Polinomio de Alejandro

Nudo invariante

En matemáticas , el polinomio de Alexander es un invariante de nudo que asigna un polinomio con coeficientes enteros a cada tipo de nudo. James Waddell Alejandro II descubrió este, el primer polinomio de nudos , en 1923. En 1969, John Conway demostró que una versión de este polinomio, ahora llamado polinomio de Alexander-Conway , podía calcularse usando una relación de madeja , aunque su importancia no se comprendió hasta el descubrimiento del polinomio de Jones en 1984. Poco después de la reelaboración del polinomio de Alexander por parte de Conway, se descubrió que en el artículo de Alexander sobre su polinomio se exhibía una relación de madeja similar. ^[1]

Definición

Sea K un nudo en las 3 esferas . Sea X la cobertura cíclica infinita del complemento de nudos de K. Esta cobertura se puede obtener cortando el complemento del nudo a lo largo de una superficie de Seifert de K y pegando infinitas copias de la variedad resultante con límite de manera cíclica. Hay una transformación de cobertura t que actúa sobre X . Considere la primera homología (con coeficientes enteros) de X , denotada . La transformación t actúa sobre la homología por lo que podemos considerar un módulo sobre el anillo de polinomios de Laurent . Esto se llama invariante de Alexander o módulo de Alexander . ${\displaystyle H_{1}(X)}$ ${\displaystyle H_{1}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$

El módulo es finitamente presentable; Una matriz de presentación para este módulo se llama matriz de Alexander . Si el número de generadores, , es menor o igual al número de relaciones, , entonces consideramos el ideal generado por todos los menores de la matriz; este es el ideal de ajuste cero o el ideal de Alexander y no depende de la elección de la matriz de presentación. Si , igualamos el ideal a 0. Si el ideal de Alexander es principal , tomamos un generador; esto se llama polinomio de Alexander del nudo. Dado que esto sólo es único hasta la multiplicación por el monomio de Laurent , a menudo se fija una forma única particular. La elección de normalización de Alexander es hacer que el polinomio tenga un término constante positivo . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle r\times r}$ ${\displaystyle r>s}$ ${\displaystyle \pm t^{n}}$

Alejandro demostró que el ideal de Alejandro es distinto de cero y siempre principal. Por lo tanto, siempre existe un polinomio de Alexander y es claramente un invariante de nudo, denotado . Resulta que el polinomio de Alexander de un nudo es el mismo polinomio para el nudo imagen especular. En otras palabras, no puede distinguir entre un nudo y su imagen especular. ${\displaystyle \Delta _{K}(t)}$

Calcular el polinomio

JW Alexander dio el siguiente procedimiento para calcular el polinomio de Alexander en su artículo. ^[2]

Tome un diagrama orientado del nudo con cruces; hay regiones del diagrama de nudos. Para calcular el polinomio de Alexander, primero se debe crear una matriz de incidencia de tamaño . Las filas corresponden a los cruces y las columnas a las regiones. Los valores para las entradas de la matriz son . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+2}$ ${\displaystyle (n,n+2)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+2}$ ${\displaystyle 0,1,-1,t,-t}$

Considere la entrada correspondiente a una región y cruce en particular. Si la región no es adyacente al cruce, la entrada es 0. Si la región es adyacente al cruce, la entrada depende de su ubicación. La siguiente tabla muestra la entrada, determinada por la ubicación de la región en el cruce desde la perspectiva de la línea de cruce inferior entrante.

a la izquierda antes del cruce: ${\displaystyle -t}$

a la derecha antes del cruce: ${\displaystyle 1}$

a la izquierda después del cruce a desnivel: ${\displaystyle t}$

a la derecha después del cruce: ${\displaystyle -1}$

Elimine dos columnas correspondientes a regiones adyacentes de la matriz y determine el determinante de la nueva matriz. Dependiendo de las columnas eliminadas, la respuesta diferirá al multiplicarla por , donde la potencia de no es necesariamente el número de cruces en el nudo. Para resolver esta ambigüedad, divide la mayor potencia posible de y multiplica por si es necesario, de modo que el término constante sea positivo. Esto da el polinomio de Alexander. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \pm t^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle -1}$

El polinomio de Alexander también se puede calcular a partir de la matriz de Seifert .

Después del trabajo de JW Alexander, Ralph Fox consideró una copresentación del grupo de nudos e introdujo el cálculo diferencial no conmutativo Fox (1961), que también permite calcular . En el libro Crowell & Fox (1963) se puede encontrar una exposición detallada de este enfoque sobre polinomios de Alexander superiores. ${\displaystyle \pi _{1}(S^{3}\backslash K)}$ ${\displaystyle \Delta _{K}(t)}$

Propiedades básicas del polinomio.

El polinomio de Alexander es simétrico: para todos los nudos K. ${\displaystyle \Delta _{K}(t^{-1})=\Delta _{K}(t)}$

Desde el punto de vista de la definición, esta es una expresión del isomorfismo de la Dualidad de Poincaré donde es el cociente del campo de fracciones de by , considerado como un módulo, y donde está el módulo conjugado para es decir: como un grupo abeliano es idéntico a pero la transformación de cobertura actúa por . ${\displaystyle {\overline {H_{1}X}}\simeq \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} [t,t^{-1}]}(H_{1}X,G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$ ${\displaystyle {\overline {H_{1}X}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$ ${\displaystyle H_{1}X}$ ${\displaystyle H_{1}X}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t^{-1}}$

Además, el polinomio de Alexander se evalúa como una unidad de 1: . ${\displaystyle \Delta _{K}(1)=\pm 1}$

Desde el punto de vista de la definición, esto es una expresión del hecho de que el complemento del nudo es un círculo de homología, generado por la transformación de cobertura . De manera más general, si es una variedad 3 tal que tiene un polinomio de Alexander definido como el orden ideal de su espacio de cobertura cíclico infinito. En este caso es, hasta el signo, igual al orden del subgrupo de torsión de . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle rank(H_{1}M)=1}$ ${\displaystyle \Delta _{M}(t)}$ ${\displaystyle \Delta _{M}(1)}$ ${\displaystyle H_{1}M}$

Se sabe que todo polinomio integral de Laurent que es simétrico y se evalúa como una unidad en 1 es el polinomio de Alexander de un nudo (Kawauchi 1996).

Significado geométrico del polinomio.

Dado que el ideal de Alexander es principal, si y sólo si el subgrupo del conmutador del grupo de nudos es perfecto (es decir, igual a su propio subgrupo del conmutador ). ${\displaystyle \Delta _{K}(t)=1}$

Para un nudo topológicamente cortado , el polinomio de Alexander satisface la condición de Fox-Milnor donde hay algún otro polinomio integral de Laurent. ${\displaystyle \Delta _{K}(t)=f(t)f(t^{-1})}$ ${\displaystyle f(t)}$

El doble del género del nudo está limitado por debajo por el grado del polinomio de Alexander.

Michael Freedman demostró que un nudo en las 3 esferas es topológicamente cortado ; es decir, limita un disco topológico "localmente plano" en la bola 4, si el polinomio de Alexander del nudo es trivial (Freedman y Quinn, 1990).

Kauffman describe la primera construcción del polinomio de Alexander mediante sumas de estados derivadas de modelos físicos. ^{En [3] [4]} se ofrece un estudio de estos temas y otras conexiones con la física.

Existen otras relaciones con superficies y topología suave de 4 dimensiones. Por ejemplo, bajo ciertos supuestos, existe una manera de modificar una variedad 4 lisa realizando una cirugía que consiste en eliminar una vecindad de un toro bidimensional y reemplazarla con un nudo complementario cruzado con S ¹ . El resultado es un homeomórfico suave de 4 variedades con respecto al original, aunque ahora el invariante de Seiberg-Witten se ha modificado mediante la multiplicación con el polinomio de Alexander del nudo. ^[5]

Se sabe que los nudos con simetrías tienen polinomios de Alexander restringidos. Véase la sección de simetría en (Kawauchi 1996). No obstante, el polinomio de Alexander puede no detectar algunas simetrías, como la fuerte invertibilidad.

Si el nudo complementa las fibras sobre el círculo, entonces se sabe que el polinomio de Alexander del nudo es mónico (los coeficientes de los términos de orden más alto y más bajo son iguales a ). De hecho, si es un haz de fibras donde está el complemento de nudo, representemos la monodromía , entonces dónde está el mapa inducido de homología. ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle S\to C_{K}\to S^{1}}$ ${\displaystyle C_{K}}$ ${\displaystyle g:S\to S}$ ${\displaystyle \Delta _{K}(t)={\rm {Det}}(tI-g_{*})}$ ${\displaystyle g_{*}\colon H_{1}S\to H_{1}S}$

Relaciones con las operaciones satelitales

Si un nudo es un nudo satélite con patrón de nudo (existe una incrustación tal que , donde hay un toro sólido sin anudar que contiene ), entonces , donde está el número entero que representa en . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle f:S^{1}\times D^{2}\to S^{3}}$ ${\displaystyle K=f(K')}$ ${\displaystyle S^{1}\times D^{2}\subset S^{3}}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle \Delta _{K}(t)=\Delta _{f(S^{1}\times \{0\})}(t^{a})\Delta _{K'}(t)}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle K'\subset S^{1}\times D^{2}}$ ${\displaystyle H_{1}(S^{1}\times D^{2})=\mathbb {Z} }$

Ejemplos: Para una suma de conexión . Si es un doble de Whitehead sin torcer , entonces . ${\displaystyle \Delta _{K_{1}\#K_{2}}(t)=\Delta _{K_{1}}(t)\Delta _{K_{2}}(t)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Delta _{K}(t)=\pm 1}$

Polinomio de Alexander-Conway

Alexander demostró que el polinomio de Alexander satisface una relación de madeja. Más tarde , John Conway redescubrió esto de una forma diferente y demostró que la relación de la madeja junto con la elección del valor del nudo era suficiente para determinar el polinomio. La versión de Conway es un polinomio en z con coeficientes enteros, denotado y llamado polinomio de Alexander-Conway (también conocido como polinomio de Conway o polinomio de Conway-Alexander ). ${\displaystyle \nabla (z)}$

Supongamos que se nos proporciona un diagrama de enlaces orientado, donde se encuentran los diagramas de enlaces resultantes del cruce y el suavizado de cambios en una región local de un cruce específico del diagrama, como se indica en la figura. ${\displaystyle L_{+},L_{-},L_{0}}$

Aquí están las relaciones de madeja de Conway:

• ${\displaystyle \nabla (O)=1}$(donde O es cualquier diagrama del desanudado)
• ${\displaystyle \nabla (L_{+})-\nabla (L_{-})=z\nabla (L_{0})}$

La relación con el polinomio estándar de Alexander viene dada por . Aquí debe normalizarse adecuadamente (mediante la multiplicación de ) para satisfacer la relación de madeja . Tenga en cuenta que esta relación da un polinomio de Laurent en t ^1/2 . ${\displaystyle \Delta _{L}(t^{2})=\nabla _{L}(t-t^{-1})}$ ${\displaystyle \Delta _{L}}$ ${\displaystyle \pm t^{n/2}}$ ${\displaystyle \Delta (L_{+})-\Delta (L_{-})=(t^{1/2}-t^{-1/2})\Delta (L_{0})}$

Consulte la teoría de nudos para ver un ejemplo de cálculo del polinomio de Conway del trébol.

Relación con la homología de Floer

Utilizando curvas pseudoholomórficas, ^[6] y ^[7] asociaron un grupo abeliano bigrado, llamado homología de nudo Floer, a cada clase isotópica de nudos. La característica graduada de Euler de la homología del nudo Floer es el polinomio de Alexander. Mientras que el polinomio de Alexander proporciona un límite inferior para el género de un nudo, ^[8] demostró que la homología de Floer del nudo detecta el género. De manera similar, mientras que el polinomio de Alexander obstruye las fibras de complemento de nudo sobre el círculo, ^[9] demostró que la homología de Floer del nudo determina completamente cuándo un complemento de nudo se fibras sobre el círculo. Los grupos de homología de nudo Floer son parte de la familia de invariantes de homología de Heegaard Floer; consulte la homología de Florer para obtener más información.

Notas

1. Alexander describe su relación de madeja hacia el final de su artículo bajo el título "teoremas varios", razón por la cual posiblemente se perdió. Joan Birman menciona en su artículo Nuevos puntos de vista en la teoría de nudos (Bull. Amer. Math. Soc. (NS) 28 (1993), no. 2, 253–287) que Mark Kidwell llamó su atención sobre la relación de Alexander en 1970.
2. Alejandro, JW (1928). "Invariantes topológicas de nudos y enlaces" (PDF) . Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 30 (2): 275–306. doi : 10.1090/S0002-9947-1928-1501429-1 . JSTOR  1989123.
3. Kauffman 1983.
4. Kauffman 2012.
5. Fintushel, Ronald ; Stern, Ronald J. (16 de octubre de 1998). "Nudos, eslabones y 4 variedades". Invenciones Mathematicae . 134 (2): 363–400. arXiv : dg-ga/9612014 . Código Bib : 1998 InMat.134..363F. doi :10.1007/s002220050268. ISSN  0020-9910. SEÑOR  1650308. S2CID  3752148.
6. Ozsváth y Szabó 2004.
7. Rasmussen 2003.
8. Ozsváth y Szabó 2004b.
9. Ni 2007.

Referencias

• Adams, Colin C. (2004) [1994]. The Knot Book: Una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-3678-1.(introducción accesible utilizando un enfoque de relación de madeja)
• Alejandro, JW (1928). "Invariantes topológicas de nudos y enlaces". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 30 (2): 275–306. doi : 10.2307/1989123 . JSTOR  1989123.
• Crowell, Richard; Zorro, Ralph (1963). Introducción a la teoría de nudos . Ginn and Co. después de 1977 Springer Verlag.
• Zorro, Ralph (1961). "Un viaje rápido a la teoría de nudos". En Fort, MK (ed.). Actas del Instituto de Topología de la Universidad de Georgia . Acantilados de Englewood. Nueva Jersey: Prentice-Hall. págs. 120-167. OCLC  73203715.
• Freedman, Michael H .; Quinn, Frank (1990). Topología de 4 variedades . Serie Matemática de Princeton. vol. 39. Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-08577-7.
• Kauffman, Luis (2006) [1983]. Teoría del nudo formal. Mensajero. ISBN 978-0-486-45052-0.
• Kauffman, Luis (2012). Nudos y Física (4ª ed.). Compañía editorial científica mundial. ISBN 978-981-4383-00-4.
• Kawauchi, Akio (2012) [1996]. Un estudio de la teoría de los nudos. Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-9227-8.(cubre varios enfoques diferentes, explica las relaciones entre diferentes versiones del polinomio de Alexander)
• Ozsváth, Peter ; Szabó, Zoltán (2004). "Discos holomorfos e invariantes de nudos". Avances en Matemáticas . 186 (1): 58-116. arXiv : matemáticas/0209056 . Código Bib : 2002 matemáticas ...... 9056O. doi : 10.1016/j.aim.2003.05.001. S2CID  11246611.
• Ozsváth, Peter ; Szabó, Zoltán (2004b). "Discos holomorfos y límites de género". Geometría y Topología . 8 (2004): 311–334. arXiv : matemáticas/0311496 . doi :10.2140/gt.2004.8.311. S2CID  11374897.
• Ni, Yi (2007). "La homología de Knot Floer detecta nudos de fibras". Invenciones Mathematicae . Inventar. Matemáticas. 170 (3): 577–608. arXiv : matemáticas/0607156 . Código Bib : 2007 InMat.170..577N. doi :10.1007/s00222-007-0075-9. S2CID  119159648.
• Rasmussen, Jacob (2003). Homología de flores y complementos de nudos (Tesis). Universidad Harvard. pag. 6378. arXiv : matemáticas/0306378 . Código Bib : 2003 matemáticas ...... 6378R.
• Rolfsen, Dale (1990). Nudos y eslabones (2ª ed.). Publicar o perecer. ISBN 978-0-914098-16-4.(explica el enfoque clásico usando el invariante de Alexander; tabla de nudos y enlaces con polinomios de Alexander)

enlaces externos

• "Invariantes de Alejandro", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Página principal" y "El polinomio de Alexander-Conway", The Knot Atlas . – tablas de nudos y enlaces con polinomios de Alexander y Conway calculados