polinomio de Jones

Mathematical invariant of a knot or link

En el campo matemático de la teoría de nudos , el polinomio de Jones es un polinomio de nudos descubierto por Vaughan Jones en 1984. ^{[1] [2]} Específicamente, es una invariante de un nudo o vínculo orientado que asigna a cada nudo o vínculo orientado un Laurent polinomio en la variable con coeficientes enteros. ^[3] ${\displaystyle t^{1/2}}$

Definición por paréntesis

Movimiento Reidemeister tipo I

Supongamos que tenemos un enlace orientado , dado como un diagrama de nudos . Definiremos el polinomio de Jones utilizando el polinomio entre corchetes de Louis Kauffman , que denotamos por . Aquí el polinomio entre corchetes es un polinomio de Laurent en la variable con coeficientes enteros. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V(L)}$ ${\displaystyle \langle ~\rangle }$ ${\displaystyle A}$

Primero, definimos el polinomio auxiliar (también conocido como polinomio de paréntesis normalizado)

${\displaystyle X(L)=(-A^{3})^{-w(L)}\langle L\rangle ,}$

donde denota la contracción de en su diagrama dado. La curvatura de un diagrama es el número de cruces positivos ( en la figura siguiente) menos el número de cruces negativos ( ). La contracción no es un nudo invariante. ${\displaystyle w(L)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{+}}$ ${\displaystyle L_{-}}$

${\displaystyle X(L)}$Es un nudo invariante ya que es invariante ante cambios del diagrama de por los tres movimientos de Reidemeister . La invariancia bajo los movimientos de Reidemeister de tipo II y III se deriva de la invariancia del grupo bajo esos movimientos. Se sabe que el polinomio entre corchetes cambia en un factor de bajo un movimiento de Reidemeister tipo I. La definición del polinomio dada anteriormente está diseñada para anular este cambio, ya que la contorsión cambia apropiadamente según o bajo los movimientos de tipo I. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle -A^{\pm 3}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$

Ahora haz la sustitución para obtener el polinomio de Jones . Esto da como resultado un polinomio de Laurent con coeficientes enteros en la variable . ${\displaystyle A=t^{-1/4}}$ ${\displaystyle X(L)}$ ${\displaystyle V(L)}$ ${\displaystyle t^{1/2}}$

Polinomio de Jones para enredos

Esta construcción del polinomio de Jones para enredos es una generalización simple del paréntesis de Kauffman de un vínculo. La construcción fue desarrollada por Vladimir Turaev y publicada en 1990. ^[4]

Sea un número entero no negativo y denotemos el conjunto de todos los tipos isotópicos de diagramas de enredos, con extremos, sin puntos de cruce ni componentes cerrados (suavizantes). La construcción de Turaev hace uso de la construcción anterior para el corchete de Kauffman y asocia a cada maraña orientada a un extremo un elemento del módulo libre , donde es el anillo de polinomios de Laurent con coeficientes enteros en la variable . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S_{k}}$ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle \mathrm {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {R} [S_{k}]}$ ${\displaystyle \mathrm {R} }$ ${\displaystyle t^{1/2}}$

Definición por representación de trenza

La formulación original de Jones de su polinomio provino de su estudio de álgebras de operadores. En el enfoque de Jones, surgió de una especie de "rastro" de una representación trenzada particular en un álgebra que surgió originalmente durante el estudio de ciertos modelos, por ejemplo, el modelo de Potts , en mecánica estadística .

Sea un enlace L. Un teorema de Alejandro establece que es el cierre de la traza de una trenza, digamos con n hebras. Ahora defina una representación del grupo trenzado en n hebras, B _n , en el álgebra de Temperley-Lieb con coeficientes en y . El generador de trenza estándar se envía a , donde se encuentran los generadores estándar del álgebra de Temperley-Lieb. Se puede comprobar fácilmente que esto define una representación. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \operatorname {TL} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [A,A^{-1}]}$ ${\displaystyle \delta =-A^{2}-A^{-2}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle A\cdot e_{i}+A^{-1}\cdot 1}$ ${\displaystyle 1,e_{1},\dots ,e_{n-1}}$

Tome la palabra trenzada obtenida anteriormente y calcule dónde está la traza de Markov. Esto da dónde está el polinomio entre corchetes. Esto puede verse considerando, como lo hizo Louis Kauffman , el álgebra de Temperley-Lieb como un álgebra de diagramas particular. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \delta ^{n-1}\operatorname {tr} \rho (\sigma )}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ ${\displaystyle \langle L\rangle }$ ${\displaystyle \langle }$ ${\displaystyle \rangle }$

Una ventaja de este enfoque es que se pueden elegir representaciones similares en otras álgebras, como las representaciones de matriz R , lo que lleva a "invariantes de Jones generalizadas".

Propiedades

El polinomio de Jones se caracteriza por tomar el valor 1 en cualquier diagrama del desanudado y satisface la siguiente relación de madeja :

${\displaystyle (t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})\,}$

donde , y son tres diagramas de enlaces orientados que son idénticos excepto en una pequeña región donde difieren por los cambios de cruce o el suavizado que se muestran en la siguiente figura: ${\displaystyle L_{+}}$ ${\displaystyle L_{-}}$ ${\displaystyle L_{0}}$

La definición del polinomio de Jones entre corchetes simplifica la demostración de que, para un nudo , el polinomio de Jones de su imagen especular viene dado por la sustitución de por in . Así, un nudo anfichero , un nudo equivalente a su imagen especular, tiene entradas palindrómicas en su polinomio de Jones. Consulte el artículo sobre relación de madeja para ver un ejemplo de cálculo utilizando estas relaciones. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle t^{-1}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle V(K)}$

Otra propiedad notable de esta invariante establece que el polinomio de Jones de un enlace alterno es un polinomio alterno . Esta propiedad fue probada por Morwen Thistlethwaite ^[5] en 1987. Otra prueba de esta última propiedad se debe a Hernando Burgos-Soto , quien también dio una extensión a los enredos ^[6] de la propiedad.

El polinomio de Jones no es un invariante completo. Existe una cantidad infinita de nudos no equivalentes que tienen el mismo polinomio de Jones. En el libro de Murasugi se puede encontrar un ejemplo de dos nudos distintos que tienen el mismo polinomio de Jones. ^[7]

Polinomio de Jones coloreado

Para un número entero positivo , el polinomio de Jones de color es una generalización del polinomio de Jones. Es el invariante de Reshetikhin-Turaev asociado con la representación irreducible del grupo cuántico . En este esquema, el polinomio de Jones es el polinomio de Jones de un color, el invariante de Reshetikhin-Turaev asociado a la representación estándar (irreducible y bidimensional) de . Uno piensa que los hilos de un eslabón están "coloreados" por una representación, de ahí el nombre. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V_{N}(L,t)}$ ${\displaystyle (N+1)}$ ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})}$ ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})}$

De manera más general, dado un vínculo de componentes y representaciones de , el polinomio de Jones de color es el invariante de Reshetikhin-Turaev asociado a (aquí asumimos que los componentes están ordenados). Dadas dos representaciones y , los polinomios de Jones coloreados satisfacen las dos propiedades siguientes: ^[8] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$ ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})}$ ${\displaystyle (V_{1},\ldots ,V_{k})}$ ${\displaystyle V_{V_{1},\ldots ,V_{k}}(L,t)}$ ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

• ${\displaystyle V_{V\oplus W}(L,t)=V_{V}(L,t)+V_{W}(L,t)}$,
• ${\displaystyle V_{V\otimes W}(L,t)=V_{V,W}(L^{2},t)}$, donde denota el cableado 2 de . ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L}$

Estas propiedades se deducen del hecho de que los polinomios de Jones coloreados son invariantes de Reshetikhin-Turaev.

Sea un nudo. Recordemos que al ver un diagrama de como un elemento del álgebra de Temperley-Lieb gracias al corchete de Kauffman, se recupera el polinomio de Jones de . De manera similar, al polinomio de Jones de color se le puede dar una descripción combinatoria utilizando los idempotentes de Jones-Wenzl, de la siguiente manera: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$

• considere el cableado de ; ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K^{N}}$ ${\displaystyle K}$
• verlo como un elemento del álgebra de Temperley-Lieb;
• Inserte los idempotentes de Jones-Wenzl en algunas hebras paralelas. ${\displaystyle N}$

El elemento resultante es el polinomio de Jones de color. Consulte el apéndice H de ^[9] para obtener más detalles. ${\displaystyle \mathbb {Q} (t)}$ ${\displaystyle N}$

Relación con otras teorías

Vínculo con la teoría de Chern-Simons

Como lo mostró por primera vez Edward Witten , ^[10] el polinomio de Jones de un nudo dado se puede obtener considerando la teoría de Chern-Simons sobre las tres esferas con grupo de calibre y calculando el valor esperado de vacío de un bucle de Wilson , asociado a , y la representación fundamental de . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle W_{F}(\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$

Vínculo con invariantes de nudos cuánticos

Al sustituir la variable del polinomio de Jones y expandirla como la serie de h, cada uno de los coeficientes pasa a ser el invariante de Vassiliev del nudo . Para unificar las invariantes de Vassiliev (o invariantes de tipo finito), Maxim Kontsevich construyó la integral de Kontsevich . El valor de la integral de Kontsevich, que es la suma infinita de diagramas de cuerdas de 1, 3 valores , denominados diagramas de cuerdas de Jacobi, reproduce el polinomio de Jones junto con el sistema de pesos estudiado por Dror Bar-Natan . ${\displaystyle e^{h}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$

Enlace con la conjetura del volumen.

Mediante exámenes numéricos de algunos nudos hiperbólicos, Rinat Kashaev descubrió que sustituyendo la n -ésima raíz de la unidad en el parámetro del polinomio de Jones coloreado correspondiente a la representación n -dimensional, y limitándolo a medida que n crece hasta el infinito, el valor límite daría el volumen hiperbólico del complemento del nudo . (Ver Conjetura del volumen ).

Vínculo con la homología de Khovanov

En 2000, Mikhail Khovanov construyó un determinado complejo de cadenas para nudos y eslabones y demostró que la homología inducida a partir de él es una invariante de nudo (ver Homología de Khovanov ). El polinomio de Jones se describe como la característica de Euler para esta homología.

Detección del desanudo

Es una cuestión abierta si existe un nudo no trivial con un polinomio de Jones igual al del desanudado . Se sabe que existen vínculos no triviales con el polinomio de Jones iguales a los desvínculos correspondientes por el trabajo de Morwen Thistlethwaite . ^[11] Kronheimer y Mrowka demostraron que no existe ningún nudo no trivial con homología de Khovanov igual a la del desanudado. ^[12]

Ver también

• polinomio HOMFLY
• Polinomio de Alejandro
• Conjetura del volumen
• Teoría de Chern-Simons
• grupo cuántico

Notas

1. Jones, Vaughan FR (1985). "Un invariante polinomial para nudos mediante el álgebra de von Neumann". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . (NS). 12 : 103-111. doi : 10.1090/s0273-0979-1985-15304-2 . SEÑOR  0766964.
2. Jones, Vaughan FR (1987). "Representaciones del álgebra de Hecke de grupos trenzados y polinomios de enlace". Anales de Matemáticas . (2). 126 (2): 335–388. doi :10.2307/1971403. JSTOR  1971403. SEÑOR  0908150.
3. "Polinomios de Jones, volumen y superficies de nudos esenciales: una encuesta" (PDF) .
4. Turaev, Vladimir G. (1990). "Invariantes de enredos tipo Jones". Revista de Ciencias Matemáticas . 52 : 2806–2807. doi : 10.1007/bf01099242 . S2CID  121865582.
5. Thistlethwaite, Morwen B. (1987). "Una expansión del árbol de expansión del polinomio de Jones". Topología . 26 (3): 297–309. doi : 10.1016/0040-9383(87)90003-6 .
6. Burgos-Soto, Hernando (2010). "El polinomio de Jones y el álgebra plana de enlaces alternos". Revista de teoría de nudos y sus ramificaciones . 19 (11): 1487-1505. arXiv : 0807.2600 . doi :10.1142/s0218216510008510. S2CID  13993750.
7. Murasugi, Kunio (1996). Teoría de nudos y sus aplicaciones . Birkhäuser Boston, MA. pag. 227.ISBN _ 978-0-8176-4718-6.
8. Gukov, Sergei; Saberi, Ingmar (2014). "Conferencias sobre homología de nudos y curvas cuánticas". Topología y teorías de campo . Matemáticas Contemporáneas. vol. 613, págs. 41–78. arXiv : 1211.6075 . doi :10.1090/conm/613/12235. ISBN 9781470410155. S2CID  27676682.
9. Ohtsuki, Invariantes cuánticas: un estudio de nudos, 3 variedades y sus conjuntos
10. Witten, Edward (1989). "Teoría cuántica de campos y polinomio de Jones" (PDF) . Comunicaciones en Física Matemática . 121 (3): 351–399. Código bibliográfico : 1989CMaPh.121..351W. doi :10.1007/BF01217730. S2CID  14951363.
11. Thistlethwaite, Morwen (1 de junio de 2001). "Vínculos con polinomio de Jones trivial". Revista de teoría de nudos y sus ramificaciones . 10 (4): 641–643. doi :10.1142/S0218216501001050. ISSN  0218-2165.
12. Kronheimer, PB; Mrowka, TS (11 de febrero de 2011). "La homología de Khovanov es un detector de desanudos". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 113 (1): 97–208. arXiv : 1005.4346 . doi :10.1007/s10240-010-0030-y. ISSN  0073-8301. S2CID  119586228.

Referencias

• Adams, Colin (6 de diciembre de 2000). El libro del nudo . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8050-7380-9.
• Jones, Vaughan . "El polinomio de Jones" (PDF) .
• Jones, Vaughan (1987). "Representaciones del álgebra de Hecke de grupos trenzados y polinomios de enlace". Anales de Matemáticas . 126 (2): 335–388. doi :10.2307/1971403. JSTOR  1971403.
• Kauffman, Louis H. (1987). "Modelos de estado y el polinomio de Jones". Topología . 26 (3): 395–407. doi : 10.1016/0040-9383(87)90009-7 .(explica la definición por polinomio entre corchetes y su relación con la formulación de Jones mediante representación trenzada)
• Lickorish, WB Raymond (1997). Una introducción a la teoría de nudos. Nueva York; Berlina; Heidelberg; Barcelona; Budapest; Hong Kong; Londres; Milán; París; Santa Clara; Singapur; Tokio: Springer. pag. 175.ISBN _ 978-0-387-98254-0.
• Thistlethwaite, Morwen (2001). "Vínculos con el polinomio trivial de Jones". Revista de teoría de nudos y sus ramificaciones . 10 (4): 641–643. doi :10.1142/S0218216501001050.
• Eliahou, Shalom; Kauffman, Luis H .; Thistlethwaite, Morwen B. (2003). "Familias infinitas de enlaces con polinomio de Jones trivial". Topología . 42 (1): 155-169. doi : 10.1016/S0040-9383(02)00012-5 .
• Przytycki, Józef H. (1991). "Módulos de madeja de 3 colectores". Boletín de la Academia Polaca de Ciencias . 39 (1–2): 91–100. arXiv : matemáticas/0611797 .

enlaces externos

• "Polinomio de Jones-Conway", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Vínculos con el polinomio trivial de Jones por Morwen Thistlethwaite
• "El polinomio de Jones", The Knot Atlas .