En matemáticas , la homología de Floer es una herramienta para estudiar geometría simpléctica y topología de baja dimensión . La homología de Floer es una nueva invariante que surge como un análogo de dimensión infinita de la homología Morse de dimensión finita . Andreas Floer introdujo la primera versión de la homología de Floer, ahora llamada homología de Floer lagrangiana, en su prueba de la conjetura de Arnold en geometría simpléctica. Floer también desarrolló una teoría estrechamente relacionada para las subvariedades lagrangianas de una variedad simpléctica . Una tercera construcción, también debida a Floer, asocia grupos de homología a variedades tridimensionales cerradas utilizando el funcional Yang-Mills . Estas construcciones y sus descendientes desempeñan un papel fundamental en las investigaciones actuales sobre la topología de variedades simplécticas y de contacto, así como de variedades (suaves) tridimensionales y cuatridimensionales.
La homología de Floer se define típicamente asociando al objeto de interés una variedad de dimensión infinita y una función de valor real sobre ella. En la versión simpléctica, este es el espacio de bucle libre de una variedad simpléctica con la acción simpléctica funcional. Para la versión ( instanton ) para tres variedades, es el espacio de conexiones SU(2)- en una variedad tridimensional con el funcional de Chern-Simons . En términos generales, la homología de Floer es la homología Morse de la función en la variedad de dimensión infinita. Un complejo de cadenas de Floer se forma a partir del grupo abeliano abarcado por los puntos críticos de la función (o posiblemente ciertas colecciones de puntos críticos). El diferencial del complejo de cadenas se define contando las líneas de flujo de gradiente de la función que conectan ciertos pares de puntos críticos (o conjuntos de ellos). La homología de Floer es la homología de este complejo de cadena.
La ecuación de la línea de flujo de gradiente, en una situación en la que las ideas de Floer pueden aplicarse con éxito, suele ser una ecuación geométricamente significativa y analíticamente manejable. Para la homología de Floer simpléctica, la ecuación de flujo de gradiente para un camino en el espacio de bucles es (una versión perturbada de) la ecuación de Cauchy-Riemann para un mapa de un cilindro (el espacio total del camino de bucles) a la variedad simpléctica de interés; Las soluciones se conocen como curvas pseudoholomórficas . Luego se utiliza el teorema de compacidad de Gromov para demostrar que el diferencial está bien definido y es cuadrado a cero, de modo que se define la homología de Floer. Para la homología instantánea de Floer, las ecuaciones de flujo de gradiente son exactamente la ecuación de Yang-Mills en la variedad triple cruzada con la línea real.
La homología de Floer simpléctica (SFH) es una teoría de homología asociada a una variedad simpléctica y un simplectomorfismo no degenerado de la misma. Si el simplectomorfismo es hamiltoniano , la homología surge del estudio de la acción simpléctica funcional sobre la ( cubierta universal del) espacio de bucle libre de una variedad simpléctica. SFH es invariante bajo la isotopía hamiltoniana del simplectomorfismo.
Aquí, la no degeneración significa que 1 no es un valor propio de la derivada del simplectomorfismo en ninguno de sus puntos fijos. Esta condición implica que los puntos fijos están aislados. SFH es la homología del complejo de cadenas generado por los puntos fijos de tal simplectomorfismo, donde el diferencial cuenta ciertas curvas pseudoholomórficas en el producto de la línea real y el toro de mapeo del simplectomorfismo. Esta en sí misma es una variedad simpléctica de dimensión dos mayor que la variedad original. Para una elección adecuada de una estructura casi compleja , las curvas holomorfas perforadas (de energía finita) tienen extremos cilíndricos asintóticos a los bucles en el toro de mapeo correspondientes a puntos fijos del simplectomorfismo. Se puede definir un índice relativo entre pares de puntos fijos, y el diferencial cuenta el número de cilindros holomorfos con índice relativo 1.
La homología simpléctica de Floer de un simplectomorfismo hamiltoniano de una variedad compacta es isomorfa a la homología singular de la variedad subyacente. Por tanto, la suma de los números de Betti de esa variedad produce el límite inferior predicho por una versión de la conjetura de Arnold para el número de puntos fijos para un simplectomorfismo no degenerado. El SFH de un simplectomorfismo hamiltoniano también tiene un producto de par de pantalones que es un producto de copa deformada equivalente a la cohomología cuántica . También existe una versión del producto para simplectomorfismos no exactos.
Para el paquete cotangente de una variedad M, la homología de Floer depende de la elección del hamiltoniano debido a su falta de compacidad. Para los hamiltonianos que son cuadráticos en el infinito, la homología de Floer es la homología singular del espacio de bucle libre de M (las pruebas de varias versiones de esta afirmación se deben a Viterbo, Salamon-Weber, Abbondandolo-Schwarz y Cohen). Hay operaciones más complicadas sobre la homología de Floer de un paquete cotangente que corresponden a las operaciones de topología de cadenas sobre la homología del espacio de bucle de la variedad subyacente.
La versión simpléctica de la homología de Floer ocupa un lugar crucial en la formulación de la conjetura de simetría especular homológica .
En 1996, S. Piunikhin, D. Salamon y M. Schwarz resumieron los resultados sobre la relación entre la homología de Floer y la cohomología cuántica y los formularon de la siguiente manera. Piunikhin, Salamon & Schwarz (1996)
La condición anterior de semipositivo y la compacidad de la variedad simpléctica M son necesarias para obtener el anillo de Novikov y para la definición tanto de la homología de Floer como de la cohomología cuántica. La condición semipositiva significa que se cumple uno de los siguientes (tenga en cuenta que los tres casos no son separados):
El grupo de cohomología cuántica de la variedad simpléctica M se puede definir como los productos tensoriales de la cohomología ordinaria con el anillo de Novikov Λ, es decir
Esta construcción de la homología de Floer explica la independencia en la elección de la estructura casi compleja en M y el isomorfismo a la homología de Floer proporcionado por las ideas de la teoría de Morse y las curvas pseudoholomórficas , donde debemos reconocer la dualidad de Poincaré entre homología y cohomología como trasfondo.
Existen varias homologías de Floer equivalentes asociadas a tres variedades cerradas . Cada uno produce tres tipos de grupos de homología, que encajan en un triángulo exacto . Un nudo en una variedad triple induce una filtración en el complejo de cadena de cada teoría, cuyo tipo de homotopía de cadena es un invariante de nudo. (Sus homologías satisfacen propiedades formales similares a las de la homología de Khovanov definida combinatoriamente ).
Estas homologías están estrechamente relacionadas con los invariantes de Donaldson y Seiberg de 4 variedades, así como con el invariante Gromov de Taubes de 4 variedades simplécticas; los diferenciales de las correspondientes homologías de tres variedades con estas teorías se estudian considerando soluciones a las ecuaciones diferenciales relevantes ( Yang - Mills , Seiberg-Witten y Cauchy-Riemann , respectivamente) en la cruz de 3 variedades R. Las homologías de Floer de 3 variedades también deberían ser el objetivo de invariantes relativos para variedades de cuatro con límite, relacionadas mediante el pegado de construcciones a los invariantes de una variedad de 4 cerrada obtenida al pegar juntas 3 variedades acotadas a lo largo de sus límites. (Esto está estrechamente relacionado con la noción de teoría cuántica de campos topológica .) Para la homología de Heegaard Floer, primero se definió la homología de 3 variedades, y luego se definió en términos de ella una invariante para 4 variedades cerradas.
También hay extensiones de las homologías de 3 variedades a 3 variedades con límite: homología de Floer suturada (Juhász 2008) y homología de Floer bordeada (Lipshitz, Ozsváth y Thurston 2008). Estos están relacionados con las invariantes para 3 variedades cerradas pegando fórmulas para la homología de Floer de una 3 variedades descrita como la unión a lo largo del límite de dos 3 variedades con límite.
Las homologías Floer de tres colectores también vienen equipadas con un elemento distinguido de homología si el colector de tres está equipado con una estructura de contacto . Kronheimer y Mrowka introdujeron por primera vez el elemento de contacto en el caso Seiberg-Witten. Ozsvath y Szabo lo construyeron para la homología de Heegaard Floer utilizando la relación de Giroux entre variedades de contacto y descomposiciones de libro abierto, y viene de forma gratuita, como clase de homología del conjunto vacío, en homología de contacto integrada. (Que, a diferencia de los otros tres, requiere una homología de contacto para su definición. Para homología de contacto integrada, consulte Hutchings (2009).
Todas estas teorías vienen equipadas con calificaciones relativas a priori; Kronheimer y Mrowka (para SWF), Gripp y Huang (para HF) y Hutchings (para ECH) los han elevado a clasificaciones absolutas (mediante clases de homotopía de campos orientados de 2 planos). Cristofaro-Gardiner ha demostrado que el isomorfismo de Taubes entre ECH y la cohomología de Seiberg-Witten Floer preserva estas clasificaciones absolutas.
Se trata de una invariante triple conectada a la teoría de Donaldson introducida por el propio Floer. Se obtiene utilizando el funcional de Chern-Simons en el espacio de conexiones en un haz principal SU(2) sobre las tres variedades (más precisamente, homología de 3 esferas). Sus puntos críticos son conexiones planas y sus líneas de flujo son instantones , es decir, conexiones anti-autoduales en la triple variedad cruzada con la línea real. La homología Instanton de Floer puede verse como una generalización del invariante de Casson porque la característica de Euler de la homología de Floer concuerda con el invariante de Casson.
Poco después de la introducción de la homología de Floer por parte de Floer, Donaldson se dio cuenta de que los cobordismos inducen mapas. Éste fue el primer ejemplo de la estructura que llegó a conocerse como teoría topológica de campos cuánticos .
La homología de Seiberg-Witten Floer u homología monopolo de Floer es una teoría de homología de 3 variedades suaves (equipadas con una estructura de espín c ). Puede verse como la homología Morse del funcional Chern-Simons-Dirac en conexiones U (1) en las tres variedades. La ecuación de flujo de gradiente asociada corresponde a las ecuaciones de Seiberg-Witten en la variedad 3 cruzada con la línea real. De manera equivalente, los generadores del complejo de cadenas son soluciones invariantes de traslación de las ecuaciones de Seiberg-Witten (conocidas como monopolos) sobre el producto de una variedad 3 y la recta real, y las soluciones de conteos diferenciales de las ecuaciones de Seiberg-Witten sobre el producto. de una variedad triple y la recta real, que son asintóticas a soluciones invariantes en el infinito y el infinito negativo.
Una versión de la homología Seiberg-Witten-Floer se construyó rigurosamente en la monografía Monopoles and Three-manifolds de Peter Kronheimer y Tomasz Mrowka , donde se la conoce como homología monopolo de Floer. Taubes ha demostrado que es isomorfo a la homología de contacto incrustada. Manolescu (2003) y Frøyshov (2010) han proporcionado construcciones alternativas de SWF para homología racional de 3 esferas; se sabe que están de acuerdo.
Homología de Heegaard Floer // ⓘ es una invariante debida aPeter OzsváthyZoltán Szabóde una variedad cerrada de 3 equipada con unaestructuracSe calcula utilizando undiagrama de Heegaarddel espacio mediante una construcción análoga a la homología lagrangiana de Floer. Kutluhan, Lee y Taubes (2020) anunciaron una prueba de que la homología de Heegaard Floer es isomorfa a la homología de Seiberg-Witten Floer, y Colin, Ghiggini y Honda (2011) anunciaron una prueba de que la versión plus de la homología de Heegaard Floer (con orientación inversa) es isomorfo a la homología de contacto incrustada.
Un nudo en una variedad triple induce una filtración en los grupos de homología de Heegaard Floer, y el tipo de homotopía filtrada es una poderosa invariante de nudo , llamada homología de nudo de Floer. Categoriza el polinomio de Alexander . La homología de Knot Floer fue definida por Ozsváth y Szabó (2004) e independientemente por Rasmussen (2003). Se sabe que detecta el género de nudos. Utilizando diagramas de cuadrícula para las divisiones de Heegaard, Manolescu, Ozsváth y Sarkar (2009) dieron una construcción combinatoria a la homología del nudo Floer.
La homología de Heegaard Floer de la doble cubierta de S^3 ramificada sobre un nudo está relacionada mediante una secuencia espectral con la homología de Khovanov (Ozsváth & Szabó 2005).
Sarkar y Wang (2010) describieron combinatoriamente la versión "sombrero" de la homología de Heegaard Floer. Las versiones "más" y "menos" de la homología de Heegaard Floer, y las cuatro invariantes relacionadas de Ozsváth-Szabó, también se pueden describir combinatoriamente (Manolescu, Ozsváth y Thurston 2009).
La homología de contacto integrada , debida a Michael Hutchings , es una invariante de 3 variedades (con una segunda clase de homología distinguida, correspondiente a la elección de una estructura de espín c en la homología de Seiberg-Witten Floer) isomorfa (por trabajo de Clifford Taubes ) a Seiberg –Cohomología de Witten Floer y en consecuencia (por trabajo anunciado por Kutluhan, Lee & Taubes 2020 y Colin, Ghiggini & Honda 2011) a la versión plus de homología de Heegaard Floer (con orientación inversa). Puede verse como una extensión del invariante de Gromov de Taubes , conocido por ser equivalente al invariante de Seiberg-Witten , desde 4 variedades simplécticas cerradas hasta ciertas 4 variedades simplécticas no compactas (es decir, una cruz R de tres variedades de contacto). Su construcción es análoga a la teoría de campos simpléctica, en el sentido de que es generada por ciertos conjuntos de órbitas cerradas de Reeb y su diferencial cuenta ciertas curvas holomorfas con extremos en ciertos conjuntos de órbitas de Reeb. Se diferencia de SFT en las condiciones técnicas sobre las colecciones de órbitas de Reeb que lo generan, y en no contar todas las curvas holomorfas con índice de Fredholm 1 con extremos dados, sino solo aquellas que también satisfacen una condición topológica dada por el índice ECH , que en particular implica que las curvas consideradas están (principalmente) incrustadas.
La conjetura de Weinstein de que una variedad de contacto 3 tiene una órbita de Reeb cerrada para cualquier forma de contacto se cumple en cualquier variedad cuyo ECH no sea trivial, y Taubes la demostró utilizando técnicas estrechamente relacionadas con la ECH; Las extensiones de este trabajo produjeron el isomorfismo entre ECH y SWF. Muchas construcciones en ECH (incluida su buena definición) se basan en este isomorfismo (Taubes 2007).
El elemento de contacto de ECH tiene una forma especialmente bonita: es el ciclo asociado al conjunto vacío de las órbitas de Reeb.
Se puede definir un análogo de la homología de contacto incrustada para mapear toros de simplectomorfismos de una superficie (posiblemente con límite) y se conoce como homología de Floer periódica, que generaliza la homología de Floer simpléctica de los simplectomorfismos de superficie. De manera más general, puede definirse con respecto a cualquier estructura hamiltoniana estable en la variedad 3; Al igual que las estructuras de contacto, las estructuras hamiltonianas estables definen un campo vectorial que no desaparece (el campo vectorial de Reeb), y Hutchings y Taubes han demostrado ser un análogo de la conjetura de Weinstein para ellas, es decir, que siempre tienen órbitas cerradas (a menos que estén mapeando toros de un 2). -toro).
La homología de Floer lagrangiana de dos subvariedades lagrangianas que se cruzan transversalmente de una variedad simpléctica es la homología de un complejo de cadena generado por los puntos de intersección de las dos subvariedades y cuyo diferencial cuenta con discos de Whitney pseudoholomórficos .
Dadas tres subvariedades lagrangianas L 0 , L 1 y L 2 de una variedad simpléctica, existe una estructura de producto en la homología Lagrangiana de Floer:
que se define contando triángulos holomorfos (es decir, mapas holomorfos de un triángulo cuyos vértices y aristas se asignan a los puntos de intersección apropiados y subvariedades lagrangianas).
Los artículos sobre este tema se deben a Fukaya, Oh, Ono y Ohta; El trabajo reciente sobre "homología de grupos" de Lalonde y Cornea ofrece un enfoque diferente. Es posible que la homología de Floer de un par de subvariedades lagrangianas no siempre exista; cuando lo hace, obstaculiza la isotopía de un lagrangiano lejos del otro utilizando una isotopía hamiltoniana .
Varios tipos de homología de Floer son casos especiales de homología de Floer lagrangiana. La homología de Floer simpléctica de un simplectomorfismo de M puede considerarse como un caso de homología de Floer lagrangiana en la que la variedad ambiental es M cruzada con M y las subvariedades lagrangianas son la diagonal y la gráfica del simplectomorfismo. La construcción de la homología Heegaard Floer se basa en una variante de la homología Lagrangiana de Floer para subvariedades totalmente reales definidas mediante una división de Heegaard de una triple variedad. Seidel-Smith y Manolescu construyeron un invariante de enlace como un caso determinado de homología lagrangiana de Floer, que conjeturalmente concuerda con la homología de Khovanov , un invariante de enlace definido combinatoriamente.
La conjetura de Atiyah-Floer conecta la homología instanton de Floer con la homología de Floer de la intersección lagrangiana. [1] Considere una Y de 3 colectores con un Heegaard dividiéndose a lo largo de una superficie . Entonces, el espacio de conexiones planas en equivalencia de calibre de módulo es una variedad simpléctica de dimensión 6 g − 6, donde g es el género de la superficie . En la división de Heegaard, se unen dos variedades 3 diferentes; el espacio de conexiones planas equivalencia de calibre de módulo en cada 3 variedades con límite incrustado en una subvariedad lagrangiana. Se puede considerar la homología de Floer de la intersección lagrangiana. Alternativamente, podemos considerar la homología Instanton Floer de la Y de 3 variedades. La conjetura de Atiyah-Floer afirma que estos dos invariantes son isomórficos. Salamon–Wehrheim y Daemi–Fukaya están trabajando en sus programas para probar esta conjetura. [¿ según quién? ]
La conjetura de simetría especular homológica de Maxim Kontsevich predice una igualdad entre la homología Floer lagrangiana de los lagrangianos en una variedad Calabi-Yau y los grupos Ext de haces coherentes en la variedad espejo Calabi-Yau. En esta situación, uno no debería centrarse en los grupos de homología de Floer sino en los grupos de cadenas de Floer. De manera similar al producto de par de pantalones, se pueden construir composiciones múltiples utilizando n -gons pseudoholomórficos . Estas composiciones satisfacen las relaciones que convierten la categoría de todas las subvariedades lagrangianas (sin obstáculos) en una variedad simpléctica en una categoría, llamada categoría de Fukaya .
Para ser más precisos, hay que añadir datos adicionales al lagrangiano: una clasificación y una estructura de espín . Un lagrangiano que puede elegir entre estas estructuras a menudo se denomina brana en homenaje a la física subyacente. La conjetura de simetría del espejo homológico establece que existe un tipo de equivalencia derivada de Morita entre la categoría Fukaya de Calabi-Yau y una categoría dg subyacente a la categoría derivada acotada de haces coherentes del espejo, y viceversa.
Se trata de una invariante de variedades de contacto y cobordismos simplécticos entre ellas, originalmente debida a Yakov Eliashberg , Alexander Givental y Helmut Hofer . La teoría de campos simpléctica, así como sus subcomplejos, la teoría de campos simpléctica racional y la homología de contactos, se definen como homologías de álgebras diferenciales, que se generan mediante órbitas cerradas del campo vectorial de Reeb de una forma de contacto elegida. El diferencial cuenta ciertas curvas holomorfas en el cilindro sobre el colector de contacto, donde los ejemplos triviales son las cubiertas ramificadas de cilindros (triviales) sobre órbitas cerradas de Reeb. Incluye además una teoría de homología lineal, llamada homología de contacto cilíndrica o linealizada (a veces, por abuso de notación, simplemente homología de contacto), cuyos grupos de cadenas son espacios vectoriales generados por órbitas cerradas y cuyos diferenciales cuentan sólo con cilindros holomorfos. Sin embargo, la homología de contacto cilíndrico no siempre está definida debido a la presencia de discos holomorfos y a una falta de regularidad y transversalidad. En situaciones donde la homología de contacto cilíndrico tiene sentido, puede verse como la homología Morse (ligeramente modificada) de la acción funcional en el espacio del bucle libre, que envía un bucle a la integral de la forma de contacto alfa sobre el bucle. Las órbitas de Reeb son los puntos críticos de esta funcional.
SFT también asocia un invariante relativo de una subvariedad Legendriana de una variedad de contacto conocida como homología de contacto relativa . Sus generadores son cuerdas de Reeb, que son trayectorias del campo vectorial de Reeb que comienzan y terminan en un lagrangiano, y su diferencial cuenta ciertas franjas holomorfas en la simplificación de la variedad de contacto cuyos extremos son asintóticos a cuerdas de Reeb dadas.
En SFT, las variedades de contacto se pueden reemplazar mediante el mapeo de toros de variedades simplécticas con simplectomorfismos. Si bien la homología de contacto cilíndrica está bien definida y dada por las homologías de potencias simplécticas de Floer del simplectomorfismo, la teoría de campos simpléctica (racional) y la homología de contacto pueden considerarse homologías de Floer simplécticas generalizadas. Sin embargo, en el caso importante en el que el simplectomorfismo es el mapa de tiempo uno de un hamiltoniano dependiente del tiempo, se demostró que estos invariantes superiores no contienen ninguna información adicional.
Una forma concebible de construir una teoría de homología de Floer de algún objeto sería construir un espectro relacionado cuya homología ordinaria sea la homología de Floer deseada. La aplicación de otras teorías de homología a dicho espectro podría generar otras invariantes interesantes. Esta estrategia fue propuesta por Ralph Cohen, John Jones y Graeme Segal , y llevada a cabo en ciertos casos para la homología Seiberg-Witten-Floer por Manolescu (2003) y para la homología Floer simpléctica de haces cotangentes por Cohen. Este enfoque fue la base de la construcción de Manolescu en 2013 de la homología Seiberg-Witten Floer equivalente al Pin (2), con la que refutó la Conjetura de triangulación para variedades de dimensión 5 y superiores.
Muchas de estas homologías de Floer no se han construido completa y rigurosamente, y muchas equivalencias conjeturales no se han demostrado. Surgen dificultades técnicas en el análisis involucrado, especialmente en la construcción de espacios de módulos compactados de curvas pseudoholomórficas. Hofer, en colaboración con Kris Wysocki y Eduard Zehnder, ha desarrollado nuevos fundamentos analíticos a través de su teoría de los polipliegues y una "teoría general de Fredholm". Si bien el proyecto Polyfold aún no está completamente terminado, en algunos casos importantes se demostró la transversalidad utilizando métodos más simples.
Las homologías de Floer son generalmente difíciles de calcular explícitamente. Por ejemplo, la homología simpléctica de Floer para todos los simplectomorfismos de superficie no se completó hasta 2007. La homología de Heegaard Floer ha sido una historia de éxito en este sentido: los investigadores han explotado su estructura algebraica para calcularla para varias clases de 3 variedades y han encontrado combinatorias. algoritmos para el cálculo de gran parte de la teoría. También está conectado a estructuras e invariantes existentes y ha resultado en muchos conocimientos sobre la topología de 3 variedades.
![{\displaystyle \langle [\omega ],A\rangle =\lambda \langle c_{1},A\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a49773a35ec00315c49bc758ca60ea2f170f61ad)
{{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )