Grupo Artin-Tetas

Familia de infinitos grupos discretos.

En el área matemática de la teoría de grupos , los grupos Artin , también conocidos como grupos Artin-Tits o grupos trenzados generalizados , son una familia de infinitos grupos discretos definidos por presentaciones simples . Están estrechamente relacionados con los grupos Coxeter . Algunos ejemplos son grupos libres , grupos abelianos libres , grupos trenzados y grupos Artin-Tits en ángulo recto, entre otros.

Los grupos llevan el nombre de Emil Artin , debido a sus primeros trabajos sobre grupos trenzados en las décadas de 1920 a 1940, ^[1] y de Jacques Tags , quien desarrolló la teoría de una clase más general de grupos en la década de 1960. ^[2]

Definición

Una presentación de Artin-Tits es una presentación grupal donde hay un conjunto (generalmente finito) de generadores y es un conjunto de relaciones de Artin-Tits, es decir, relaciones de la forma para distintos en , donde ambos lados tienen longitudes iguales y existe como máximo una relación para cada par de generadores distintos . Un grupo Artin–Tits es un grupo que admite una presentación Artin–Tits. Asimismo, un monoide Artin-Tits es un monoide que, como monoide, admite una presentación Artin-Tits. ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle stst\ldots =tsts\ldots }$ ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s,t}$

Alternativamente, se puede especificar un grupo Artin-Tits mediante el conjunto de generadores y, para cada in , el número natural que es la longitud de las palabras y que es la relación que conecta y , si la hay. Por convención se pone cuando no hay relación . Formalmente, si definimos para denotar un producto alternativo de y de longitud , comenzando con - de modo que , , etc. - las relaciones Artin-Tits toman la forma ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m_{s,t}\geqslant 2}$ ${\displaystyle stst\ldots }$ ${\displaystyle tsts\ldots }$ ${\displaystyle stst\ldots =tsts\ldots }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m_{s,t}=\infty }$ ${\displaystyle stst\ldots =tsts\ldots }$ ${\displaystyle \langle s,t\rangle ^{m}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \langle s,t\rangle ^{2}=st}$ ${\displaystyle \langle s,t\rangle ^{3}=sts}$

${\displaystyle \langle s,t\rangle ^{m_{s,t}}=\langle t,s\rangle ^{m_{t,s}},{\text{ where }}m_{s,t}=m_{t,s}\in \{2,3,\ldots ,\infty \}.}$

Los números enteros se pueden organizar en una matriz simétrica , conocida como matriz de Coxeter del grupo. ${\displaystyle m_{s,t}}$

Si es una presentación Artin-Tits de un grupo Artin-Tits , el cociente de obtenido sumando la relación para cada uno de es un grupo Coxeter . Por el contrario, si es un grupo de Coxeter presentado por reflexiones y se eliminan las relaciones, la extensión así obtenida es un grupo de Artin-Tits. Por ejemplo, el grupo Coxeter asociado con el grupo trenzado de hebras es el grupo simétrico de todas las permutaciones de . ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle s^{2}=1}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle s^{2}=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$

Ejemplos

• ${\displaystyle G=\langle S\mid \emptyset \rangle }$es el grupo libre basado en ; aquí para todos . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m_{s,t}=\infty }$ ${\displaystyle s,t}$
• ${\displaystyle G=\langle S\mid \{st=ts\mid s,t\in S\}\rangle }$es el grupo abeliano libre basado en ; aquí para todos . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m_{s,t}=2}$ ${\displaystyle s,t}$
• ${\displaystyle G=\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}\sigma _{j}\sigma _{i}=\sigma _{j}\sigma _{i}\sigma _{j}{\text{ for }}\vert i-j\vert =1,\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\text{ for }}\vert i-j\vert \geqslant 2\rangle }$es el grupo de trenzas en hebras; aquí para y para . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m_{\sigma _{i},\sigma _{j}}=3}$ ${\displaystyle \vert i-j\vert =1}$ ${\displaystyle m_{\sigma _{i},\sigma _{j}}=2}$ ${\displaystyle \vert i-j\vert >1}$

Propiedades generales

Los monoides de Artin-Tits son elegibles para los métodos de Garside según la investigación de sus relaciones de divisibilidad y se comprenden bien:

• Los monoides de Artin-Tits son canceladores y admiten máximos comunes divisores y mínimos comunes múltiplos condicionales (existe un mínimo común múltiplo siempre que exista un múltiplo común).
• Si es un monoide de Artin-Tits, y si es el grupo Coxeter asociado, hay una sección (teórica de conjuntos) de into , y cada elemento de admite una descomposición distinguida como una secuencia de elementos en la imagen de ("forma normal codiciosa "). ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Se conocen muy pocos resultados para los grupos generales de Artin-Tits. En particular, en el caso general quedan abiertas las siguientes cuestiones básicas:

– resolver los problemas de palabras y conjugaciones , que se supone que son decidibles,

– determinar la torsión, que se supone trivial,

– determinar el centro, que se supone trivial o monogénico en el caso de que el grupo no sea un producto directo ("caso irreducible"),

– determinar la cohomología, en particular resolver la conjetura, es decir, encontrar un complejo acíclico cuyo grupo fundamental sea el grupo considerado. ${\displaystyle K(\pi ,1)}$

A continuación se recopilan resultados parciales que involucran subfamilias particulares. Entre los pocos resultados generales conocidos, se pueden mencionar:

• Los grupos de Artin-Tits son infinitamente contables.
• En un grupo Artin-Tits , la única relación que conecta los cuadrados de los elementos de es si está en (John Crisp y Luis Paris ^[3] ). ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s^{2}t^{2}=t^{2}s^{2}}$ ${\displaystyle st=ts}$ ${\displaystyle R}$
• Para cada presentación de Artin-Tits , el monoide Artin-Tits presentado por se integra en el grupo Artin-Tits presentado por (Paris ^[4] ). ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$
• Cada monoide Artin-Tits (finamente generado) admite una familia Garside finita (Matthew Dyer y Christophe Hohlweg ^[5] ). Como consecuencia, la existencia de múltiplos derechos comunes en los monoides de Artin-Tits es decidible y la reducción de multifracciones es efectiva.

Clases particulares de grupos Artin-Tits

Se pueden definir varias clases importantes de grupos Artin en términos de las propiedades de la matriz de Coxeter.

Artin–Grupos de tetas de tipo esférico.

• Se dice que un grupo Artin-Tits es de tipo esférico si el grupo Coxeter asociado es finito; debe evitarse la terminología alternativa "grupo Artin-Tits de tipo finito", debido a su ambigüedad: un "grupo de tipo finito" es simplemente aquel que admite un grupo electrógeno finito. Recordemos que se conoce una clasificación completa, denominándose los 'tipos irreductibles' como la serie infinita , , , y seis grupos excepcionales , , , , , y . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle I_{2}(n)}$ ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle E_{7}}$ ${\displaystyle E_{8}}$ ${\displaystyle F_{4}}$ ${\displaystyle H_{3}}$ ${\displaystyle H_{4}}$
• En el caso de un grupo esférico de Artin-Tits, el grupo es un grupo de fracciones del monoide, lo que facilita mucho el estudio. Todos los problemas mencionados anteriormente se resuelven en positivo para grupos esféricos de Artin-Tits: los problemas de palabras y de conjugación son decidibles, su torsión es trivial, el centro es monogénico en el caso irreducible y la cohomología está determinada ( Pierre Deligne , por geometría métodos, ^[6] Egbert Brieskorn y Kyoji Saito , por métodos combinatorios ^[7] ).
• Un grupo puro de Artin-Tits de tipo esférico se puede realizar como el grupo fundamental del complemento de una disposición de hiperplano finito en . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• Los grupos Artin-Tits de tipo esférico son grupos biautomáticos (Ruth Charney ^[8] ).
• En terminología moderna, un grupo Artin-Tits es un grupo Garside , lo que significa que es un grupo de fracciones para el monoide asociado y existe para cada elemento de una forma normal única que consta de una secuencia finita de (copias de) elementos de y sus inversas ("forma normal codiciosa simétrica") ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W}$

Grupos de Artin en ángulo recto

• Se dice que un grupo de Artin-Tits es rectángulo si todos los coeficientes de la matriz de Coxeter son o , es decir, todas las relaciones son relaciones de conmutación . También son comunes los nombres de grupo parcialmente conmutativo (libre) , grupo de grafos , grupo traza , grupo semilibre o incluso grupo localmente libre . ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle st=ts}$
• Para esta clase de grupos Artin-Tits, comúnmente se usa un esquema de etiquetado diferente. Cualquier gráfico sobre vértices etiquetados define una matriz , para la cual si los vértices y están conectados por una arista en , y en caso contrario. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1,2,\ldots ,n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m_{s,t}=2}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle m_{s,t}=\infty }$
• La clase de grupos de Artin-Tits en ángulo recto incluye los grupos libres de rango finito, correspondientes a un gráfico sin aristas, y los grupos abelianos libres generados finitamente , correspondientes a un gráfico completo . Cada grupo de Artin en ángulo recto de rango r puede construirse como una extensión HNN de un grupo de Artin en ángulo recto de rango , con el producto libre y el producto directo como casos extremos. Una generalización de esta construcción se llama producto gráfico de grupos . Un grupo de Artin en ángulo recto es un caso especial de este producto, donde cada vértice/operando del producto gráfico es un grupo libre de rango uno (el grupo cíclico infinito ). ${\displaystyle r-1}$
• Los problemas de palabras y conjugación de un grupo Artin-Tits en ángulo recto son decidibles, el primero en tiempo lineal, el grupo no tiene torsión y hay un finito celular explícito (John Crisp, Eddy Godelle y Bert Wiest ^[9] ). ${\displaystyle K(\pi ,1)}$
• Cada grupo de Artin-Tits en ángulo recto actúa libre y cocompactamente en un complejo de cubos CAT(0) de dimensión finita , su "complejo de Salvetti". Como aplicación, se pueden utilizar grupos de Artin en ángulo recto y sus complejos de Salvetti para construir grupos con propiedades de finitud dadas (Mladen Bestvina y Noel Brady ^[10] ), ver también (Ian Leary ^[11] ).

Artin–Tetas grupos de tipo grande

• Se dice que un grupo Artin-Tits (y un grupo Coxeter) son de tipo grande para todos los generadores ; Se dice que es de tipo extra grande para todos los generadores . ${\displaystyle m_{s,t}\geqslant 3}$ ${\displaystyle s\neq t}$ ${\displaystyle m_{s,t}\geqslant 4}$ ${\displaystyle s\neq t}$
• Los grupos Artin-Tits de tipo extragrande son elegibles para la teoría de cancelación pequeña. Como aplicación, los grupos Artin-Tits de tipo extragrande no tienen torsión y tienen un problema de conjugación solucionable ( Kenneth Appel y Paul Schupp ^[12] ).
• Los grupos Artin-Tits de tipo extragrande son biautomáticos (David Peifer ^[13] ).
• Los grupos Artin de tipo grande son automáticos shortlex con geodésicas regulares (Derek Holt y Sarah Rees ^[14] ).

Otros tipos

Se han identificado e investigado muchas otras familias de grupos Artin-Tits. Aquí mencionamos dos de ellos.

• Se dice que un grupo Artin-Tits es de tipo FC ("complejo de bandera") si, para cada subconjunto de tales que para todos en , el grupo es de tipo esférico. Estos grupos actúan de forma cocompacta en un complejo cúbico CAT(0) y, como consecuencia, se puede encontrar una forma normal racional para sus elementos y deducir una solución al problema verbal (Joe Altobelli y Charney ^[15] ). Una forma normal alternativa la proporciona la reducción multifraccional, que da una expresión única mediante una multifracción irreducible que extiende directamente la expresión mediante una fracción irreducible en el caso esférico (Dehornoy ^[16] ). ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m_{s,t}\neq \infty }$ ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle \langle S'\mid R\cap S'{}^{2}\rangle }$
• Se dice que un grupo Artin-Tits es de tipo afín si el grupo Coxeter asociado es afín . Corresponden a los diagramas de Dynkin extendidos de las cuatro familias infinitas para , , para , y para , y de los cinco tipos esporádicos , , , , y . Los grupos afines de Artin-Tits son de tipo euclidiano : el grupo Coxeter asociado actúa geométricamente en un espacio euclidiano. Como consecuencia, su centro es trivial y su problema planteado es decidible (Jon McCammond y Robert Sulway ^[17] ). En 2019, se anunció una prueba de la conjetura para todos los grupos afines de Artin-Tits (Mario Salvetti y Giovanni Paolini ^[18] ). ${\displaystyle {\widetilde {A}}_{n}}$ ${\displaystyle n\geqslant 1}$ ${\displaystyle {\widetilde {B}}_{n}}$ ${\displaystyle {\widetilde {C}}_{n}}$ ${\displaystyle n\geqslant 2}$ ${\displaystyle {\widetilde {D}}_{n}}$ ${\displaystyle n\geqslant 3}$ ${\displaystyle {\widetilde {E}}_{6}}$ ${\displaystyle {\widetilde {E}}_{7}}$ ${\displaystyle {\widetilde {E}}_{8}}$ ${\displaystyle {\widetilde {F}}_{4}}$ ${\displaystyle {\widetilde {G}}_{2}}$ ${\displaystyle K(\pi ,1)}$

Ver también

• Monoide libre parcialmente conmutativo
• Grupo artiniano (una noción no relacionada)
• Criptografía no conmutativa
• grupo abeliano elemental

Referencias

1. Artín, Emil (1947). "Teoría de las Trenzas". Anales de Matemáticas . 48 (1): 101–126. doi :10.2307/1969218. JSTOR  1969218. S2CID  30514042.
2. Tetas, Jacques (1966), "Normalisateurs de tores. I. Groupes de Coxeter étendus", Journal of Algebra , 4 : 96–116, doi : 10.1016/0021-8693(66)90053-6 , MR  0206117
3. Crujiente, John; París, Luis (2001), "La solución a una conjetura de Tetas sobre el subgrupo generado por los cuadrados de los generadores de un grupo Artin", Inventiones Mathematicae , 145 (1): 19–36, arXiv : math/0003133 , Bibcode :2001InMat.145...19C, doi :10.1007/s002220100138, SEÑOR  1839284
4. París, Luis (2002), "Artin monoides se inyectan en sus grupos", Commentarii Mathematici Helvetici , 77 (3): 609–637, arXiv : math/0102002 , doi : 10.1007/s00014-002-8353-z , MR  1933791
5. Tintorero, Mateo; Hohlweg, Christophe (2016), "Raíces pequeñas, elementos bajos y orden débil en grupos de Coxeter", Avances en Matemáticas , 301 : 739–784, arXiv : 1505.02058 , doi : 10.1016/j.aim.2016.06.022 , SEÑOR  1839284
6. Deligne, Pierre (1972), "Les immeubles des groupes de tresses généralisés", Inventiones Mathematicae , 17 : 273–302, Bibcode :1972InMat..17..273D, doi :10.1007/BF01406236, MR  0422673
7. Brieskorn, Egbert ; Saito, Kyoji (1972), "Artin-Gruppen und Coxeter-Gruppen", Inventiones Mathematicae , 17 (4): 245–271, Bibcode :1972InMat..17..245B, doi :10.1007/BF01406235, MR  0323910
8. Charney, Ruth (1992), "Los grupos Artin de tipo finito son biautomáticos", Mathematische Annalen , 292 (4): 671–683, doi :10.1007/BF01444642, MR  1157320
9. Crujiente, John; Godelle, Eddy; Wiest, Bert (2009), "El problema de la conjugación en subgrupos de grupos Artin en ángulo recto", Journal of Topology , 2 (3): 442–460, doi :10.1112/jtopol/jtp018, SEÑOR  2546582
10. Bestvina, Mladen ; Brady, Noel (1997), "Teoría de Morse y propiedades finitas de los grupos", Inventiones Mathematicae , 129 (3): 445–470, Bibcode :1997InMat.129..445B, doi :10.1007/s002220050168, MR  1465330
11. Leary, Ian (2018), "Incontables grupos de tipo FP", Actas de la London Mathematical Society , 117 (2): 246–276, arXiv : 1512.06609 , doi : 10.1112/plms.12135 , MR  3851323
12. Appel, Kenneth I.; Schupp, Paul E. (1983), "Grupos Artin y grupos infinitos de Coxeter", Inventiones Mathematicae , 72 (2): 201–220, Bibcode :1983InMat..72..201A, doi :10.1007/BF01389320, MR  0700768
13. Peifer, David (1996), "Los grupos Artin de tipo extragrande son biautomáticos", Journal of Pure and Applied Algebra , 110 (1): 15–56, doi :10.1016/0022-4049(95)00094-1, Señor  1390670
14. Holt, Derek; Rees, Sarah (2012). "Los grupos Artin de tipo grande son shortlex automáticos con geodésicas regulares". Actas de la Sociedad Matemática de Londres . 104 (3): 486–512. arXiv : 1003.6007 . doi : 10.1112/plms/pdr035. SEÑOR  2900234.
15. Altobelli, Joe; Charney, Ruth (2000), "Una forma racional geométrica para grupos Artin de tipo FC", Geometriae Dedicata , 79 (3): 277–289, doi :10.1023/A:1005216814166, MR  1755729
16. Dehornoy, Patrick (2017), "Reducción de multifracciones I: el caso de 3 minerales y grupos Artin-Tits de tipo FC", Journal of Combinatorial Algebra , 1 (2): 185–228, arXiv : 1606.08991 , doi : 10.4171/ JCA/1-2-3, SEÑOR  3634782
17. McCammond, Jon; Sulway, Robert (2017), "Grupos Artin de tipo euclidiano", Inventiones Mathematicae , 210 (1): 231–282, arXiv : 1312.7770 , Bibcode :2017InMat.210..231M, doi :10.1007/s00222-017-0728- 2, señor  3698343
18. Paolini, Giovanni; Salvetti, Mario (2019), Prueba de la conjetura para grupos afines de Artin , arXiv : 1907.11795 ${\displaystyle K(\pi ,1)}$

Otras lecturas

• Charney, Ruth (2007), "Una introducción a los grupos Artin en ángulo recto", Geometriae Dedicata , 125 (1): 141–158, arXiv : math/0610668 , doi :10.1007/s10711-007-9148-6, MR  2322545
• Godelle, Eddy; Paris, Luis (2012), Preguntas básicas sobre los grupos Artin–Tits , Serie CRM, vol. 14, ed. Norma, Pisa, págs. 299–311, arXiv : 1105.1048 , doi : 10.1007/978-88-7642-431-1_13, ISBN 978-88-7642-430-4, señor  3203644
• McCammond, Jon (2017), "La misteriosa geometría de los grupos Artin", Winter Braids Lecture Notes , 4 (Winter Braids VII (Caen, 2017)): 1–30, doi : 10.5802/wbln.17 , MR  3922033
• Flores, Ramón; Kahrobaei, Delaram; Koberda, Thomas (2019). "Problemas algorítmicos en grupos de Artin rectángulos: complejidad y aplicaciones". Revista de Álgebra . 519 : 111-129. arXiv : 1802.04870 . doi :10.1016/j.jalgebra.2018.10.023. SEÑOR  3874519.