teorema de markov

Da condiciones necesarias y suficientes para que dos trenzas tengan cierres equivalentes

Cierre de trenza

En matemáticas el teorema de Markov da condiciones necesarias y suficientes para que dos trenzas tengan cierres que sean nudos o eslabones equivalentes . Las condiciones se expresan en términos de estructuras de grupo en trenzas.

Las trenzas son objetos algebraicos descritos mediante diagramas; la relación con la topología viene dada por el teorema de Alexander que establece que cada nudo o eslabón en el espacio euclidiano tridimensional es el cierre de una trenza . El teorema de Markov, demostrado por el matemático ruso Andrei Andreevich Markov Jr. ^[1] describe los movimientos elementales que generan la relación de equivalencia en trenzas dada por la equivalencia de sus cierres.

Más precisamente, el teorema de Markov se puede enunciar de la siguiente manera: ^{[2] [3]} dadas dos trenzas representadas por elementos en los grupos de trenzas , sus cierres son enlaces equivalentes si y solo si se pueden obtener aplicando a una secuencia de las siguientes operaciones: ${\displaystyle \beta _{n},\beta _{m}'}$ ${\displaystyle B_{n},B_{m}}$ ${\displaystyle \beta _{m}'}$ ${\displaystyle \beta _{n}}$

1. conjugando en ; ${\displaystyle \beta _{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$
2. reemplazando por (aquí están los generadores estándar de los grupos de trenzas; geométricamente esto equivale a agregar un hilo a la derecha del diagrama de trenzas y torcerlo una vez con el (anteriormente) último hilo); ${\displaystyle \beta _{n}}$ ${\displaystyle \beta _{n}\sigma _{n+1}^{\pm 1}\in B_{n+1}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$
3. lo inverso de la operación anterior (si es con reemplazar con ). ${\displaystyle \beta _{n}=\beta _{n-1}\sigma _{n}^{\pm 1}}$ ${\displaystyle \beta _{n-1}\in B_{n-1}}$ ${\displaystyle \beta _{n-1}}$

Referencias

1. AA Markov Jr., Über die freie Äquivalenz der geschlossenen Zöpfe
2. Birmano, Joan (1974). Trenzas, enlaces y grupos de clases de mapeo . Anales de estudios de matemáticas. vol. 82. Prensa de la Universidad de Princeton., Teorema 2.3 en la p. 51
3. Kauffman, Luis (1991). Nudos y Física . Científico mundial., página 95