Representación de Lawrence-Krammer

En matemáticas, la representación de Lawrence-Krammer es una representación de los grupos de trenzas . Encaja en una familia de representaciones llamadas representaciones de Lawrence. La primera representación de Lawrence es la representación de Burau y la segunda es la representación de Lawrence-Krammer.

La representación de Lawrence-Krammer lleva el nombre de Ruth Lawrence y Daan Krammer. ^[1]

Definición

Considere que el grupo trenzado es el grupo de clase de mapeo de un disco con n puntos marcados ,. La representación de Lawrence-Krammer se define como la acción de sobre la homología de un determinado espacio de cobertura del espacio de configuración . Específicamente, el primer grupo de homología integral de es isomorfo a , y el subgrupo de invariantes bajo la acción de es primitivo, abeliano libre y de rango 2. Los generadores para este subgrupo invariante se denotan por . ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle C_{2}P_{n}}$ ${\displaystyle C_{2}P_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n+1}}$ ${\displaystyle H_{1}(C_{2}P_{n},\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle q,t}$

El espacio de cobertura correspondiente al núcleo del mapa de proyección. ${\displaystyle C_{2}P_{n}}$

${\displaystyle \pi _{1}(C_{2}P_{n})\to \mathbb {Z} ^{2}\langle q,t\rangle }$

se llama portada de Lawrence-Krammer y se denota . Los difeomorfismos de actuar sobre , por lo tanto también sobre , además se elevan únicamente a difeomorfismos que se restringen a la identidad en el estrato límite de dos codimensiones (donde ambos puntos están en el círculo límite). La acción de en ${\displaystyle {\overline {C_{2}P_{n}}}}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle C_{2}P_{n}}$ ${\displaystyle {\overline {C_{2}P_{n}}}}$ ${\displaystyle B_{n}}$

${\displaystyle H_{2}({\overline {C_{2}P_{n}}},\mathbb {Z} ),}$

pensado como un

${\displaystyle \mathbb {Z} \langle t^{\pm },q^{\pm }\rangle }$-módulo,

es la representación de Lawrence-Krammer. Se sabe que el grupo es un módulo libre, de rango . ${\displaystyle H_{2}({\overline {C_{2}P_{n}}},\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \langle t^{\pm },q^{\pm }\rangle }$ ${\displaystyle n(n-1)/2}$

matrices

Utilizando las convenciones de Bigelow para la representación de Lawrence-Krammer, los generadores del grupo se denotan por . Denotando los generadores Artin estándar del grupo de trenzas , obtenemos la expresión: ${\displaystyle H_{2}({\overline {C_{2}P_{n}}},\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle v_{j,k}}$ ${\displaystyle 1\leq j<k\leq n}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$

${\displaystyle \sigma _{i}\cdot v_{j,k}=\left\{{\begin{array}{lr}v_{j,k}&i\notin \{j-1,j,k-1,k\},\\qv_{i,k}+(q^{2}-q)v_{i,j}+(1-q)v_{j,k}&i=j-1\\v_{j+1,k}&i=j\neq k-1,\\qv_{j,i}+(1-q)v_{j,k}-(q^{2}-q)tv_{i,k}&i=k-1\neq j,\\v_{j,k+1}&i=k,\\-tq^{2}v_{j,k}&i=j=k-1.\end{array}}\right.}$

Fidelidad

Stephen Bigelow y Daan Krammer han dado pruebas independientes de que la representación de Lawrence-Krammer es fiel .

Geometría

La representación de Lawrence-Krammer conserva una forma sesquilineal no degenerada que se sabe que es hermitiana definida negativa siempre que estén especializados en números complejos unitarios adecuados ( q cerca de 1 y t cerca de i ). Por tanto, el grupo trenzado es un subgrupo del grupo unitario de matrices cuadradas de tamaño . Recientemente se ha demostrado que la imagen de la representación de Lawrence-Krammer es un subgrupo denso del grupo unitario en este caso. ${\displaystyle q,t}$ ${\displaystyle n(n-1)/2}$

La forma sesquilineal tiene la descripción explícita:

${\displaystyle \langle v_{i,j},v_{k,l}\rangle =-(1-t)(1+qt)(q-1)^{2}t^{-2}q^{-3}\left\{{\begin{array}{lr}-q^{2}t^{2}(q-1)&i=k<j<l{\text{ or }}i<k<j=l\\-(q-1)&k=i<l<j{\text{ or }}k<i<j=l\\t(q-1)&i<j=k<l\\q^{2}t(q-1)&k<l=i<j\\-t(q-1)^{2}(1+qt)&i<k<j<l\\(q-1)^{2}(1+qt)&k<i<l<j\\(1-qt)(1+q^{2}t)&k=i,j=l\\0&{\text{otherwise}}\\\end{array}}\right.}$

Referencias

1. Bigelow, Stephen (2003), "La representación de Lawrence-Krammer", Topología y geometría de variedades , Proc. Simposios. Matemáticas puras, vol. 71, Providencia, Rhode Island: Amer. Matemáticas. Soc., págs. 51–68, SEÑOR  2024629

Otras lecturas

• Bigelow, Stephen (2001), "Los grupos trenzados son lineales", Journal of the American Mathematical Society , 14 (2): 471–486, doi : 10.1090/S0894-0347-00-00361-1 , MR  1815219
• Bigelow, Stephen (2003), "La representación de Lawrence-Krammer", Topología y geometría de variedades , Actas de simposios en matemáticas puras, vol. 71, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense, págs. 51–68, doi :10.1090/pspum/071, ISBN 9780821835074, señor  2024629
• Budney, Ryan (2005), "Sobre la imagen de la representación de Lawrence-Krammer", Journal of Knot Theory and Its Ramifications , 14 (6): 773–789, arXiv : math/0202246 , doi :10.1142/S0218216505004044, MR  2172897 , S2CID  14196563
• Krammer, Daan (2002), "Los grupos trenzados son lineales", Annals of Mathematics , 155 (1): 131–156, arXiv : math/0405198 , doi : 10.2307/3062152, JSTOR  3062152, MR  1888796, S2CID  62899383
• Lawrence, Ruth (1990), "Representaciones homológicas del álgebra de Hecke", Communications in Mathematical Physics , 135 (1): 141–191, Bibcode :1990CMaPh.135..141L, doi :10.1007/bf02097660, MR  1086755, S2CID  121644260
• Paoluzzi, Luisa; París, Luis (2002). "Una nota sobre la representación de Lawrence-Krammer-Bigelow". Topología algebraica y geométrica . 2 : 499–518. arXiv : matemáticas/0111186 . doi :10.2140/agt.2002.2.499. SEÑOR  1917064. S2CID  12672756.