Las relaciones de madeja son una herramienta matemática utilizada para estudiar nudos . Una cuestión central en la teoría matemática de los nudos es si dos diagramas de nudos representan el mismo nudo. Una forma de responder a la pregunta es utilizar polinomios de nudos , que son invariantes del nudo . Si dos diagramas tienen polinomios diferentes , representan nudos diferentes. Sin embargo, lo contrario no es cierto.
Las relaciones de madeja se utilizan a menudo para dar una definición sencilla de polinomios de nudos. Una relación de madeja proporciona una relación lineal entre los valores de un polinomio de nudo en una colección de tres eslabones que difieren entre sí sólo en una pequeña región. Para algunos polinomios de nudos, como los polinomios de Conway , Alexander y Jones , las relaciones de madeja relevantes son suficientes para calcular el polinomio de forma recursiva .
Una relación de madeja requiere tres diagramas de vínculos que sean idénticos excepto en un cruce. Los tres diagramas deben mostrar las tres posibilidades que podrían ocurrir para los dos segmentos de línea en ese cruce: una de las líneas podría pasar por debajo, la misma línea podría estar por encima o las dos líneas podrían no cruzarse en absoluto. Se deben considerar los diagramas de enlaces porque un solo cambio de madeja puede alterar un diagrama de representar un nudo a uno que represente un enlace y viceversa. Dependiendo del polinomio del nudo en cuestión, los enlaces (o enredos) que aparecen en una relación de madeja pueden estar orientados o no orientados.
Los tres diagramas están etiquetados de la siguiente manera. Gire el diagrama de tres enlaces de modo que las direcciones en el cruce en cuestión estén aproximadamente hacia el norte. Un diagrama tendrá noroeste sobre noreste y está etiquetado como L − . Otro tendrá noreste sobre noroeste, es L + . Al diagrama restante le falta ese cruce y está etiquetado como L 0 .
(El etiquetado es independiente de la dirección en la medida en que permanece igual si se invierten todas las direcciones. Por lo tanto, los polinomios en nudos no dirigidos se definen sin ambigüedades mediante este método. Sin embargo, las direcciones en los enlaces son un detalle vital que se debe retener cuando se recurre a un cálculo polinomial. .)
También es sensato pensar en un sentido generativo, tomando un diagrama de vínculos existente y "parchándolo" para crear los otros dos, siempre y cuando los parches se apliquen con direcciones compatibles.
Para definir recursivamente un polinomio de nudo (enlace), se fija una función F y para cualquier triple de diagramas y sus polinomios etiquetados como arriba,
o más pedante
(Encontrar una F que produzca polinomios independientes de las secuencias de cruces utilizadas en una recursividad no es un ejercicio trivial).
Más formalmente, se puede considerar que una relación de madeja define el núcleo de un mapa de cociente a partir del álgebra plana de enredos . Tal mapa corresponde a un polinomio nudo si todos los diagramas cerrados se llevan a algún múltiplo (polinomio) de la imagen del diagrama vacío.
En algún momento a principios de la década de 1960, Conway mostró cómo calcular el polinomio de Alexander utilizando relaciones de madeja. Como es recursivo , no es tan directo como el método matricial original de Alexander ; en cambio, partes del trabajo realizado para un nudo se aplicarán a otros. En particular, la red de diagramas es la misma para todos los polinomios relacionados con la madeja.
Sea la función P de los diagramas de enlace a la serie de Laurent tal que y un triple de diagramas de relación de madeja satisfaga la ecuación
Entonces P asigna un nudo a uno de sus polinomios de Alexander.
En este ejemplo calculamos el polinomio de Alexander del nudo cinquefoil ( ), el nudo alterno con cinco cruces en su diagrama mínimo. En cada etapa exhibimos una relación que involucra un vínculo más complejo y dos diagramas más simples. Tenga en cuenta que el enlace más complejo está a la derecha en cada paso a continuación, excepto en el último. Por conveniencia, sea A = x −1/2 −x 1/2 .
Para comenzar, creamos dos nuevos diagramas parcheando uno de los cruces del cinquefoil (resaltado en amarillo) para que
El segundo diagrama es en realidad un trébol; el primer diagrama son dos desanudos con cuatro cruces. Parchando este último
da, nuevamente, un trébol y dos desanudos con dos cruces (el enlace de Hopf [1]). Parchando el trébol
da el desanudo y, nuevamente, el enlace de Hopf. Parcheando el enlace Hopf
da un enlace con 0 cruces (desvincular) y un nudo. La desvinculación requiere un poco de astucia:
Ahora tenemos suficientes relaciones para calcular los polinomios de todos los enlaces que hemos encontrado y podemos usar las ecuaciones anteriores en orden inverso para llegar al nudo cinquefoil. El cálculo se describe en la siguiente tabla, ¿dónde ? denota la cantidad desconocida que estamos resolviendo en cada relación:
Por tanto, el polinomio de Alexander para un cinquefoil es P(x) = x −2 -x −1 +1 -x +x 2 .
