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En el campo matemático de la teoría de nudos , un polinomio de nudo es un invariante de nudo en forma de polinomio cuyos coeficientes codifican algunas de las propiedades de un nudo dado .
El primer polinomio de nudo, el polinomio de Alexander , fue introducido por James Waddell Alexander II en 1923. Otros polinomios de nudo no se encontraron hasta casi 60 años después.
En la década de 1960, John Conway ideó una relación de madeja para una versión del polinomio de Alexander, generalmente denominada polinomio de Alexander-Conway . La importancia de esta relación de madeja no se comprendió hasta principios de la década de 1980, cuando Vaughan Jones descubrió el polinomio de Jones . Esto condujo al descubrimiento de más polinomios de nudo, como el llamado polinomio de HOMFLY .
Poco después del descubrimiento de Jones, Louis Kauffman se dio cuenta de que el polinomio de Jones podía calcularse mediante una función de partición (modelo de suma de estados), que implicaba el polinomio de corchetes , un invariante de nudos enmarcados . Esto abrió vías de investigación que vinculaban la teoría de nudos y la mecánica estadística .
A finales de los años 1980, se produjeron dos avances relacionados. Edward Witten demostró que el polinomio de Jones y otros invariantes de tipo Jones similares tenían una interpretación en la teoría de Chern-Simons . Viktor Vasilyev y Mikhail Goussarov iniciaron la teoría de los invariantes de tipo finito de los nudos. Se sabe que los coeficientes de los polinomios nombrados anteriormente son de tipo finito (quizás después de un "cambio de variables" adecuado).
En los últimos años, se ha demostrado que el polinomio de Alexander está relacionado con la homología de Floer . La característica de Euler graduada de la homología de Floer del nudo de Peter Ozsváth y Zoltan Szabó es el polinomio de Alexander.
La notación Alexander-Briggs organiza los nudos según su número de cruce.
Los polinomios de Alexander y los polinomios de Conway no pueden reconocer la diferencia entre el nudo trébol izquierdo y el nudo trébol derecho.
Entonces tenemos la misma situación que el nudo granny y el nudo cuadrado ya que la suma de nudos en es el producto de nudos en polinomios de nudos .
