Orden de dehornoy

En el área matemática de la teoría de trenzas , el orden de Dehornoy es un orden total invariante por la izquierda en el grupo de trenzas , encontrado por Patrick Dehornoy . ^{[1] [2]} El descubrimiento original de Dehornoy del orden en el grupo trenzado utilizó cardinales enormes , pero ahora hay varias construcciones más elementales del mismo. ^[3]

Definición

Supongamos que son los generadores habituales del grupo trenzado en cuerdas. Defina una palabra positiva como una trenza que admite al menos una expresión en los elementos y sus inversas, de modo que la palabra contenga , pero no contenga ni para . ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{-1}}$ ${\displaystyle \sigma _{j}^{\pm 1}}$ ${\displaystyle j<i}$

El conjunto de elementos positivos en el orden Dehornoy se define como los elementos que pueden escribirse como palabra positiva para algunos . Tenemos: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle i}$

• ${\displaystyle PP\subseteq P;}$
• ${\displaystyle P,\{1\}}$y son disjuntos ("propiedad de aciclicidad"); ${\displaystyle P^{-1}}$
• el grupo trenzado es la unión de y ("propiedad de comparación"). ${\displaystyle P,\{1\}}$ ${\displaystyle P^{-1}}$

Estas propiedades implican que si definimos como obtenemos un orden total invariante a la izquierda en el grupo trenzado. Por ejemplo, porque la palabra trenzada no es -positiva, pero, según las relaciones de la trenza, es equivalente a la palabra -positiva , que se encuentra en . ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle a^{-1}b\in P}$ ${\displaystyle \sigma _{1}<\sigma _{2}\sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}^{-1}\sigma _{2}\sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}^{-1}}$ ${\displaystyle P}$

Historia

La teoría de conjuntos introduce la existencia hipotética de varias nociones de "hiperinfinito", como los grandes cardinales . En 1989, se demostró que una de esas nociones, el axioma , implica la existencia de una estructura algebraica llamada plataforma acíclica, que a su vez implica la decidibilidad del problema verbal para la ley de autodistributividad por la izquierda, una propiedad que a priori no está relacionada con grandes cardenales. ^{[4] [5]} ${\displaystyle I_{3}}$ ${\displaystyle LD:x(yz)=(xy)(xz),}$

En 1992, Dehornoy produjo un ejemplo de plataforma acíclica mediante la introducción de cierto grupoide que captura los aspectos geométricos de la ley. Como resultado, se construyó un estante acíclico en el grupo de trenzas , que resulta ser un cociente de , y esto implica la existencia del orden de las trenzas directamente. ^[2] Dado que el orden trenzado aparece precisamente cuando se elimina el supuesto cardinal grande, el vínculo entre el orden trenzado y la plataforma acíclica sólo fue evidente a través del problema original de la teoría de conjuntos. ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{LD}}$ ${\displaystyle LD}$ ${\displaystyle B_{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{LD}}$

Propiedades

• La existencia del orden muestra que todo grupo trenzado es un grupo ordenable y que, en consecuencia, las álgebras y no tienen divisor cero. ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} B_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} B_{n}}$
• Para , el orden de Dehornoy no es invariante a la derecha: tenemos y . De hecho, ningún orden de con puede ser invariante en ambos lados. ${\displaystyle n\geqslant 3}$ ${\displaystyle \sigma _{2}<\sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{1}>\sigma _{1}^{2}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n\geqslant 3}$
• Porque , el orden de Dehornoy no es ni arquimediano ni conradiano: existen trenzas que satisfacen para cada (por ejemplo, y ), y trenzas que satisfacen más que para cada (por ejemplo, y ). ${\displaystyle n\geqslant 3}$ ${\displaystyle \beta _{1},\beta _{2}}$ ${\displaystyle \beta _{1}^{p}<\beta _{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \beta _{1}=\sigma _{2}}$ ${\displaystyle \beta _{2}=\sigma _{1}}$ ${\displaystyle \beta _{1},\beta _{2}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \beta _{1}>\beta _{2}\beta _{1}^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \beta _{1}=\sigma _{2}^{-1}\sigma _{1}}$ ${\displaystyle \beta _{2}=\sigma _{2}^{-2}\sigma _{1}}$
• El orden de Dehornoy es un buen ordenamiento cuando se restringe al monoide trenzado positivo generado por . ^[7] El tipo de orden de la orden Dehornoy restringida es el ordinal . ^[8] ${\displaystyle B_{n}^{+}}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}}$ ${\displaystyle B_{n}^{+}}$ ${\displaystyle \omega ^{\omega ^{n-2}}}$
• El orden Dehornoy también es un buen ordenamiento cuando se restringe al monoide trenzado positivo dual generado por los elementos con , y el tipo de orden del orden Dehornoy restringido a también es . ^[9] ${\displaystyle B_{n}^{*+}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}\dots \sigma _{j-1}\sigma _{j}\sigma _{j-1}^{-1}\dots \sigma _{i}^{-1}}$ ${\displaystyle 1\leqslant i<j\leqslant n}$ ${\displaystyle B_{n}^{*+}}$ ${\displaystyle \omega ^{\omega ^{n-2}}}$
• Como relación binaria, el orden de Dehornoy es decidible. El mejor algoritmo de decisión se basa en las fórmulas tropicales de Dynnikov, ^[10] ver Capítulo XII de; ^[3] el algoritmo resultante admite una complejidad uniforme . ${\displaystyle O(\ell ^{2})}$

Conexión con la teoría de nudos.

• Sea la trenza de media vuelta fundamental de Garside. Cada trenza se encuentra en un intervalo único ; Llame al número entero piso de Dehornoy de , denotado . Entonces el cierre de eslabones de las trenzas con un fondo grande se comporta muy bien, es decir, las propiedades se pueden leer fácilmente en . Aquí hay unos ejemplos. ${\displaystyle \Delta _{n}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle [\Delta _{n}^{2m},\Delta _{n}^{2m+2})}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \lfloor \beta \rfloor }$ ${\displaystyle {\widehat {\beta }}}$ ${\displaystyle \beta }$
• Si entonces es primo, no dividido y no trivial. ^[11] ${\displaystyle \vert \lfloor \beta \rfloor \vert >1}$ ${\displaystyle {\widehat {\beta }}}$
• Si y es un nudo, entonces es un nudo tórico si y sólo si es periódico, es un nudo satélite si y sólo si es reducible, y es hiperbólico si y sólo si es pseudo-Anosov. ^[12] ${\displaystyle \vert \lfloor \beta \rfloor \vert >1}$ ${\displaystyle {\widehat {\beta }}}$ ${\displaystyle {\widehat {\beta }}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {\widehat {\beta }}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {\widehat {\beta }}}$ ${\displaystyle \beta }$

Referencias

1. Dehornoy, Patrick (1992), "Deux propriétés des groupes de tresses", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 315 (6): 633–638, ISSN  0764-4442, SEÑOR  1183793
2. Dehornoy, Patrick (1994), "Grupos trenzados y operaciones distributivas por la izquierda", Transactions of the American Mathematical Society , 345 (1): 115–150, doi : 10.2307/2154598 , JSTOR  2154598, MR  1214782
3. Dehornoy, Patrick; Dynnikov, Iván; Rolfsen, Dale; Wiest, Bert (2008), Ordenamiento de trenzas, Encuestas y monografías matemáticas, vol. 148, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-4431-1, señor  2463428
4. Dehornoy, Patrick (1989), "Sur la Structure des gerbes libres", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 309 (3): 143–148, MR  1005627
5. Laver, Richard (1992), "La ley distributiva por la izquierda y la libertad de un álgebra de incrustaciones elementales", Avances en Matemáticas , 91 (2): 209–231, doi : 10.1016/0001-8708(92)90016-E , hdl : 10338.dmlcz/127389 , SEÑOR  1149623
6. Dehornoy, Patrick (1996), "Otro uso de la teoría de conjuntos", Bulletin of Symbolic Logic , 2 (4): 379–391, doi :10.2307/421170, JSTOR  421170, MR  1321290
7. Laver, Richard (1996), "Acciones de grupos trenzados en estructuras distributivas izquierdas y ordenamientos de pozos en los grupos trenzados", Journal of Pure and Applied Algebra , 108 : 81–98, doi : 10.1016/0022-4049(95)00147 -6 , señor  1382244
8. Burckel, Serge (1997), "El buen orden en trenzas positivas", Journal of Pure and Applied Algebra , 120 (1): 1–17, doi : 10.1016/S0022-4049(96)00072-2 , MR  1466094
9. Fromentin, Jean (2011), "Cada trenza admite una expresión corta definida por sigma", Revista de la Sociedad Matemática Europea , 13 (6): 1591–1631, arXiv : 0811.3902 , doi : 10.4171/JEMS/289 , MR  2835325
10. Dynnikov, Ivan (2002), "Sobre un mapeo de Yang-Baxter y el orden de Dehornoy", Russian Mathematical Surveys , 57 (3): 151–152, doi :10.1070/RM2002v057n03ABEH000519, MR  1918864
11. Malyutin, Andrei; Netsvetáev, Nikita Yu. (2003), "Orden de Dehornoy en el grupo de trenzas y transformaciones de trenzas cerradas", Rossiĭskaya Akademiya Nauk. Álgebra i Analiz , 15 (3): 170–187, doi : 10.1090/S1061-0022-04-00816-7 , SEÑOR  2052167
12. Ito, Tetsuya (2011), "Orden de trenzas y género de nudos", Journal of Knot Theory and Its Ramifications , 20 (9): 1311–1323, arXiv : 0805.2042 , doi : 10.1142/S0218216511009169, MR  2844810, S2CID  9

Otras lecturas

• Kassel, Christian (2002), "L'ordre de Dehornoy sur les tresses", Astérisque (276): 7–28, ISSN  0303-1179, SEÑOR  1886754
• Dehornoy, Patrick (1997), "Un método rápido para comparar trenzas", Avances en Matemáticas , 125 (2): 200–235, doi : 10.1006/aima.1997.1605 , MR  1434111