Ecuación de Yang-Baxter

Ecuación de consistencia cuántica

En física , la ecuación de Yang-Baxter (o relación estrella-triángulo ) es una ecuación de consistencia que se introdujo por primera vez en el campo de la mecánica estadística . Depende de la idea de que en algunas situaciones de dispersión, las partículas pueden conservar su impulso mientras cambian sus estados internos cuánticos. Afirma que una matriz , que actúa sobre dos de tres objetos, satisface ${\displaystyle R}$

${\displaystyle ({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )=(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}),}$

donde va seguido de un intercambio de los dos objetos. En sistemas cuánticos unidimensionales, es la matriz de dispersión y si satisface la ecuación de Yang-Baxter entonces el sistema es integrable . La ecuación de Yang-Baxter también aparece cuando se habla de la teoría de nudos y los grupos de trenzas donde corresponde intercambiar dos hebras. Dado que se pueden intercambiar tres hilos de dos maneras diferentes, la ecuación de Yang-Baxter impone que ambos caminos sean iguales. ${\displaystyle {\check {R}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Ilustración de la ecuación de Yang-Baxter

Toma su nombre del trabajo independiente de CN Yang de 1968 y RJ Baxter de 1971.

Forma general de la ecuación de Yang-Baxter dependiente de parámetros

Sea un álgebra asociativa unital . En su forma más general, la ecuación de Yang-Baxter dependiente de parámetros es una ecuación para , un elemento dependiente de parámetros del producto tensorial (aquí, y son los parámetros, que generalmente oscilan sobre los números reales ℝ en el caso de un aditivo parámetro, o sobre números reales positivos ℝ ⁺ en el caso de un parámetro multiplicativo). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R(u,u')}$ ${\displaystyle A\otimes A}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u'}$

Sea para , con homomorfismos de álgebra determinados por ${\displaystyle R_{ij}(u,u')=\phi _{ij}(R(u,u'))}$ ${\displaystyle 1\leq i<j\leq 3}$ ${\displaystyle \phi _{ij}:A\otimes A\to A\otimes A\otimes A}$

${\displaystyle \phi _{12}(a\otimes b)=a\otimes b\otimes 1,}$

${\displaystyle \phi _{13}(a\otimes b)=a\otimes 1\otimes b,}$

${\displaystyle \phi _{23}(a\otimes b)=1\otimes a\otimes b.}$

La forma general de la ecuación de Yang-Baxter es

${\displaystyle R_{12}(u_{1},u_{2})\ R_{13}(u_{1},u_{3})\ R_{23}(u_{2},u_{3})=R_{23}(u_{2},u_{3})\ R_{13}(u_{1},u_{3})\ R_{12}(u_{1},u_{2}),}$

para todos los valores de , y . ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle u_{2}}$ ${\displaystyle u_{3}}$

Formulario independiente de los parámetros

Sea un álgebra asociativa unital. La ecuación de Yang-Baxter independiente de parámetros es una ecuación para , un elemento invertible del producto tensorial . La ecuación de Yang-Baxter es ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A\otimes A}$

${\displaystyle R_{12}\ R_{13}\ R_{23}=R_{23}\ R_{13}\ R_{12},}$

dónde y . ​ ${\displaystyle R_{12}=\phi _{12}(R)}$ ${\displaystyle R_{13}=\phi _{13}(R)}$ ${\displaystyle R_{23}=\phi _{23}(R)}$

Con respecto a una base

A menudo, el álgebra asociativa unital es el álgebra de endomorfismos de un espacio vectorial sobre un campo , es decir ,. Respecto a una base de , se escriben las componentes de las matrices , que es la componente asociada al mapa . Omitiendo la dependencia de los parámetros, el componente de la ecuación de Yang-Baxter asociado al mapa dice ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A={\text{End}}(V)}$ ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle R\in {\text{End}}(V)\otimes {\text{End}}(V)\cong {\text{End}}(V\otimes V)}$ ${\displaystyle R_{ij}^{kl}}$ ${\displaystyle e_{i}\otimes e_{j}\mapsto e_{k}\otimes e_{l}}$ ${\displaystyle e_{a}\otimes e_{b}\otimes e_{c}\mapsto e_{d}\otimes e_{e}\otimes e_{f}}$

${\displaystyle (R_{12})_{ij}^{de}(R_{13})_{ak}^{if}(R_{23})_{bc}^{jk}=(R_{23})_{jk}^{ef}(R_{13})_{ic}^{dk}(R_{12})_{ab}^{ij}.}$

Forma alternativa y representaciones del grupo de trenzas.

Sea un módulo de , y . Sea el mapa lineal satisfactorio para todos . La ecuación de Yang-Baxter tiene entonces la siguiente forma alternativa en términos de on . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{ij}=\phi _{ij}(P)}$ ${\displaystyle P:V\otimes V\to V\otimes V}$ ${\displaystyle P(x\otimes y)=y\otimes x}$ ${\displaystyle x,y\in V}$ ${\displaystyle {\check {R}}(u,u')=P\circ R(u,u')}$ ${\displaystyle V\otimes V}$

${\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u_{1},u_{2}))({\check {R}}(u_{1},u_{3})\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u_{2},u_{3}))=({\check {R}}(u_{2},u_{3})\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u_{1},u_{3}))({\check {R}}(u_{1},u_{2})\otimes \mathbf {1} )}$.

Alternativamente, podemos expresarlo en la misma notación anterior, definiendo , en cuyo caso la forma alternativa es ${\displaystyle {\check {R}}_{ij}(u,u')=\phi _{ij}({\check {R}}(u,u'))}$

${\displaystyle {\check {R}}_{23}(u_{1},u_{2})\ {\check {R}}_{12}(u_{1},u_{3})\ {\check {R}}_{23}(u_{2},u_{3})={\check {R}}_{12}(u_{2},u_{3})\ {\check {R}}_{23}(u_{1},u_{3})\ {\check {R}}_{12}(u_{1},u_{2}).}$

En el caso especial independiente de los parámetros donde no depende de los parámetros, la ecuación se reduce a ${\displaystyle {\check {R}}}$

${\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}})({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})=({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )}$,

y (si es invertible) se puede construir una representación del grupo trenzado , , mediante for . Esta representación se puede utilizar para determinar cuasi-invariantes de trenzas , nudos y eslabones . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle V^{\otimes n}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}=1^{\otimes i-1}\otimes {\check {R}}\otimes 1^{\otimes n-i-1}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n-1}$

Simetría

Las soluciones a la ecuación de Yang-Baxter a menudo están limitadas al exigir que la matriz sea invariante bajo la acción de un grupo de Lie . Por ejemplo, en el caso y , los únicos mapas invariantes son el mapa de identidad y el mapa de permutación . La forma general de la matriz es entonces para funciones escalares . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=GL(V)}$ ${\displaystyle R(u,u')\in {\text{End}}(V\otimes V)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{End}}(V\otimes V)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R(u,u')=A(u,u')I+B(u,u')P}$ ${\displaystyle A,B}$

La ecuación de Yang-Baxter es homogénea en cuanto a la dependencia de parámetros en el sentido de que si se define , donde es una función escalar, entonces también satisface la ecuación de Yang-Baxter. ${\displaystyle R'(u_{i},u_{j})=f(u_{i},u_{j})R(u_{i},u_{j})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R'}$

El espacio de argumentos en sí puede tener simetría. Por ejemplo, la invariancia de traducción impone que la dependencia de los argumentos debe depender solo de la diferencia invariante de traducción , mientras que la invariancia de escala impone que sea una función de la relación invariante de escala . ${\displaystyle (u,u')}$ ${\displaystyle u-u'}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle u/u'}$

Parametrizaciones y soluciones de ejemplo.

Una solución común para calcular soluciones es la propiedad de diferencia, donde R depende sólo de un único parámetro (aditivo). De manera equivalente, tomando logaritmos, podemos elegir la parametrización , en cuyo caso se dice que R depende de un parámetro multiplicativo. En esos casos, podemos reducir el YBE a dos parámetros libres de una forma que facilite los cálculos: ${\displaystyle R(u,u')=R(u-u')}$ ${\displaystyle R(u,u')=R(u/u')}$

${\displaystyle R_{12}(u)\ R_{13}(u+v)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(u+v)\ R_{12}(u),}$

para todos los valores de y . Para un parámetro multiplicativo, la ecuación de Yang-Baxter es ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle R_{12}(u)\ R_{13}(uv)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(uv)\ R_{12}(u),}$

para todos los valores de y . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

Las formas trenzadas se leen como:

${\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u))({\check {R}}(u+v)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(v))=({\check {R}}(v)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u+v))({\check {R}}(u)\otimes \mathbf {1} )}$

${\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u))({\check {R}}(uv)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(v))=({\check {R}}(v)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(uv))({\check {R}}(u)\otimes \mathbf {1} )}$

En algunos casos, el determinante de puede desaparecer en valores específicos del parámetro espectral . Algunas matrices se convierten en un proyector unidimensional en . En este caso se puede definir un determinante cuántico ^{[ se necesita aclaración ]} . ${\displaystyle R(u)}$ ${\displaystyle u=u_{0}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle u=u_{0}}$

Soluciones de ejemplo del YBE dependiente de parámetros

• Se puede obtener una clase particularmente simple de soluciones dependientes de parámetros a partir de soluciones del YBE independiente de parámetros que satisfacen , donde la representación del grupo trenzado correspondiente es una representación del grupo de permutación. En este caso, (equivalentemente, ) es una solución del YBE dependiente de parámetros (aditivo). En el caso de y , esto da la matriz de dispersión de la cadena de espín Heisenberg XXX . ${\displaystyle {\check {R}}^{2}=\mathbf {1} }$ ${\displaystyle {\check {R}}(u)=\mathbf {1} +u{\check {R}}}$ ${\displaystyle R(u)=P+uP\circ {\check {R}}}$ ${\displaystyle {\check {R}}=P}$ ${\displaystyle R(u)=P+u\mathbf {1} }$

• Las matrices de los módulos de evaluación del grupo cuántico están dadas explícitamente por la matriz ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U_{q}({\widehat {sl}}(2))}$

${\displaystyle {\check {R}}(z)={\begin{pmatrix}qz-q^{-1}z^{-1}&&&\\&q-q^{-1}&z-z^{-1}&\\&z-z^{-1}&q-q^{-1}&\\&&&qz-q^{-1}z^{-1}\end{pmatrix}}.}$

Entonces se satisface la ecuación de Yang-Baxter parametrizada con el parámetro multiplicativo:

${\displaystyle ({\check {R}}(z)\otimes \mathbf {1} )({\check {R}}(zz')\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(z'))=({\check {R}}(z')\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(zz'))({\check {R}}(z)\otimes \mathbf {1} )}$

Clasificación de soluciones.

En términos generales, existen tres clases de soluciones: racionales, trigonométricas y elípticas. Estos están relacionados con grupos cuánticos conocidos como Yangianos , grupos cuánticos afines y álgebras elípticas respectivamente.

Ecuación de Yang-Baxter de la teoría de conjuntos

Drinfeld estudió las soluciones de la teoría de conjuntos . ^[1] En este caso, hay una base invariante de matriz para el espacio vectorial en el sentido de que la matriz asigna la base inducida a sí misma. Esto luego induce un mapa dado por la restricción de la matriz a la base. La ecuación de Yang-Baxter de la teoría de conjuntos se define utilizando la forma alternativa "retorcida" anterior, afirmando ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle V\otimes V}$ ${\displaystyle r:X\times X\rightarrow X\times X}$ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle (id\times r)(r\times id)(id\times r)=(r\times id)(id\times r)(r\times id)}$$

categoría de conjuntos ${\displaystyle X\times X\times X}$

Ejemplos

• ${\displaystyle R=id}$.
• ${\displaystyle R=\tau }$donde , el mapa de transposición. ${\displaystyle \tau (u\otimes v)=v\otimes u}$
• Si es un estante (derecho), entonces es una solución teórica de conjuntos para el YBE. ${\displaystyle (X,\triangleleft )}$ ${\displaystyle r(x,y)=(y,x\triangleleft y)}$

Ecuación clásica de Yang-Baxter

Belavin y Drinfeld estudiaron y, hasta cierto punto, clasificaron soluciones al YBE clásico . ^[2] Dada una ' matriz clásica' , que también puede depender de un par de argumentos , el YBE clásico es (suprimiendo parámetros) ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r:V\otimes V\rightarrow V\otimes V}$ ${\displaystyle (u,v)}$

$${\displaystyle [r_{12},r_{13}]+[r_{12},r_{23}]+[r_{13},r_{23}]=0.}$$

${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$

Esta ecuación surge de las llamadas soluciones cuasi clásicas del YBE cuántico, en las que la matriz admite una expansión asintótica en términos de un parámetro de expansión. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \hbar ,}$

$${\displaystyle R_{\hbar }=I+\hbar r+{\mathcal {O}}(\hbar ^{2}).}$$

${\displaystyle \hbar ^{2}}$ ${\displaystyle \hbar ^{0},\hbar }$

Ver también

• mentira bialgebra
• yangiano
• movimiento de reidemeister
• Álgebra de Hopf cuasitriangular

Referencias

• Jimbo, Michio (1989). "Introducción a la ecuación de Yang-Baxter". Revista Internacional de Física Moderna A. 4 (15): 3759–3777. Código bibliográfico : 1989IJMPA...4.3759J. doi :10.1142/S0217751X89001503. SEÑOR  1017340.
• H.-D. Doebner, J.-D. Hennig, eds, Quantum groups, Actas del 8º Taller Internacional de Física Matemática, Instituto Arnold Sommerfeld, Clausthal, RFA, 1989 , Springer-Verlag Berlin, ISBN 3-540-53503-9 . 
• Vyjayanthi Chari y Andrew Pressley, Una guía para grupos cuánticos , (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0 . 
• Jacques HH Perk y Helen Au-Yang, "Ecuaciones de Yang-Baxter", (2006), arXiv :math-ph/0606053.

1. Drinfeld, Vladimir (1992). Grupos cuánticos: actas de talleres celebrados en el Instituto Internacional de Matemáticas Euler, Leningrado, otoño de 1990. Berlín: Springer-Verlag. doi :10.1007/BFb0101175. ISBN 978-3-540-55305-2. Consultado el 4 de febrero de 2023 .
2. Belavín, AA; Drinfel'd, VG (1983). "Soluciones de la ecuación clásica de Yang-Baxter para álgebras de Lie simples". Análisis funcional y sus aplicaciones . 16 (3): 159–180. doi :10.1007/BF01081585. S2CID  123126711 . Consultado el 4 de febrero de 2023 .

enlaces externos

• "Ecuación de Yang-Baxter", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]