Representación de Burau

En matemáticas, la representación de Burau es una representación de los grupos de trenzas , nombrados así y originalmente estudiados por el matemático alemán Werner Burau ^[1] durante la década de 1930. La representación de Burau tiene dos formulaciones comunes y casi equivalentes: las representaciones de Burau reducidas y no reducidas .

Definición

El espacio de cobertura C _n se puede considerar concretamente de la siguiente manera: cortar el disco a lo largo de líneas desde el límite hasta los puntos marcados. Tome tantas copias del resultado como números enteros, apílelas verticalmente y conéctelas mediante rampas que vayan de un lado del corte en un nivel al otro lado del corte en el nivel inferior. Este procedimiento se muestra aquí para n = 4 ; las transformaciones de cobertura t ^±1 actúan desplazando el espacio verticalmente.

Considere que el grupo trenzado B _n es el grupo de clase de mapeo de un disco con n puntos marcados D _n . El grupo de homología H ₁ ( D _n ) es abeliano libre de rango n . Además, el subespacio invariante de H ₁ ( D _n ) (bajo la acción de B _n ) es primitivo y cíclico infinito. Sea π  : H ₁ ( D _n ) → Z la proyección sobre este subespacio invariante. Entonces hay un espacio de cobertura C _n correspondiente a este mapa de proyección. Al igual que en la construcción del polinomio de Alexander , considere H ₁ ( C _n ) como un módulo sobre el anillo de grupo de transformaciones de cobertura Z [ Z ] , que es isomorfo al anillo de los polinomios de Laurent Z [ t , t ⁻¹ ] . Como módulo Z [ t , t ⁻¹ ] , H ₁ ( C _n ) está libre de rango n  − 1 . Según la teoría básica de la cobertura de espacios , B _n actúa sobre H ₁ ( C _n ) , y esta representación se llama representación reducida de Burau .

La representación de Burau no reducida tiene una definición similar, es decir, se reemplaza D _n con su ampliación (real, orientada) en los puntos marcados. Entonces, en lugar de considerar H ₁ ( C _n ), se considera la homología relativa H ₁ ( C _n , Γ) donde γ ⊂ D _n es la parte de la frontera de D _n correspondiente a la operación de explosión junto con un punto en el límite del disco. Γ denota la elevación de γ a C _n . Como módulo Z [ t , t ⁻¹ ] , esto está libre de rango n .

Por la homología de secuencia larga exacta de un par , las representaciones de Burau encajan en una secuencia corta exacta

0 → V _r → V _tu → D ⊕ Z [ t , t ⁻¹ ] → 0,

donde V _r (resp. V _u ) es el módulo Burau B _n reducido (resp. no reducido) y D ⊂ Z ⁿ es el complemento del subespacio diagonal, en otras palabras:

${\displaystyle D=\left\{\left(x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\in \mathbf {Z} ^{n}:x_{1}+\cdots +x_{n}=0\right\},}$

y B _n actúa sobre Z ⁿ mediante la representación de permutación.

Matrices explícitas

Sea σ _i los generadores estándar del grupo trenzado B _n . Entonces la representación de Burau no reducida puede darse explícitamente mediante el mapeo

${\displaystyle \sigma _{i}\mapsto \left({\begin{array}{c|cc|c}I_{i-1}&0&0&0\\\hline 0&1-t&t&0\\0&1&0&0\\\hline 0&0&0&I_{n-i-1}\end{array}}\right),}$

para 1 ≤ i ≤ n − 1 , donde I _k denota la matriz identidad k × k . Asimismo, para n ≥ 3 la representación reducida de Burau viene dada por

${\displaystyle \sigma _{1}\mapsto \left({\begin{array}{cc|c}-t&1&0\\0&1&0\\\hline 0&0&I_{n-3}\end{array}}\right),}$

${\displaystyle \sigma _{i}\mapsto \left({\begin{array}{c|ccc|c}I_{i-2}&0&0&0&0\\\hline 0&1&0&0&0\\0&t&-t&1&0\\0&0&0&1&0\\\hline 0&0&0&0&I_{n-i-2}\end{array}}\right),\quad 2\leq i\leq n-2,}$

${\displaystyle \sigma _{n-1}\mapsto \left({\begin{array}{c|cc}I_{n-3}&0&0\\\hline 0&1&0\\0&t&-t\end{array}}\right),}$

mientras que para n = 2 , se asigna

${\displaystyle \sigma _{1}\mapsto \left(-t\right).}$

Interpretación de la bolera

Vaughan Jones ^[2] dio la siguiente interpretación de la representación Burau no reducida de trenzas positivas para t en [0,1] – es decir, para trenzas que son palabras en los generadores de grupos de trenzas estándar que no contienen inversas – que se deduce inmediatamente de la descripción explícita anterior :

Dada una trenza positiva σ en n hebras, interprétala como una bolera con n pistas entrelazadas. Ahora lanza una bola de bolos por una de las pistas y supone que en cada cruce donde su trayectoria cruza otra pista, cae con probabilidad t y continúa por la pista inferior. Entonces, la ( i , j ) 'ésima entrada de la representación Burau no reducida de σ es la probabilidad de que una pelota lanzada al i'ésimo carril termine en el j'ésimo carril.

Relación con el polinomio de Alexander

Si un nudo K es el cierre de una trenza f en B _n , entonces, hasta la multiplicación por una unidad en Z [ t , t ⁻¹ ] , el polinomio de Alexander Δ _K ( t ) de K viene dado por

${\displaystyle {\frac {1-t}{1-t^{n}}}\det(I-f_{*}),}$

donde f _∗ es la representación reducida de Burau de la trenza f .

Por ejemplo, si f = σ ₁ σ ₂ en B ₃ , usando las matrices explícitas anteriores se encuentra que

${\displaystyle {\frac {1-t}{1-t^{n}}}\det(I-f_{*})=1,}$

y la clausura de f _* es el desanudado cuyo polinomio de Alexander es 1 .

Fidelidad

Las primeras representaciones infieles de Burau fueron encontradas por John A. Moody sin el uso de una computadora, utilizando una noción de número de bobinado o integración de contorno. ^[3] Una comprensión más conceptual, debida a Darren D. Long y Mark Paton ^[4] interpreta que el enlace o enrollamiento proviene de la dualidad de Poincaré en la primera homología relativa al punto base de un espacio de cobertura, y utiliza la forma de intersección (tradicionalmente llamada Squier's Form ya que Craig Squier fue el primero en explorar sus propiedades). ^[5] Stephen Bigelow combinó técnicas informáticas y el teorema de Long-Paton para demostrar que la representación de Burau no es fiel para n ≥ 5 . ^{[6] [7] [8]} Bigelow además proporciona un elemento explícito no trivial en el núcleo como una palabra en los generadores estándar del grupo de trenzas: let

${\displaystyle \psi _{1}=\sigma _{3}^{-1}\sigma _{2}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}\sigma _{4}^{3}\sigma _{3}\sigma _{2},\quad \psi _{2}=\sigma _{4}^{-1}\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{1}^{-2}\sigma _{2}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}\sigma _{1}\sigma _{4}^{5}.}$

Entonces el conmutador da un elemento del núcleo.

${\displaystyle [\psi _{1}^{-1}\sigma _{4}\psi _{1},\psi _{2}^{-1}\sigma _{4}\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{4}\psi _{2}].}$

Se sabe desde hace algún tiempo que la representación de Burau para n = 2, 3 es fiel. La fidelidad de la representación de Burau cuando n = 4 es un problema abierto. La representación de Burau aparece como una suma de la representación de Jones, y para n = 4 , la fidelidad de la representación de Burau es equivalente a la de la representación de Jones, lo que por otro lado está relacionado con la cuestión de si el polinomio de Jones es válido o no. Es un detector de nudos . ^[9]

Geometría

Craig Squier demostró que la representación de Burau conserva una forma sesquilineal . ^[5] Además, cuando se elige la variable t para que sea un número complejo unitario trascendental cercano a 1 , se trata de un par hermitiano definido positivo . Por tanto, la representación de Burau del grupo trenzado B _n puede considerarse como un mapa del grupo unitario U ( n ).

Referencias

1. Burau, Werner (1936). "Über Zopfgruppen und gleichsinnig verdrillte Verkettungen". Abh. Matemáticas. Sem. Univ. Hamburgo . 11 : 179–186. doi :10.1007/bf02940722. S2CID  119576586.
2. Jones, Vaughan (1987). "Representaciones del álgebra de Hecke de grupos trenzados y polinomios de enlace". Anales de Matemáticas . Segunda Serie. 126 (2): 335–388. doi :10.2307/1971403. JSTOR  1971403.
3. Moody, John Atwell (1993), "La cuestión de la fidelidad para la representación de Burau", Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 119 (2): 671–679, doi : 10.1090/s0002-9939-1993-1158006-x , JSTOR  2159956, SEÑOR  1158006
4. Largo, Darren D.; Paton, Mark (1993), "La representación de Burau no es fiel ", Topología , 32 (2): 439–447, doi : 10.1016/0040-9383(93)90030-Y , MR  1217079 ${\displaystyle n\geq 6}$
5. Squier, Craig C (1984). "La representación del Burau es unitaria". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 90 (2): 199–202. doi : 10.2307/2045338 . JSTOR  2045338.
6. Bigelow, Stephen (1999). "La representación de Burau no es fiel para n = 5 ". Geometría y topología . 3 : 397–404. arXiv : matemáticas/9904100 . doi :10.2140/gt.1999.3.397. S2CID  5967061.
7. S. Bigelow , Congreso Internacional de Matemáticos, Beijing, 2002
8. Vladimir Turaev , Fieles representaciones de los grupos de trenzas, Bourbaki 1999-2000
9. Bigelow, Stephen (2002). "¿El polinomio de Jones detecta el desanudado?". Revista de teoría de nudos y sus ramificaciones . 11 (4): 493–505. arXiv : matemáticas/0012086 . doi :10.1142/s0218216502001779. S2CID  1353805.

enlaces externos

• "Teorema de Burau", El Atlas del Nudo .