}$

(iib) ${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{2}=\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{3}}$

(Estas relaciones se pueden apreciar mejor dibujando la trenza en una hoja de papel). Se puede demostrar que todas las demás relaciones entre las trenzas , y ya se derivan de estas relaciones y de los axiomas de grupo. ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{3}}$

Generalizando este ejemplo a hilos, el grupo se puede definir de manera abstracta mediante la siguiente presentación : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B_{n}}$

${\displaystyle B_{n}=\left\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\right\rangle ,}$

donde en el primer grupo de relaciones y en el segundo grupo de relaciones, . Esta presentación conduce a generalizaciones de grupos de trenzas llamados grupos de Artin . Las relaciones cúbicas, conocidas como relaciones trenzadas , juegan un papel importante en la teoría de las ecuaciones de Yang-Baxter . ${\displaystyle 1\leq i\leq n-2}$ ${\displaystyle i-j\geq 2}$

Otras propiedades

• El grupo trenzado es trivial , es el grupo cíclico infinito y es isomorfo al grupo de nudos del nudo trébol ; en particular, es un grupo infinito no abeliano . ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle B_{3}}$
• El grupo de trenzas de n hebras se integra como un subgrupo en el grupo de trenzas de hebras añadiendo una hebra adicional que no cruza ninguna de las primeras n hebras. La unión creciente de los grupos de trenzas con todo es el grupo de trenzas infinitas . ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle B_{n+1}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle B_{\infty }}$
• Todos los elementos no identitarios tienen orden infinito ; es decir, está libre de torsión . ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$
• Existe un orden lineal invariante a la izquierda llamado orden de Dehornoy . ${\displaystyle B_{n}}$
• Para , contiene un subgrupo isomorfo al grupo libre en dos generadores. ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle B_{n}}$
• Hay un homomorfismo definido por σ _i ↦ 1 . Entonces, por ejemplo, la trenza σ ₂ σ ₃ σ ₁ ⁻¹ σ ₂ σ ₃ se asigna a 1 + 1 − 1 + 1 + 1 = 3 . Este mapa corresponde a la abelianización del grupo de trenzas. Dado que σ _i ^k ↦ k , entonces σ _i ^k es la identidad si y sólo si . Esto prueba que los generadores tienen un orden infinito. ${\displaystyle B_{n}\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k=0}$

Interacciones

Relación con el grupo simétrico y el grupo trenzado puro.

Al olvidar cómo se retuercen y cruzan los hilos, cada trenza en n hilos determina una permutación en n elementos. Esta asignación es compatible con la composición y, por lo tanto, se convierte en un homomorfismo de grupo sobreyectivo B _n → S _n del grupo trenzado al grupo simétrico . La imagen de la trenza σ _i ∈ B _n es la transposición s _i = ( i , i +1) ∈ S _n . Estas transposiciones generan el grupo simétrico, satisfacen las relaciones del grupo trenzado y tienen orden 2. Esto transforma la presentación de Artin del grupo trenzado en la presentación de Coxeter del grupo simétrico:

${\displaystyle S_{n}=\left\langle s_{1},\ldots ,s_{n-1}|s_{i}s_{i+1}s_{i}=s_{i+1}s_{i}s_{i+1},s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}{\text{ for }}|i-j|\geq 2,s_{i}^{2}=1\right\rangle .}$

El núcleo del homomorfismo B _n → S _n es el subgrupo de B _n llamado grupo trenzado puro en n hebras y denotado P _n . Esto puede verse como el grupo fundamental del espacio de n -tuplas de distintos puntos del plano euclidiano. En una trenza pura, el inicio y el final de cada mechón están en la misma posición. Los grupos de trenzas puras encajan en una secuencia corta y exacta.

${\displaystyle 1\to F_{n-1}\to P_{n}\to P_{n-1}\to 1.}$

Esta secuencia se divide y, por lo tanto, los grupos trenzados puros se realizan como productos semidirectos iterados de grupos libres.

Relación entre B 3 y el grupo modular

${\displaystyle B_{3}}$es la extensión central universal del grupo modular.

El grupo trenzado es la extensión central universal del grupo modular , y estos se ubican como celosías dentro del grupo de cobertura universal (topológico). ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle {\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}}\to \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$.

Además, el grupo modular tiene un centro trivial y, por tanto, el grupo modular es isomorfo al grupo cociente de módulo su centro y , de manera equivalente, al grupo de automorfismos internos de . ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle Z(B_{3}),}$ ${\displaystyle B_{3}}$

Aquí hay una construcción de este isomorfismo . Definir

${\displaystyle a=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1},\quad b=\sigma _{1}\sigma _{2}}$.

De las relaciones trenzadas se deduce que . Denotando este último producto como , se puede verificar a partir de las relaciones de trenza que ${\displaystyle a^{2}=b^{3}}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \sigma _{1}c\sigma _{1}^{-1}=\sigma _{2}c\sigma _{2}^{-1}=c}$

lo que implica que está en el centro de . Denotemos el subgrupo de generado por c , ya que C  ⊂  Z ( B ₃ ) , es un subgrupo normal y se puede tomar el grupo cociente B ₃ / C. Afirmamos B ₃ / C ≅ PSL(2, Z ) ; A este isomorfismo se le puede dar una forma explícita. Las clases laterales σ ₁ C y σ ₂ C se asignan a ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B_{3}}$

${\displaystyle \sigma _{1}C\mapsto R={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\qquad \sigma _{2}C\mapsto L^{-1}={\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}}}$

donde L y R son los movimientos estándar hacia izquierda y derecha en el árbol de Stern-Brocot ; es bien sabido que estos movimientos generan el grupo modular.

Alternativamente, una presentación común para el grupo modular es

${\displaystyle \langle v,p\,|\,v^{2}=p^{3}=1\rangle }$

dónde

${\displaystyle v={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}},\qquad p={\begin{bmatrix}0&1\\-1&1\end{bmatrix}}.}$

Al asignar a a v y b a p se obtiene un homomorfismo de grupo sobreyectivo B ₃ → PSL(2, Z ) .

El centro de B ₃ es igual a C , una consecuencia del hecho de que c está en el centro, el grupo modular tiene centro trivial y el homomorfismo sobreyectivo anterior tiene núcleo C .

Relación con el grupo de clases de mapeo y clasificación de trenzas.

Se puede demostrar que el grupo trenzado B _n es isomorfo al grupo de clases de mapeo de un disco perforado con n perforaciones. Esto se visualiza más fácilmente imaginando cada pinchazo conectado por una cuerda al límite del disco; Cada homomorfismo de mapeo que permuta dos de los pinchazos puede verse entonces como una homotopía de las cuerdas, es decir, un trenzado de estas cuerdas.

A través de esta interpretación de las trenzas en grupo de clases de mapeo, cada trenza se puede clasificar como periódica, reducible o pseudo-Anosov .

Conexión con la teoría de nudos

Si se coloca una trenza y se conecta el primer artículo de la izquierda con el primer artículo de la derecha usando una nueva cuerda, el segundo artículo de la izquierda con el segundo artículo de la derecha, etc. (sin crear ninguna trenza en las nuevas cuerdas ), se obtiene un eslabón y, a veces, un nudo . El teorema de Alexander en la teoría de las trenzas establece que lo contrario también es cierto: cada nudo y cada eslabón surge de esta manera a partir de al menos una trenza; Esta trenza se puede obtener cortando el eslabón. Dado que las trenzas se pueden dar concretamente como palabras en los generadores σ _i , éste suele ser el método preferido para introducir nudos en programas de computadora.

Aspectos computacionales

El problema verbal para las relaciones trenzadas se puede resolver eficientemente y existe una forma normal para los elementos de B _n en términos de los generadores σ ₁ , ..., σ _{n −1} . (En esencia, calcular la forma normal de una trenza es el análogo algebraico de "tirar de los hilos", como se ilustra en nuestro segundo conjunto de imágenes arriba). El sistema de álgebra computacional gratuito GAP puede realizar cálculos en B _n si se dan los elementos en términos de estos generadores. También existe un paquete llamado CHEVIE para GAP3 con soporte especial para grupos de trenzas. El problema verbal también se resuelve eficientemente mediante la representación de Lawrence-Krammer .

Además del problema verbal, existen varios problemas computacionales difíciles conocidos que podrían implementar grupos trenzados; se han sugerido aplicaciones en criptografía . ^[13]

Comportamiento

En analogía con la acción del grupo simétrico por permutaciones, en varios entornos matemáticos existe una acción natural del grupo trenzado sobre n -tuplas de objetos o sobre el producto tensorial n -plegado que implica algunos "giros". Considere un grupo arbitrario G y sea X el conjunto de todas las n -tuplas de elementos de G cuyo producto es el elemento identidad de G. Entonces B _n actúa sobre X de la siguiente manera:

${\displaystyle \sigma _{i}\left(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i},x_{i+1},\ldots ,x_{n}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+1}^{-1}x_{i}x_{i+1},x_{i+2},\ldots ,x_{n}\right).}$

Así, los elementos x _i y x _{i +1} intercambian lugares y, además, x _i está distorsionado por el automorfismo interno correspondiente a x _{i +1} – esto asegura que el producto de los componentes de x sigue siendo el elemento de identidad. Se puede comprobar que las relaciones del grupo trenzado se satisfacen y que esta fórmula define de hecho una acción grupal de B _n sobre X . Como otro ejemplo, una categoría monoidal trenzada es una categoría monoide con una acción de grupo trenzado. Estas estructuras desempeñan un papel importante en la física matemática moderna y conducen a invariantes de nudos cuánticos .

Representaciones

Los elementos del grupo trenzado B _n se pueden representar de forma más concreta mediante matrices. Una representación clásica de este tipo es la representación de Burau , donde las entradas de la matriz son polinomios de Laurent de una sola variable . Había sido una pregunta de larga data si la representación de Burau era fiel , pero la respuesta resultó ser negativa para n  ≥ 5 . En términos más generales, era un problema abierto importante si los grupos de trenzas eran lineales . En 1990, Ruth Lawrence describió una familia de "representaciones de Lawrence" más generales que dependían de varios parámetros. En 1996, Chetan Nayak y Frank Wilczek postularon que, en analogía con las representaciones proyectivas de SO(3) , las representaciones proyectivas del grupo trenzado tienen un significado físico para ciertas cuasipartículas en el efecto hall cuántico fraccionario . ^[14] Alrededor de 2001, Stephen Bigelow y Daan Krammer demostraron de forma independiente que todos los grupos de trenzas son lineales. Su trabajo utilizó la representación de dimensión de Lawrence-Krammer en función de las variables q y t . Al especializar adecuadamente estas variables, el grupo trenzado puede realizarse como un subgrupo del grupo lineal general sobre los números complejos . ${\displaystyle n(n-1)/2}$ ${\displaystyle B_{n}}$

Grupos de trenzas infinitamente generados.

Hay muchas maneras de generalizar esta noción a un número infinito de aspectos. La forma más sencilla es tomar el límite directo de los grupos de trenzas, donde los mapas de unión envían los generadores de a los primeros generadores de (es decir, uniendo una hebra trivial). Este grupo, sin embargo, no admite topología metrizable y permanece continuo. ${\displaystyle f\colon B_{n}\to B_{n+1}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle B_{n+1}}$

Paul Fabel ha demostrado que hay dos topologías que se pueden imponer al grupo resultante, cada una de cuya finalización produce un grupo diferente. ^[15] El primero es un grupo muy manso y es isomorfo al grupo de clases de mapeo del disco infinitamente perforado: un conjunto discreto de pinchazos que limitan el límite del disco .

Se puede pensar en el segundo grupo de la misma manera que con los grupos de trenzas finitos. Coloque una hebra en cada uno de los puntos y el conjunto de todas las trenzas (donde una trenza se define como una colección de caminos desde los puntos a los puntos de modo que la función produzca una permutación en los puntos finales) es isomorfo a este grupo más salvaje. Un hecho interesante es que el grupo trenzado puro en este grupo es isomorfo tanto al límite inverso de los grupos trenzados puros finitos como al grupo fundamental del cubo de Hilbert menos el conjunto ${\displaystyle (0,1/n)}$ ${\displaystyle (0,1/n,0)}$ ${\displaystyle (0,1/n,1)}$ ${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle \{(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\mid x_{i}=x_{j}{\text{ for some }}i\neq j\}.}$

Cohomología

La cohomología de un grupo se define como la cohomología del correspondiente espacio de clasificación de Eilenberg-MacLane , que es un complejo CW determinado únicamente por hasta homotopía. Un espacio de clasificación para el grupo trenzado es el ^enésimo espacio de configuración desordenado de , es decir, el conjunto de distintos puntos desordenados en el plano: ^[16] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K(G,1)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})=\{\{u_{1},...,u_{n}\}:u_{i}\in \mathbb {R} ^{2},u_{i}\neq u_{j}{\text{ for }}i\neq j\}}$.

Entonces por definición

${\displaystyle H^{*}(B_{n})=H^{*}(K(B_{n},1))=H^{*}(\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})).}$

Los cálculos de los coeficientes se pueden encontrar en Fuks (1970). ^[17] ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

De manera similar, un espacio de clasificación para el grupo trenzado puro es el enésimo espacio de configuración ^ordenado de . En 1968, Vladimir Arnold demostró que la cohomología integral del grupo trenzado puro es el cociente del álgebra exterior generada por la colección de clases de grado uno , sujeta a las relaciones ^[18] ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle \omega _{ij}\;\;1\leq i<j\leq n}$

${\displaystyle \omega _{k,\ell }\omega _{\ell ,m}+\omega _{\ell ,m}\omega _{m,k}+\omega _{m,k}\omega _{k,\ell }=0.}$

Ver también

• Grupo Artin-Tetas
• Categoría monoidal trenzada
• Espacio vectorial trenzado
• Álgebra de Hopf trenzada
• teoría de nudos
• Criptografía no conmutativa

Referencias

1. Weisstein, Eric. "Grupo de trenzas". Wolfram MathWorld .
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Otras lecturas

• Birmán, Joan ; Brendle, Tara E. (26 de febrero de 2005), Trenzas: una encuesta , arXiv : math.GT/0409205. En Menasco y Thistlethwaite 2005
• Carlucci, Lorenzo; Dehornoy, Patrick ; Weiermann, Andreas (2011), "Resultados de improbabilidad con trenzas", Actas de la London Mathematical Society , 3, 102 (1): 159–192, arXiv : 0711.3785 , doi : 10.1112/plms/pdq016, MR  2747726, S2CID  16467487
• Chernavskii, AV (2001) [1994], "Teoría de las trenzas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Deligne, Pierre (1972), "Les immeubles des groupes de tresses généralisés", Inventiones Mathematicae , 17 (4): 273–302, Bibcode :1972InMat..17..273D, doi :10.1007/BF01406236, ISSN  0020-9910, SEÑOR  0422673, S2CID  123680847
• Zorro, Ralph ; Neuwirth, Lee (1962), "Los grupos de trenzas", Mathematica Scandinavica , 10 : 119–126, doi : 10.7146/math.scand.a-10518 , MR  0150755
• Kassel, cristiano; Turaev, Vladimir (2008), Grupos de trenzas, Springer, ISBN 978-0-387-33841-5
• Menasco, William ; Thistlethwaite, Morwen , eds. (2005), Manual de teoría de nudos , Elsevier, ISBN 978-0-444-51452-3

enlaces externos

• "Grupo de trenzas". PlanetMath .
• CRAG: Biblioteca de cálculo de criptografía y grupos del Centro de criptografía algebraica de la Universidad de Stevens
• Macauley, M. Conferencia 1.3: Grupos de ciencia, arte y matemáticas. Teoría del grupo visual . Universidad de Clemson.
• Bigelow, Stephen . "Exploración del subprograma Java B5". Archivado desde el original el 4 de junio de 2013 . Consultado el 1 de noviembre de 2007 .
• Página de Lipmaa, Helger, Cryptography and Braid Groups, archivada desde el original el 3 de agosto de 2009
• Dalvit, Ester (2015). Trenzas – la película.
• Scherich, Nancy. Representaciones de los Grupos Trenza. Baila tu doctorado .se amplió aún más en Detrás de las matemáticas de "Dance Your PhD", Parte 1: Los grupos de trenzas.