Trenzas, enlaces y grupos de clases de mapeo es una monografía matemática sobre grupos de trenzas y sus aplicaciones en topología de baja dimensión . Fue escrito por Joan Birman , basado en notas de conferencias de James W. Cannon , [1] y publicado en 1974 por Princeton University Press y University of Tokyo Press, como volumen 82 de la serie de libros Annals of Mathematics Studies.
Aunque los grupos de trenzas fueron introducidos en 1891 por Adolf Hurwitz y formalizados en 1925 por Emil Artin , [1] este fue el primer libro dedicado a ellos. [2] Ha sido descrito como un "trabajo fundamental", [3] uno que "sentó las bases para varios subcampos nuevos en topología". [4]
Trenzas, vínculos y grupos de clases de mapeo está organizado en cinco capítulos y un apéndice. El primer capítulo introductorio define grupos trenzados, espacios de configuración y el uso de espacios de configuración para definir grupos trenzados en variedades bidimensionales arbitrarias . Proporciona una solución al problema verbal de las trenzas, la cuestión de determinar si dos presentaciones de trenzas de aspecto diferente realmente describen el mismo elemento grupal. También describe los grupos trenzados como grupos de automorfismos de grupos libres y de discos con múltiples perforaciones. [5]
Los tres capítulos siguientes presentan conexiones de grupos de trenzas con tres áreas diferentes de las matemáticas. El capítulo 2 trata de las aplicaciones a la teoría de nudos , a través del teorema de Alexander de que cada nudo o eslabón puede formarse cerrando una trenza, y proporciona la primera prueba completa del teorema de Markov sobre la equivalencia de eslabones formados de esta manera. También incluye material sobre el problema de conjugación , [5] importante en esta área porque las trenzas conjugadas se cierran para formar el mismo enlace, [1] y sobre el "problema de enlace algebraico" (que no debe confundirse con enlaces algebraicos ) en el que uno Debe determinar si dos enlaces pueden relacionarse entre sí mediante un número finito de movimientos de un determinado tipo, equivalente al homeomorfismo de los complementos de enlace . [2] El capítulo 3 se refiere a la teoría de la representación e incluye los derivados de Fox y el cálculo diferencial libre de Fox , [1] la representación de Magnus de grupos libres y las representaciones de Gassner y Burau de grupos trenzados. [5] El capítulo 4 se refiere a los grupos de clases de mapeo de 2 variedades, los giros de Dehn y el teorema de giro de Lickor , y los plats, trenzas cerradas de una manera diferente que en el teorema de Alexander. [5]
El capítulo 5 se titula "Platos y enlaces". [1] Pasa de la topología bidimensional a la topología tridimensional y es más especulativo en lo que respecta a las conexiones entre grupos trenzados, variedades tridimensionales y la clasificación de enlaces. Incluye también un análogo del teorema de Alexander para las plataformas, donde el número de hebras de la plataforma resultante está determinado por el número de puente de un enlace determinado. [5] El apéndice proporciona una lista de 34 problemas abiertos. [1] [5] Cuando Wilbur Whitten escribió su reseña, en junio de 1975, algunos de estos ya se habían resuelto. [2]
Este es un libro para estudiantes y profesionales de matemáticas avanzados, de quienes se espera que ya estén familiarizados con la topología algebraica y las presentaciones de grupos mediante generadores y reladores . Aunque no es un libro de texto, posiblemente podría usarse para seminarios de posgrado. [1]
El crítico Lee Neuwirth califica el libro como "muy legible", "una buena combinación de resultados conocidos sobre el tema y material nuevo". [5] Whitten lo describe como "minucioso, hábilmente escrito" y "un placer de leer". [2] Wilhelm Magnus considera "notable" que, aunque cubra el tema con total rigor matemático, Birman haya conservado el atractivo intuitivo de algunas de sus primeras obras. [1]